精品解析：上海市2023-2024学年八年级上学期期末自适应练习数学试卷

2023学年度第一学期期末八年级自适应练习 数学学科 （时间90分钟，满分100分） 一、单项选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 下列二次根式，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（ ） A. B. C. D. 2. 有理化因式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，值随的值增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 4. 在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ） A B. C. D. 5. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形是等边三角形 B. 如果两个三角形关于某个点成中心对称，那么这两个三角形全等 C. 如果一个三角形两个锐角的和为，那么这个三角形是直角三角形 D. 如果两个三角形能够互相重合，那么这两个三角形是全等三角形 6. 如图，在中，是钝角，以点C为圆心、的长为半径画弧，再以点A为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点D，连接，延长交于点E．下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 化简：_____________． 8. 方程的根是_____________． 9. 函数的定义域是________． 10. 已知函数，那么_____________． 11. 在实数范围内分解因式：________． 12. 如果反比例函数（是常数，）的图象位于第二、四象限，那么____________．（只需写一个数值） 13. 某种商品原价为100元，经过连续两次的降价后，价格变为81元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是_____ 14. 已知、是两个定点，那么经过这两个定点的圆的圆心轨迹是________． 15. 如图，为了测量塔的高度，现选取两个测量点A和B（点A、B、C在一条直线上），测得，．如果，那么塔高________（结果用含字母的代数式表示）． 16. 如图，在四边形中，，，垂足为点E．如果，，那么________． 17. 小明求代数式的最小值时，采用如下方法：如图，在同一直角坐标平面内，设为轴上的一个动点，选取点和，根据两点的距离公式得，，通过构造，将求代数式的最小值转化为求的最小值，由此小明求出的最小值等于________． 18. 如图，在中，，，，点D在边BC上，且．现将绕着点D旋转得到，点、、分别与点A、B、C对应，连接．如果点在线段AD的延长线上，那么________． 三、简答题（本大题共4题，每题6分，满分24分） 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 现有两段长度相等的路面需要摊铺，分别交给甲乙两队完成．甲队摊铺路面的长度（米）与摊铺时间（小时）的函数关系的图象如图所示；乙队摊铺路面的长度（米）与摊铺时间（小时）的函数解析式是．结合图象提供的信息，回答下列问题： （1）甲队摊铺的路面总长是________米； （2）在图中画出乙队摊铺路面的长度（米）与摊铺时间（小时）的函数关系的图象； （3）当甲队的工作效率发生变化的这个时刻，乙队摊铺路面的长度是________米； （4）甲队的平均工作效率是每小时________米． 22. 如图，在中，，直线，垂足为点． （1）如果点在直线上，且点到两边的距离相等，试用直尺和圆规作出满足上述条件的点（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点）； （2）在第（1）题的条件下，连接接和，如果，请判断的形状，并说明理由． 四、解答题（本大题共3题，第23、24题每题8分，第25题12分，满分28分） 23. 已知：如图，在中，点A在边的垂直平分线上，直线l经过点A，、分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且． （1）求证：． （2）取边的中点F，连接，求证：平分． 24. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像经过点，点与点关于轴对称，且点在反比例函数的图像上． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）设是直线上的一动点．当线段最短时，求的面积． 25. 【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系． 如图1，已知在中，BD是角平分线，是的中线，，垂足为点F． （1）根据图1，写出中小普同学所发现的结论，并给出证明； 【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究： （2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由； （3）已知线段，是否存在一点P，使得以为一边的“线垂”三角形为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规做出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点P），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年度第一学期期末八年级自适应练习 数学学科 （时间90分钟，满分100分） 一、单项选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 下列二次根式，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式，“把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式”．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D、与是同类二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 的有理化因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理化因式．根据有理化因式的定义“两个根式相乘的积不含根号”即可解答． 【详解】解：∵， ∴的有理化因式是． 故选：B． 3. 下列函数中，的值随的值增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数性质．由正比例函数与反比例函数的图像和性质知，，时，随的增大而增大，反之随的增大而减小；中应在每个象限内讨论增减性． 【详解】解：A、中，，随的增大而增大，本选项不符合题意； B、中，，在每个象限内，随的增大而减小，本选项不符合题意； C、，，随增大而减小，本选项符合题意； D、，，在每个象限内，随的增大而增大，本选项不符合题意； 故选：C． 4. 在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．用根的判别式判断即可，若方程有两个不相等的实数根，则需． 【详解】解：A、， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，本选项符合题意； B、， ∵， ∴方程无实数根，本选项不符合题意； C、， ∵， ∴方程无实数根，本选项不符合题意； D、， ∵， ∴方程实有两个相等的实数根，本选项不符合题意； 故选：A． 5. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形是等边三角形 B. 如果两个三角形关于某个点成中心对称，那么这两个三角形全等 C. 如果一个三角形的两个锐角的和为，那么这个三角形是直角三角形 D. 如果两个三角形能够互相重合，那么这两个三角形是全等三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了互逆命题及真假命题的判断，熟练掌握直角三角形，等边三角形及全等三角形等知识是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，即可求解． 【详解】A、逆命题：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形是轴对称图形，正确，为真命题； B、逆命题：如果两个三角形全等，那么这两个三角形关于某个点成中心对称，错误，为假命题； C、逆命题：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形的两个锐角的和为，正确，为真命题； D、逆命题：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形能够互相重合，正确，为真命题． 故选：B． 6. 如图，在中，是钝角，以点C为圆心、的长为半径画弧，再以点A为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点D，连接，延长交于点E．下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、垂直平分线的判定与性质等知识点，掌握5种基本作图是解决问题的关键． 根据作图过程可得，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断垂直平分，进而即可得到答案 【详解】解：由作法得， ∴垂直平分， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 化简：_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简．根据题意知，然后根据平方根的性质化简． 【详解】解：由知，， ∴， ∴． 故答案为：． 8. 方程的根是_____________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法－因式分解法．先把方程化为，再化为两个一次方程即可． 【详解】解：由原方程，得 ， 则或， 解得，． 故答案为：，． 9. 函数的定义域是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负；根据二次根式的意义，被开方数是非负数，得出，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 函数的定义域是， 故答案为：． 10. 已知函数，那么_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求函数值．将代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 11. 实数范围内分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查在实数范围内分解因式，解题的关键是利用求根公式因式分解．时，，根据求根公式的分解方法和特点即可求解． 【详解】解：时，， ， 故答案为：． 12. 如果反比例函数（是常数，）图象位于第二、四象限，那么____________．（只需写一个数值） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质,熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键：反比例函数，当时，函数过一、三象限；当时，函数过二、四象限． 根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：反比例函数（是常数，）的图象位于第二、四象限， ， 写出其中一个数值， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 某种商品原价为100元，经过连续两次的降价后，价格变为81元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是_____ 【答案】10% 【解析】 【分析】此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1-x）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1-x）（1-x），即100（1-x）2元，从而列出方程，求出答案． 【详解】设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1-x）2元． 根据题意，得100（1-x）2=81， 即（1-x）2=0.81， 解得x1=1.9，x2=0.1． 因为x=1.9不合题意，故舍去， 所以x=0.1． 即每次降价的百分率为0.1，即10%． 故答案为10%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，此题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍． 14. 已知、是两个定点，那么经过这两个定点的圆的圆心轨迹是________． 【答案】线段的垂直平分线 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，即“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等” ．利用圆的性质可以得到圆上所有点到圆心的距离相等，从而得到所有圆心到、两点的距离相等，从而得出结论． 【详解】解：圆上的所有点到圆心的距离相等， 无论圆心在哪里，所有圆心到、两点的距离相等， 到、两点的距离相等的点在线段的垂直平分线上， 故答案为：线段的垂直平分线． 15. 如图，为了测量塔的高度，现选取两个测量点A和B（点A、B、C在一条直线上），测得，．如果，那么塔高________（结果用含字母的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握直角三角形中所对的直角边为斜边的一半成为解题的关键． 先根据三角形的外角的性质可得，进而得到，由等腰三角形的判定可得，最后根据直角三角形中所对的直角边为斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为． 16. 如图，在四边形中，，，垂足为点E．如果，，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质，角平分线判定及性质，三角形内角和定理．根据题意过点作，再利用已知条件得到平分，再利用等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：过点作， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 小明求代数式的最小值时，采用如下方法：如图，在同一直角坐标平面内，设为轴上的一个动点，选取点和，根据两点的距离公式得，，通过构造，将求代数式的最小值转化为求的最小值，由此小明求出的最小值等于________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，根据原式表示的几何意义是是点M到点的距离之和的最小值，利用轴对称作出图形求出的长即可，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键． 【详解】如图所示，根据原式表示的几何意义是点M到点的距离之和的最小值，可作B点关于x轴的对称点，连接，此时的长即为所求代数式的最小值， ∵， ∴， ∵ ∴ ， ∴的最小值等于5 ， 故答案为：5． 18. 如图，在中，，，，点D在边BC上，且．现将绕着点D旋转得到，点、、分别与点A、B、C对应，连接．如果点在线段AD的延长线上，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，旋转性质．根据题意先画出旋转后的简图，先利用勾股定理求出的长，再求出，再利用勾股定理求出，继而得到，再利用旋转性质及勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：根据题意画出如下图： ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵现将绕着点D旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、简答题（本大题共4题，每题6分，满分24分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化．根据二次根式的混合运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】解： ． 20. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．先把原方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 21. 现有两段长度相等路面需要摊铺，分别交给甲乙两队完成．甲队摊铺路面的长度（米）与摊铺时间（小时）的函数关系的图象如图所示；乙队摊铺路面的长度（米）与摊铺时间（小时）的函数解析式是．结合图象提供的信息，回答下列问题： （1）甲队摊铺的路面总长是________米； （2）在图中画出乙队摊铺路面的长度（米）与摊铺时间（小时）的函数关系的图象； （3）当甲队的工作效率发生变化的这个时刻，乙队摊铺路面的长度是________米； （4）甲队的平均工作效率是每小时________米． 【答案】（1）100 （2）见解析 （3）50 （4） 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一次函数的应用，读懂函数图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由函数图象即可得出答案； （2）根据乙队摊铺路面的长度（米）与摊铺时间（小时）的函数解析式是画出图象即可； （3）由图可得，当时，甲队的工作效率发生变化，将代入进行计算即可得出答案； （4）由图可得：甲队摊铺的路面总长是米，所花费的时间为小时，由此进行计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：由图可得：甲队摊铺的路面总长是米， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画出乙队摊铺路面的长度（米）与摊铺时间（小时）的函数关系的图象如图所示： 【小问3详解】 解：由图可得，当时，甲队的工作效率发生变化， 此时乙队摊铺路面的长度是（米）， 故答案为：； 【小问4详解】 解：由图可得：甲队摊铺的路面总长是米，所花费的时间为小时， 故甲队的平均工作效率是每小时（米）， 故答案为：． 22. 如图，在中，，直线，垂足为点． （1）如果点在直线上，且点到两边的距离相等，试用直尺和圆规作出满足上述条件的点（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点）； （2）在第（1）题的条件下，连接接和，如果，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）为直角三角形．理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，尺规作图，勾股定理，解题的关键是掌握角平分线的性质． （1）根据角平分线的性质，尺规作的平分线，与直线交于点； （2）过点作于，根据角平分线性质得出，根据三角形面积公式求出，结合，可得，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求， 【小问2详解】 为直角三角形， 理由如下：过点作于． 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 为直角三角形． 四、解答题（本大题共3题，第23、24题每题8分，第25题12分，满分28分） 23. 已知：如图，在中，点A在边的垂直平分线上，直线l经过点A，、分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且． （1）求证：． （2）取边的中点F，连接，求证：平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，结合已知条件可证； （2）设l交于点Q，连接，过作于， 于，根据（1）结论可得，推出，可得为等腰直角三角形，推出，证，可得，得到，即得． 【小问1详解】 ∵，， ∴，与为直角三角形， ∵点A在边垂直平分线上， ∴， 在也中， ， ∴， 即； 【小问2详解】 设l交于点Q，连接，过作于，作于， ∴ 由（1）知， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵为中点， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线，全等三角形，等腰直角三角形，角平分线等，熟练掌握线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的判定，是解决问题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像经过点，点与点关于轴对称，且点在反比例函数的图像上． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）设是直线上的一动点．当线段最短时，求的面积． 【答案】（1）1； （2） 【解析】 【分析】本题考查正比例函数、反比例函数的性质以及直线与坐标轴的交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键， （1）将将代入得到的值，与点关于轴对称，可得，再将点代入即可得到反比例函数的解析式； （2）设，当时，线段最短，根据勾股定理可得点的坐标，即可得到、的值，的面积即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， 将代入得， ∴． 【小问2详解】 解：设， 当时，线段最短， 由（1）知，， ∴， ， ， 由勾定理得， ∴， 整理得： 解之得：（舍），． ∴， ∴， ， ∴． 25. 【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系． 如图1，已知在中，BD是的角平分线，是的中线，，垂足为点F． （1）根据图1，写出中小普同学所发现的结论，并给出证明； 【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究： （2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由； （3）已知线段，是否存在一点P，使得以为一边的“线垂”三角形为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规做出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点P），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1），证明见解析；（2）可以，的度数为或；（3）存在，见解析 【解析】 【分析】本题考查新定义，尺规作图，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，角平分线定义，中线定义等知识点，理解新定义，熟练掌握相关知识，合理分类讨论是解题的关键． （1）利用角平分线性质及垂直的定义得到，即为等腰三角形，再根据中线定义即可得到本题答案； （2）分，，三种情况讨论，根据（1）中结论即角平分线性质即可得到本题答案； （3）作线段的垂直平分线交线于O，以M为圆心，为半径画弧，以N为圆心，为半径画弧，两弧相交点，连接，即可． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴； （2）解：可以， 理由如下： ①当时，如图， ∵，是中线， ∴， 在“线垂”三角形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵是的角平分线， ∴； ②当时，如图， ∵是中线， ∴， 在“线垂”三角形中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ③当，，与“线垂”三角形中，，相矛盾，故舍去； 综上，的度数为或； （3）解：存在，如图，即所求， 由作图知：O为中点，，，平分， ∴， ∴等腰是以为“分角”的“线垂”三角形， “线垂”等腰三角形的两底角相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$