专题1.11 三角形的证明单元提升卷-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（北师大版）

第1章 三角形的证明单元提升卷 【北师大版】 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24八年级·四川遂宁·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则此三角形的顶角是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查外角的性质、三角形内角和定理，垂直的性质，关键在于根据题意分析讨论，认真的进行计算． 根据题意，一种情况为等腰三角形为锐角等腰三角形，根据垂直的性质外角的性质即可推出顶角为，另一种情况为等腰三角形为钝角三角形，根据三角形内角和定理和垂直的定理即可推出顶角为． 【详解】解：①此等腰三角形为钝角三角形， 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为， 此三角形的顶角， ②此等腰三角形为锐角三角形， 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为， 此三角形的顶角 故选：C． 2．（3分）（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）下列各组数据，能作为直角三角形三边长的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形，掌握勾股数的定义及勾股定理的逆定理是解答本题的关键． 根据勾股数是正整数以及勾股定理的逆定理逐项判断即可解答． 【详解】解：A、， 不能组成三角形，故A选项错误； B、， 不能作为直角三角形三边长，故B选项错误； C、， 能作为直角三角形三边长，故C选项正确； D、， 不能作为直角三角形三边长，故D选项错误． 故选：C． 3．（3分）（23-24八年级·辽宁大连·期末）如图，在中，已知，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，且，则的长是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和含角的直角三角形的性质等知识，利用线段垂直平分线的性质得，利用等腰三角形的性质得∠且，再利用外角的性质得，即可得的值． 【详解】解：如图，连接， ∵边的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴， ∵，， ∴且， ∴， ∴． 故选：B． 4．（3分）（23-24八年级·河北廊坊·期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，于点，连接，若，则线段的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握其判定的方法和性质是解题的关键． 根据题意，可证，得到，则有，再证，得到，由，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（3分）（23-24八年级·江苏镇江·阶段练习）如图，，点C落在上，于点H．若，则的长为（　　） A．3.5 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】过点作于点，如图，先根据全等三角形的性质，由得到，，，，再证明，则根据角平分线的性质得到，接着证明得到，证明得到，然后计算即可．本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．也考查了直角三角形的判定与性质． 【详解】解：过点作于点，如图， ∵， ，，，， ， ， ， 平分， 而，， ， 在和中， ， ∴ ， 在和中， ， ∴， ， ． 故选：B． 6．（3分）（23-24八年级·河南洛阳·期末）如图，．点，，，，在射线上，点，，，，在射线上，，，，均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质和，可求得，进而证得是等腰三角形，可求得的长，同理可得是等腰三角形，可得，同理得规律，即可求得结果． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴， ∴， ∴，则是等腰三角形， ∴， ∵， ∴=1，， 同理可得是等腰三角形，可得=2， 同理得、， 根据以上规律可得：，即的边长为， 故选：B． 【点睛】本题属于探索规律题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°、等角对等边和探索规律并归纳公式是解题的关键． 7．（3分）（23-24八年级·山东潍坊·期末）在一个的正方形网格中，，是如图所示的两个格点，如果也是格点，且是等腰三角形，则符合条件的点的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意、结合图形，画出图形即可确定答案. 【详解】解：根据题意，画出图形如图：共8个. 故答案为C. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，根据题意、画出符合实际条件的图形是解答本题的关键. 8．（3分）（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）如图，是等边的中线，，是直线上一动点，以为边作等边三角形，连接，下列说法正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最大值是2 C．的最小值是4 D．的最大值是4 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 如图：取中点K，连接，证明，得出，当时，最小，故，再根据含角的直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图，取中点K，连接，则， ∵是等边的中线，， ∴，， ∵为边作等边三角形， ∴， ∴，即， ， ∴， ∴当最小时，最小，当时，最小， ∴， ， ， ∴． 故选：A． 9．（3分）（23-24八年级·浙江金华·阶段练习）如图，在的正方形网格中，的度数是（ ） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 【答案】C 【分析】连接AB，求出AB、BM、AM的长，根据勾股定理逆定理即可求证为直角三角形，而AM=BM，即为等腰直角三角形，据此即可求解． 【详解】连接AB ∵，， ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，重点是求出三条边的长，然后证明为直角三角形． 10．（3分）（23-24八年级·福建福州·期末）如图，点A，B，C，D顺次在直线l上，等腰Rt△ACE的底边AC=m，等腰△BDF的底边BD=n，腰FB=FD=n，记△CDE与△ABF的面积的差为S，当BC的长度变化时，S始终保持不变，则m，n满足（    ） A．m＝n B．m＝n C．m＝n D．m＝n 【答案】A 【分析】过点F作FH⊥AD于点H．过点E作EG⊥AD于G，分别利用直角三角形的性质和勾股定理求出EG和FH，然后设BC=x，分别表示出△CDE与△ABF的面积，再将二者相减得到关于x的代数式，因为x变化时，S不变，所以x的系数为0，则可得到m与n的关系式． 【详解】解：过点F作FH⊥AD于点H，过点E作EG⊥AD于G， ∵△ACE是等腰直角三角形，AC=m， ∴EG=AC=， ∵BD=n，FB=FD=n，FH⊥AD， ∴BH=BD=， 在Rt△BHF中， FH=， 设BC=x， 则S△ABF=AB•FH=（m-x）×n，S△CDE=CD•EG=（n-x）×， ∴S△CDE-S△ABF=（n-x）×-（m-x）×n =（-）x-， ∵当BC的长度变化时，S始终保持不变， ∴-=0， ∴m=n， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及三角形的面积计算，熟练掌握等腰三角形的相关性质是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24八年级·山东菏泽·期中）如图，是等边三角形，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等边三角形的性质可得出，由可得出为等腰直角三角形，进而可得出及，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出的度数即可得出结论． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（3分）（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，高交于点，若的面积为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形证判定及性质，直角三角形的判定，三角形面积公式等，熟练掌握全等三角形证判定及性质是解题的关键．以为边，点为顶点作，延长与交于点，先通过角度等量代换证明，再依据全等三角形证明，进而利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，以为边，点为顶点作，延长与交于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴ ∵，， ∴（）， ∴． ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（3分）（23-24八年级·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，以点B为圆心，以为半径作弧交于点D，再分别以C，D为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，连接．则的度数为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查等边对等角，与角平分线有关的三角形的内角和问题，全等三角形的判定和性质，等边对等角求出的度数，角平分线求出的度数，进而求出的度数，证明，得到，平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可知：平分，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14．（3分）（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称−−最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，则此时点P就是使的值最大的点， 连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质可推出是等边三角形，进而即可得到结论，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P， ∴， ∴， 根据三角形的三边关系可知，此时点P就是使的值最大的点， 连接， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（3分）（23-24八年级·四川成都·期中）如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当时，由三线合一可得，由勾股定理可得，由轴对称的性质可得，，进而可得，设，则，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的长；当时，作于点，利用邻补角互补可得，由轴对称的性质可得，利用邻补角互补可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，根据即可求出的长；综上，即可得出答案． 【详解】解：分两种情况讨论： 当时， 如图， ， ，， ， ， ， 由轴对称的性质可得：，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ； 当时， 如图，作于点， ， ， ， 由轴对称的性质可得： ， ， ， ， ， ； 综上，的长是或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了三线合一，勾股定理，轴对称的性质，线段的和与差，解一元一次方程，垂线的性质，利用邻补角互补求角度，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 16．（3分）（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在中，，，平分交于点，交的延长线于点，交的延长线于点，连．下列结论：①；②；③；④为定值．其中正确的结论是 ．（填写序号）    【答案】①②④ 【分析】作，，，垂足为、，证明，由全等三角形的性质得出，，证明为等腰直角三角形，可判断①正确；求出，进而可判断②；证明，，进而可判断③；证明，得出，，求出，证明，可判断④． 【详解】解：作，，，垂足为、，    根据等腰直角三角形的性质有：， ∵， ∴，即， ∵平分， ∴， ，， ， 又 ，， ， ，， 又 ， 为等腰直角三角形， ，①正确； ，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ，②正确； 平分，，， ，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ， ， ，③错误； ，，， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ∴为定值，④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）（23-24八年级·安徽合肥·期末）如图所示，从等腰直角的直角顶点C向中线作垂线，交于点F，交于点E，连接．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的定义等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．作的平分线交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：如图，作的平分线交于点， ∵在等腰直角中，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等腰直角的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 18．（6分）（23-24八年级·贵州遵义·期末）如图，在中，，是边的高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交于点F，且，垂足为F． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得垂直平分，结合题意得出，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，再由直角三角形的性质得出，再由等边三角形的性质可得，最后再由直角三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵是边的高，点D是边的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：由（1）可得是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是边的高， ∴， ∴． 19．（8分）（23-24八年级·四川凉山·阶段练习）如图，已知等腰三角形和等腰三角形，，，，连接，交于点，连接．求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解； 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的判定： （1）证明即可得到答案； （2）过C作，，证明，得到，结合角平分线的判定直接证明即可得到答案； 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过C作，， ∵， ∴ ∵，， ， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 20．（8分）（23-24八年级·辽宁·阶段练习）如图，在和中，，点在上，且，过点作于点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理． （1）先证得，再由得，即可得出结论； （2）设，由（1）可得，再由得，即可得，再由三角形内角和定理即可得解． 【详解】（1）证明：∵在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设，由（1）可得， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴． 21．（8分）（23-24八年级·江苏无锡·期末）如图，已知在中，，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接． (1)当__________时，平分的面积； (2)当__________时，为以为腰的等腰三角形； (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 【答案】(1)4 (2)5或16 (3)5或11 【分析】（1）根据题意，，由平分的面积，得结合，解答即可； （2）分和两种情况求解即可． （3）根据勾股定理，得，分点P在上和在的延长线上，两种情况解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，，，， 由平分的面积， 得， ∴， ∵， ∴， 解得． （2）解：∵为以为腰的等腰三角形， 当时， 根据题意，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 当时，设， ∵， 则， ∵，， ∴， 解得， ∴， 解得． 故当或时，为以为腰的等腰三角形． （3）解：∵，，，，， ∴， 根据勾股定理，得， 当点P在上时， ∵ ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得． 当点P在的延长线上， ∵ ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得． ∴， 解得． 故当或时，． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，三角形全等的判定和性质，一元一次方程，等腰三角形的判定和性质，分类思想，三角形面积的性质，熟练掌握勾股定理和三角形全等的判定是解题的关键． 22．（8分）（23-24八年级·河南漯河·期中）如图，中， ，P为直线上一点，E为直线上一点，连接，使得． (1)当，填空： ①如图1，点P为线段的中点时，线段与的数量关系 ； ②如图2，点P为直线上任一点时，线段与的数量关系是 ； (2)当时，如图3，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)成立，证明见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）①连接，证出 ，即可得出结论；②过点P作交于点H，证出 ，即可得出结论； （2）在上取一点F使，证 即可得； 【详解】（1）①连接 ∵， ∴ 为等边三角形 ∵ ∴， ∴ 又∵点P为线段的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 又∵ ∴为等边三角形 ∴ 故答案为：； ②过点P作交于点H． 由①得为等边三角形． ∴为等边三角形． ∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ 故答案为：； （2）成立，在上取一点F使，如图 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ 23．（8分）（23-24八年级·河北邯郸·阶段练习）如图1，图2，在和中，，，，与所在直线相交于点，于点．    (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图1，若，，则的长为___________； (3)如图2，若，，连接，交于点． ①是否为线段的垂直平分线？并说明理由； ②过点作，交的延长线于点，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)①是线段的垂直平分线，理由见解析；② 【分析】（1）作，证明和，可以推出，就可得到平分； （2）证明，推出，利用三角形面积公式即可求解； （3）①利用等腰三角形三线合一的性质即可得证； ②由是线段的垂直平分线，推出，，得到，再证明，等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：如图，过点C作，垂足为N，    在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解①：是线段的垂直平分线，理由如下： 由（1）可得，平分， ∵， ∴，， ∴是线段的垂直平分线； ②， ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴． ∴， 【点睛】本题是一道与三角形相关的综合性题目，考查的知识点有：全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，线段垂直平分线的判定和性质，本题熟练掌握三角形全等的性质和判定是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形的证明单元提升卷 【北师大版】 考试时间：60分钟；满分：100分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24八年级·四川遂宁·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则此三角形的顶角是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 2．（3分）（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）下列各组数据，能作为直角三角形三边长的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）（23-24八年级·辽宁大连·期末）如图，在中，已知，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，且，则的长是（　） A． B． C． D． 4．（3分）（23-24八年级·河北廊坊·期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，于点，连接，若，则线段的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．（3分）（23-24八年级·江苏镇江·阶段练习）如图，，点C落在上，于点H．若，则的长为（　　） A．3.5 B．4 C．5 D．6 6．（3分）（23-24八年级·河南洛阳·期末）如图，．点，，，，在射线上，点，，，，在射线上，，，，均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A． B． C． D． 7．（3分）（23-24八年级·山东潍坊·期末）在一个的正方形网格中，，是如图所示的两个格点，如果也是格点，且是等腰三角形，则符合条件的点的个数是（   ） A． B． C． D． 8．（3分）（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）如图，是等边的中线，，是直线上一动点，以为边作等边三角形，连接，下列说法正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最大值是2 C．的最小值是4 D．的最大值是4 9．（3分）（23-24八年级·浙江金华·阶段练习）如图，在的正方形网格中，的度数是（ ） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 10．（3分）（23-24八年级·福建福州·期末）如图，点A，B，C，D顺次在直线l上，等腰Rt△ACE的底边AC=m，等腰△BDF的底边BD=n，腰FB=FD=n，记△CDE与△ABF的面积的差为S，当BC的长度变化时，S始终保持不变，则m，n满足（    ） A．m＝n B．m＝n C．m＝n D．m＝n 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24八年级·山东菏泽·期中）如图，是等边三角形，，，则的度数为 ． 12．（3分）（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，高交于点，若的面积为，则的长为 ． 13．（3分）（23-24八年级·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，以点B为圆心，以为半径作弧交于点D，再分别以C，D为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，连接．则的度数为 （用含的代数式表示）． 14．（3分）（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为 ． 15．（3分）（23-24八年级·四川成都·期中）如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是 ． 16．（3分）（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在中，，，平分交于点，交的延长线于点，交的延长线于点，连．下列结论：①；②；③；④为定值．其中正确的结论是 ．（填写序号）    三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）（23-24八年级·安徽合肥·期末）如图所示，从等腰直角的直角顶点C向中线作垂线，交于点F，交于点E，连接．求证：． 18．（6分）（23-24八年级·贵州遵义·期末）如图，在中，，是边的高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交于点F，且，垂足为F． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 19．（8分）（23-24八年级·四川凉山·阶段练习）如图，已知等腰三角形和等腰三角形，，，，连接，交于点，连接．求证： (1)； (2)平分． 20．（8分）（23-24八年级·辽宁·阶段练习）如图，在和中，，点在上，且，过点作于点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 21．（8分）（23-24八年级·江苏无锡·期末）如图，已知在中，，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接． (1)当__________时，平分的面积； (2)当__________时，为以为腰的等腰三角形； (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 22．（8分）（23-24八年级·河南漯河·期中）如图，中， ，P为直线上一点，E为直线上一点，连接，使得． (1)当，填空： ①如图1，点P为线段的中点时，线段与的数量关系 ； ②如图2，点P为直线上任一点时，线段与的数量关系是 ； (2)当时，如图3，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 23．（8分）（23-24八年级·河北邯郸·阶段练习）如图1，图2，在和中，，，，与所在直线相交于点，于点．    (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图1，若，，则的长为___________； (3)如图2，若，，连接，交于点． ①是否为线段的垂直平分线？并说明理由； ②过点作，交的延长线于点，直接写出与之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$