江苏省盐城市阜宁县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024年秋学期九年级期末学情调研 数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是 A.y=3x-1 B.y=ax'+bx+c C.5=2-24+1D.y=+ 2.已知⊙0的半径为6，点P在⊙0外，则0P的长可能是 A.4 B.5 c.6 D.7 3.已知△ABC△DEF,相似比为1：2，且△MABC的面积为6，则△DEF的面积为 A.12 B.3 C.6 D.24 4。一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上·如果每一块方砖除颜 色外完全相同，则小球最终停留在黑色方砖上的概率是 5词 A.9 4 2 B. C. 3 D.A 第4题困 第5题图△标勤 第8题图 5.如图，四边形ABCD是OO的内接四边形，∠A=118°，则∠BOD的度数为 A.100 B.124 C.118 D.120 6.若x,x3是一元二次方程x2-x-2025=0的两个实数根，则x+x2-x为2的值为 A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 7.在二次函数y=(xm)+6中，若x>2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 A.m=2 B.m>2 C.m≥2 D.m≤2 8.如图，河对岸有一灯杆AB,在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF2m,沿BD方 向前进到达点F处测得自己的影长FG-25m,设小明的身高为15m,则灯杆AB的高度 为 0图 A.7.5m B.6.4m C.8m D.12m 九年级数学第1页（共6页） 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请将答案直接写 在答题卡相应位置上) 9.一元二次方程x2+4x=0的解是人 10.已知9=+0，则a的值为4 45 a+b 11.若x=2是方程x2-5x+m=0的一个根，则m的值为▲ 12.已知一组数据1,2,3,4,5，则这组数据的方差是▲ 13.如图，AB是00的弦，半径0CLAB,垂足为点D.若AB=6,CD=2,则⊙0的直径 为▲一 ④3 第13题 第15题图 第16题图 14.在平面直角坐标系中，将函数y=-x的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个 单位长度后，得到的图象的函数表达式是▲ 15.如图，对折边长为4的正方形纸片ABCD,OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作 弧，分别交AD、BC于E、F两点，则扇形OEF的面积为▲ 16.如图，二次函数y=(x+m)+k的图象与x轴交于A、B两点，顶点E的坐标为（一1. 一4)，线段BE与y轴交于点C(0,一2)，连接AC、AE.点F是抛物线上任意一点，若 △FAE的面积与AMCE的面积相等，则点F的坐标为▲ 三、解答题（本大题共有川小题，共12分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤) 17.(6分)解下列方程： ①+4x+3=0:0682)a-川-=0 1关1 拉 00=的院解京信地，因的日 九年级数学第2页（共6页） 18.(6分)如图，在平面直角坐标系中，△4BC的顶点坐标分别为4(5,1)、B(1,3》C53) (I)以点O为位似中心，在y轴右侧画出△ABC的位似图形△A'BC,使△MBC与△ABC 的相似比为2：1： (2)若点P在△ABC内部，且坐标为（a,b),则按(1)变化后的对应点P的坐标 为 19.(8分)某中学组织了七、八年级所有学生参加“交通安全知识”竞赛，现从这两个年级 分别随机抽取10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分学生 的竞赛成绩均不低于0分，用x表示)，并将学生的竞赛成绩分为A、B、C三个组： 90≤x≤100、B.80≤x<90、C.70≤x<80),下面给出了部分信息： 七年级抽取的10名学生的竞赛成绩为：76,78,80,82,87,87,87,93,93,97. 八年级抽取的10名学生的竞赛成绩在B组中的所有数据为：80,83,88,88. 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 八年级抽取的学生的竞赛成绩瑞形统计图 年级 平均数 中位数 众数 七年级 哈 87 八年级 86 b 20% 根据以上信息，解答下列句题： (1)填空：a= b (2)该粒八年级学生共有1600人，估计该校八年级学生中“交通安全知识”竟赛成绩 为“优秀”(x≥90)的有多少人？ 九年级数学第3页（共6页) 20.(8分)在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”，将这3张小纸条做成3 支签，放在不透明的盒子中搅匀. (1)从盒子中任意抽出1支签，抽到“布”的概率是 (2)甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子"胜“布”，“布” 胜“石头”，甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意 抽出1支签，求甲取胜的概率， 21.(8分)已知关于x的-元二次方程x2-(2k+1x+2k=0. 。（D求证：无论k为何值，方程总有两个实数根： (2)若该方程有一个实数根大于3，求k的取值范围， 22.(10分)二次函数y=a2+bx+e的部分图象如图所示 (1)根据图象，回答以下问题： ①若点4(3，片)，B(6,乃2)在这个函数的图象上，则y y2; (填“>”“<”或“=) ②关于x的方程a2+br+c=0的解是 (2)若该二次函数图象经过点(0，一5)，求它的项点坐标 23.(10分)古今中外，人们把黄金分割誉为“天慧”的比例法则，它是几何学中一大瑰宝. (I)如图O,若AB=10,点H是线段AB的黄金分制点(AH>BH,求线段AH的长 (2)如图②，在△MBC中，AB=4C,∠A=36°，CM是∠ACB的平分线，求证：点M 是线段AB的黄金分制点， 图0 九年级数学第4页（共6页） 24.(10分)如图，在△M8C中，点0是B上（异于点本、8）的一点，O0恰好经过点8、 C,BD⊥AC,垂足为点D,且BC平分∠ABD. (1)判断4C与⊙0的位置关系，并说明理由， (2)若AB=5,AD=4,求⊙0的半径长。 25.(10分)某服装店销售一款卫衣，这款卫衣的每件进价为80元，现在的每件售价为100 元，每星期可卖出40件。经市场调查发现如下信息： 信息一：这款卫衣的每件售价每降1元，每星期可多实出10件： 信息二：由于货源紧缺，这款卫农每星期最多能卖100件. 设这款卫衣的每件售价降了x元，每星期的销量为y件， (1)写出y与x的函数表达式： (2)当x等于多少时，该服装店每星期销售这款卫农获得的利润最大，最大利润是多少元？ + 实的子话于预京达夜在红国可吹本 安花业女的线 26.(12分)【问题呈现】 (1)如图O,△ABC和△MEF都是等边三角形，连接CF、BE.则CF与BE之间的数量 关系为 【类比探究】 (2)如图②，△ABC和△MEF都是等腰直角三角形，∠4CB=∠AFE=90°，连接CF、 8E.则CF BE 九年饭数学第5页（共6页） 【拓展提升】出大子0 (3)如图③，△4BC和△4EF都是直角三角形∠4CB=∠AFE=90°，且4C-仁=4连 BC EF 5 接CF、BB,延长EB交CF于点G,交AF于点D O求CF的值： BE 共，代无团水共酒天本)医志 ②若DF-,4F4,请求出DC的长.字馆么高科法年日合一 EF 5 图① 图②， 图③ 27.(14分)如图①，在平面直角坐标系中，一个半圆和二次函数图象的一部分围成的封闭图 形，称为“甜筒圆”，己知A、B、C、D分别为“甜筒圆”与坐标轴的交点，其中半圆 直径CD-12,圆心E(2,0),二次函数的最小值为-9. (1)求“甜简圆”中的二次函数的表达式： (2)如图②，画直线AD,点G是第四象限内“甜筒圆”上的一点，过点G作x轴的平行 线与直线AD相交于点F,求FG的最大值： (3)如图③，连接4C,点H为“甜筒圆”上任意一点，过H作HM⊥CD,垂足为点 M,是否存在点H使得△HMD和△COA相似，若存在，请直接写出点H的坐标， 若不存在，请说明理由 图① 图2 图③ 九年级数学第6页（共6页）九年级数学 第 1页（共 7页） 九年级数学参考答案 一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1—4 CDDA 5—8 BCDA 二、填空题（每题 3 分，共 24 分） 9． 4,0 21  xx 10． 9 4 11．6 12．2 13． 2 13 14．� =− (� + 3)2 −5 （或 1462  xxy ） 15． π 3 8 16． ））或（（ 522,52522,52  三、解答题（本大题共 11 小题，共 102 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（6分）解：（1） �1=−1，�2= −3 ； ……………………3分 （2） �1= 1 3 ，�2=1． ……………………6分 18.（6分）解：（1）如图，△A'B'C'即为所求． …………4分 （2）（2a，2b）． …………6分 19.（8分）解：（1）87，88，40； ……………………6分 （2）1600×40%＝640（人）， 答：估计该校八年级学生中“交通安全知识”测试成绩为“优秀”（x≥90）的共有 640人. ……………………8分 20.（8分）解：（1） 1 3 ； ……………………3分 (2) 方法一 用表格列出所有可能的结果： 甲抽到的签 乙抽到的签 石头 剪子 布 石头 （石头，剪子） （石头，布） 剪子 （剪子，石头） （剪子，布） 布 （布，石头） （布，剪子） ……………………5分 由表格可知，共有 6种可能的结果，并且它们的出现是等可能的. ……………………6分 “甲取胜”记为事件 F，它的发生有 3种可能. 九年级数学 第 2页（共 7页） ∴�(�)＝ 3 6 ＝ 1 2 ， ∴甲取胜的概率为 1 2 ． ……………………8分 方法二 用树状图列出所有可能的结果： ……………………5分 由树状图可知，共有 6种可能的结果，并且它们的出现是等可能的. ……………………6分 “甲取胜”记为事件 F，它的发生有 3种可能. ∴�(�)＝ 3 6 ＝ 1 2 ， ∴甲取胜的概率为 1 2 ． ……………………8分 21.（8分）（1）证明：∵ ,2),12(,1 kckba  ∴ acb 42  ＝[－(2k+1)]2－4×2k×1 ……………………2分 ＝(2k－1)2≥0， ∴无论 k为何值，方程总有两个实数根； ……………………4分 （2）解：由（1）知， ,2),12(,1 kckba  042  acb 解方程得 2 )12(12 2  kk x ， ∴x1＝2k，x2＝1． ……………………6分 由题意可知 2k＞3， ∴k＞ 2 3 ． ……………………8分 22.（10分）解：（1）①< ……………………3分 乙抽到的签甲抽到的签 结果 剪子 C 布 剪子 石头 开始 石头 （石头，剪子） （石头，布） （剪子，石头） （剪子，布） （布，石头） （布，剪子） 剪子 布 布 石头 九年级数学 第 3页（共 7页） ② x1＝－1，x2＝5． ……………………6分 （2）解：设二次函数表达式为 y＝a(x－2)2+k． 根据题意，当 x＝5时，y＝0；当 x＝0时，y＝－5． ∴ 9� + � = 0 4� + � =− 5， 解得 � = 1 � =− 9， ∴二次函数表达式为 9)2( 2  xy (或 542  xxy ) , ……………………8分 ∴顶点坐标为 ），（ 92  . ……………………10分 23.（10分） （1）解：∵H是线段 AB的黄金分割点（AH＞BH）． ∴ 2 15   AB AH ， ∴ 2 15   ABAH ， 2 1510  ……………………3分 555  ∴线段 AH的长为 555  . ……………………5分 （2）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠B＝∠ACB＝72°． ∵CM平分∠ACB， ∴  36 2 1 ACBACMBCM ， ∵ °== 36∠∠ ABCM ，∠B＝∠CBM＝72°， ∴△CBM∽△ABC， ……………………8分 ∴ AB BC BC BM = ， ∵ BBCMBBMC  72∠∠180∠ ， ∴CM=BM 九年级数学 第 4页（共 7页） ∵ °== 36∠∠ AACM , ∴AM = CM=BC, ∴ AB AM AM BM = ∴点 M是线段 AB的黄金分割点． ……………………10分 24.（10分）解：（1）AC与⊙O相切. ……………………1分 理由如下：如图，连接 OC， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵BC平分∠ABD， ∴∠DBC＝∠OBC， ∴∠OCB＝∠DBC， ∴OC∥BD， ……………………3分 ∴∠ACO＝∠D， ∵BD⊥AD， ∴∠D＝90°， ∴∠ACO＝∠D＝90°， ∴AC与⊙O相切； ……………………5分 （2）设⊙O的半径为 r. ∵∠D＝90°，AB＝5，AD＝4， ∴BD＝ 322  ADAB ， 由（1）知，∠ACO＝∠D， 又∵∠CAO＝∠DAB， ∴ ABDAOC∽△△ ， ……………………8分 ∴ AB AO BD OC = ， ∴ 5 5 3 rr   ， ∴ 8 15=r ， ∴⊙O的半径长为 8 15 ． ……………………10分 25.（10分）解：（1）y与 x的函数表达式为 y＝10x+40； ……………………3分 （2）设该服装店每星期销售这款卫衣获得的利润为 w元. w=(100－x－80)(10x+40) ……………………6分 九年级数学 第 5页（共 7页） ＝－10x2+160x+800 ……………………7分 ＝－10（x－8）2+1440， ∵每星期最多能卖 100件， ∴10x+40≤100 ∴x≤6， ∵－10＜0，二次函数图象开口向下, ∴当 x＜ 8时，w随 x的增大而增大. ∴当 x＝6时，w有最大值，最大值为 1400， ……………………9分 答：当 x＝6 时，该服装店每星期销售这款卫衣获得的利润最大，最大利润是 1400 元. ……………………10分 26.（12分）解：（1）CF＝BE， ……………………2分 （2） 2 2 . ……………………4分 (3)①由 5 4== EF AF BC AC ，得 EF BC AF AC = . 又∵∠ACB＝∠AFE＝90°， ∴△ABC∽△AEF. ……………………5分 ∴∠CAB＝∠FAE，���� = �� ��， ∵∠CAB－∠FAB＝∠FAE－∠FAB， ∴∠CAF＝∠BAE， ∴△CAF∽△BAE， ∴ AB AC BE CF = ， 5 4== EF AF BC AC ∵ 设 AC＝4a，BC＝5a, ∴ aBCACAB 4122 =+= ． 九年级数学 第 6页（共 7页） ∴ 41 414 41 4 === a a AB AC BE CF . ……………………8分 ② 由①得：△CAF∽△BAE， ∴∠CFA＝∠BEA， ∵∠GDF＝∠ADE， ∴△GDF∽△ADE， ……………………10分 ∴ ED DF AD DG = . ∵ 5 4= EF AF ，AF=4， ∴EF=5， ∵ , 5 1= EF DF ∴ ,1 5 1 == EFDF ,3=AD 在 Rt△DFE中， 2622 =+= DFEFED . ∴ 26 1 3 =DG ， ∴ 26 263=DG . ……………………12分 27.（14分）解：（1）∵半圆直径 CD=12，圆心 E（2,0）， ∴D（8,0），C（－4,0）， ……………………2分 由题意知：二次函数的顶点坐标为（2,－9）. ……………………3分 设二次函数表达式为   92 2  xay ， 当 x=8时， 0936  ay ， 解得： 4 1=a ， ∴二次函数的表达式为：   92 4 1 2  xy ，即 8 4 1 2  xxy ； ……………………5分 （2）由（1）知，二次函数 8 4 1 2  xxy ， 九年级数学 第 7页（共 7页） 令 x=0,y=－8, ∴A(0,－8), 设直线 AD的表达式为： ,bkxy += 将 A(0,－8)，D（8,0）带入得： ∴ � =− 8 8� + � = 0， 解得 � = 1 � =− 8 ∴直线 AD的表达式为： ,8 xy ……………………7分 设点 )8 4 1,( 2  aaaG ， ∵FG∥x轴， ∴点 F的纵坐标为 8 4 1 2  aa ， 令 ,8 4 18 2  aaxy 解得： aax  2 4 1 ， ∴点 )8 4 1, 4 1( 22  aaaaF ， ∴ , 4 12) 4 1( 22 aaaaaFG  = 44 4 1 2  ）（a . 当 a=4时，FG最大，最大值为 4, ∴ FG的最大值为 4 . ……………………10分 （3）存在. ），）或（，）或（，或（ 5 24 5 8 5 24 5 2884)5,2( H ． ……………………14分