7.3 定义、命题、定理【5个必考点】（必考点分类集训）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册必考点分类集训系列（人教版2024）

7.3 定义、命题、定理【5个必考点】 【人教版2024】 【考点1 判断一句话是不是命题】 1 【考点2 判断命题的真假】 2 【考点3 指出命题的题设与结论】 3 【考点4 举反例驳假命题】 4 【考点5 命题与证明综合应用】 5 【考点1 判断一句话是不是命题】 【知识梳理】 命题的定义：可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题． 【必刷题】 1．（2024秋•李沧区期末）下列语句是命题的是（　　） A．延长线段AB B．两直线相交有几个交点？ C．同位角相等 D．连接A，B两点 2．（2024春•凤凰县期末）下列语句，不是命题的是（　　） A．两点之间线段最短 B．在同一个平面内两直线不平行就相交 C．连接A，B两点 D．对顶角相等 3．（2024秋•迎泽区校级月考）下列语句中，是命题的是（　　） A．延长线段AB到C B．两点之间线段最短 C．画∠AOB＝45° D．等角的余角相等吗 4．（2023秋•侯马市期末）下列语句中，不是命题的是（　　） A．若两角之和为90°，则这两个角互补 B．同角的余角相等 C．作线段的垂直平分线 D．相等的角是对顶角 5．（2024秋•平湖市期中）下列语句不是命题的是（　　） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段AB上取点C，使CA＝CB 【考点2 判断命题的真假】 【知识梳理】 命题的真假：被判断为正确（或真）的命题叫作真命题，被判断为错误（或假）的命题叫作假命题． 【必刷题】 1．（2024秋•巴彦县期末）下列命题中真命题的个数是（　　） （1）对顶角相等； （2）平行于同一直线的两条直线平行； （3）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； （4）两直线平行，同旁内角互补． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024春•咸安区期末）已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（　　） A．如果a∥b，b∥c，那么a∥c B．如果a⊥b，b⊥c，那么a⊥c C．如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c D．如果a⊥b，a∥c，那么b⊥c 3．（2024春•下陆区期中）下列四个命题： ①相等的角是对顶角； ②两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ③等角的补角相等； ④垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离，其中真命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024春•日照期末）以下命题： ①对顶角相等； ②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等．其中真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024秋•南岗区校级期中）下列命题中： （1）点到直线的距离是指这点到直线的垂线段； （2）两直线被第三条直线所截，同位角相等； （3）平移时，连接对应点的线段平行且相等； （4）在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直； （5）对顶角相等； （6）过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 其中真命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点3 指出命题的题设与结论】 【知识梳理】 命题的组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.通常可以写成“如果……那么……”的形式.“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论 . 【必刷题】 1．（2024秋•金凤区校级期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果…，那么…”形式为如果 　 　，那么 　 　． 2．（2024秋•麦积区期中）把命题“等式两边加同一个数，结果仍然是等式”改写成“如果......那么......的形式是 　 　． 3．（2024春•江夏区期中）命题：“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”．请写出这个命题的题设是 　 　． 4．（2024春•华阴市期末）如图，点A、D分别在线段CE、BF上，连接AB、CD、EF．现有以下三个论断：①AB∥CD；②∠B＝∠C；③∠E＝∠F．如果以其中两个论断为条件，另一个论断为结论构造命题，能够构成 　 　个真命题． 5．（2024春•韩城市校级月考）请将下列命题改写成“如果……那么……”的形式： （1）等角的补角相等； （2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． 6．（2024春•黄陂区月考）“连结直线外一点与直线上一点的所有线段中，垂线段最短”的题设是 　 　，结论是 　 　． 【考点4 举反例驳假命题】 【知识梳理】 举反例：要说明一个命题是假命题，只要举出一个符合命题的题设，但不满足命题的结论的例子就可以了.像这样的例子叫作反例. 【必刷题】 1．（2024秋•西安期末）要说明命题“若a＞b，则a2＞ab“是假命题，能举的一个反例是（　　） A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝2，b＝1 C．a＝4，b＝﹣1 D．a＝﹣2，b＝﹣3 2．（2024春•太和县月考）能说明命题“如果∠1+∠2≠60°，那么∠1≠∠2”为假命题的反例是（　　） A．∠1＝40°，∠2＝20° B．∠1＝20°，∠2＝20° C．∠1＝30°，∠2＝30° D．∠1＜30°，∠2＞30° 3．（2024秋•长泰区校级期末）要说明命题“任何一个角的补角都大于这个角”是假命题，可以举的反例是（　　） A．该角等于90° B．该角等于60° C．该角等于45° D．该角等于30° 4．（2024春•韩城市校级月考）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出个反例． （1）两个角的和等于直角时，这两个角互为余角； （2）同旁内角互补． 5．（2024春•玄武区校级期中）已知：三条不同的直线a，b，c在同一平面内，①a∥b；②a⊥c；③b⊥c；④a⊥b． 请你从①②③④中选择两个作为题设，一个作为结论，用“如果…那么…”的形式，写出满足下列条件的命题． （1）写出一个真命题，并证明它的正确性； （2）写出一个假命题，并举出反例． 6．（2024春•鼓楼区校级月考）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 【考点5 命题与证明综合应用】 【知识梳理】 （1）定理：有些真命题，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理.如“对顶角相等”“平行于同一直线的两条直线平行”都可以看作定理. （2）证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明，如本章我们做过的一些证明题，其过程就是在证明. （3）证明的一般步骤是：1.根据题意画:出图形；2.个依据题设、结论，结合图形写出已知、求证；3.个经过分析，由已知条件推出结论，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径，然后书写证明过程.证明的过程就是用已经学过的知识有理有据地推出结论.证明同一个命题可能会有多种方法. 【必刷题】 1．（2024春•姜堰区期末）已知：如图，点D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点． （1）给出下列三个事项：①DF∥AE；②∠FDE＝∠A；③DE∥BA．请你用其中两个事项作为条件，另一个事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明； 条件：　 　，结论：　 　.（填序号） 证明： （2）在（1）的条件下，若∠A＝∠BDF＝2∠EDC，求∠AFD的度数． 2．（2024春•朝天区期末）如图，已知AB⊥BC，∠1+∠2＝90°．现有3个条件：①∠2＝∠3；②∠2+∠3＝90°；③BE∥DF． （1）请在上述3个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 　 　，结论是 　 　；（填序号） （2）证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 3．（2024春•剑阁县月考）如图，直线AD与AB、CD相交于A、D两点，EC、BF与AB、CD相交于E、C、B、F，在下列三个式子：①∠1＝∠2，②∠B＝∠C，③∠A＝∠D中，请你将其中两个作为题设，一个作为结论组成一个真命题，并证明（只写出一种情况即可）． 已知：　 　求证：　 　证明： 4．（2024春•上杭县校级月考）如图，现有以下3个论断： ①AB∥CD； ②∠B＝∠C； ③∠E＝∠F． 请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题． （1）你构造的是哪几个命题？ （2）你构造的命题是真命题还是假命题？请选择其中一个真命题加以证明． 5．（2024春•阳东区期中）如图，在三角形ABC中，D，E是AB上的点，F是BC上一点，H，G是AC上的点，FD⊥AB于点D，连接EF，EH，EG．给定三个条件：①EG⊥AB，②∠α＝∠β，③∠C＝∠β+∠EGH． （1）请在上述三个条件中选择其中两个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 　 　，结论是 　 　（填写序号）； （2）证明上述命题． 6．（2024春•龙门县期中）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？ （1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示． ①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 　 　；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 　 　； ②由①得出一个真命题（用文字叙述）：　 　． （2）应用②中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3 定义、命题、定理【5个必考点】 【人教版2024】 【考点1 判断一句话是不是命题】 1 【考点2 判断命题的真假】 3 【考点3 指出命题的题设与结论】 6 【考点4 举反例驳假命题】 8 【考点5 命题与证明综合应用】 12 【考点1 判断一句话是不是命题】 【知识梳理】 命题的定义：可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题． 【必刷题】 1．（2024秋•李沧区期末）下列语句是命题的是（　　） A．延长线段AB B．两直线相交有几个交点？ C．同位角相等 D．连接A，B两点 【分析】根据命题的概念判断即可． 【解答】解：A、延长线段AB，不是命题，不符合题意； B、两直线相交有几个交点？，不是命题，不符合题意； C、同位角相等，是命题，符合题意； D、连接A，B两点，不是命题，不符合题意； 故选：C． 2．（2024春•凤凰县期末）下列语句，不是命题的是（　　） A．两点之间线段最短 B．在同一个平面内两直线不平行就相交 C．连接A，B两点 D．对顶角相等 【分析】根据命题的定义对各选项进行判断即可． 【解答】解：A．两点之间线段最短，是命题； B．在同一个平面内两直线不平行就相交，是命题； C．连接A，B两点，为描述性语言，不是命题； D．对顶角相等，是命题． 故选：C． 3．（2024秋•迎泽区校级月考）下列语句中，是命题的是（　　） A．延长线段AB到C B．两点之间线段最短 C．画∠AOB＝45° D．等角的余角相等吗 【分析】根据命题的定义解答即可． 【解答】解：A、延长线段AB到C，不是命题，不符合题意； B、两点之间线段最短，是命题，符合题意； C、画∠AOB＝45°，不是命题，不符合题意； D、等角的余角相等吗，不是命题，不符合题意． 故选：B． 4．（2023秋•侯马市期末）下列语句中，不是命题的是（　　） A．若两角之和为90°，则这两个角互补 B．同角的余角相等 C．作线段的垂直平分线 D．相等的角是对顶角 【分析】根据命题的定义作答． 【解答】解：根据命题的定义，可知A、B、D都是命题，而C属于作图语言，不是命题． 故选：C． 5．（2024秋•平湖市期中）下列语句不是命题的是（　　） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段AB上取点C，使CA＝CB 【分析】根据命题的定义分别进行判断即可． 【解答】解：A、对顶角相等是命题，不符合题意； B、同旁内角互补为命题，不符合题意； C、垂线段最短，是命题，不符合题意． D、在线段AB上取点C为描述性语言，不是命题，符合题意． 故选：D． 【考点2 判断命题的真假】 【知识梳理】 命题的真假：被判断为正确（或真）的命题叫作真命题，被判断为错误（或假）的命题叫作假命题． 【必刷题】 1．（2024秋•巴彦县期末）下列命题中真命题的个数是（　　） （1）对顶角相等； （2）平行于同一直线的两条直线平行； （3）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； （4）两直线平行，同旁内角互补． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据对顶角相等、平行公理的推论、垂线段最短、平行线的性质判断即可． 【解答】解：（1）对顶角相等，是真命题； （2）平行于同一直线的两条直线平行，是真命题； （3）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，是真命题； （4）两直线平行，同旁内角互补，是真命题； 故选：D． 2．（2024春•咸安区期末）已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（　　） A．如果a∥b，b∥c，那么a∥c B．如果a⊥b，b⊥c，那么a⊥c C．如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c D．如果a⊥b，a∥c，那么b⊥c 【分析】根据平行公理，平行线的判定对各选项作出图形判断即可得解． 【解答】解：A、，是真命题，故本选项不符合题意； B、，应为a∥c，故本选项是假命题，故本选项符合题意； C、，是真命题，故本选项不符合题意； D、，是真命题，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．（2024春•下陆区期中）下列四个命题： ①相等的角是对顶角； ②两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ③等角的补角相等； ④垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离，其中真命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据对顶角性质，平行线的判定与性质，点到直线的距离，补角的定义，逐项判断即可． 【解答】解：①对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，故①是假命题； ②两直线平行，同位角相等，故②是假命题； ③等角的补角相等，正确，③是真命题； ④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故④是假命题； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故⑤是假命题， 综上所述，真命题的个数为1， 故选：A． 4．（2024春•日照期末）以下命题： ①对顶角相等； ②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等．其中真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质及判定方法等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：①对顶角相等，正确，是真命题，符合题意； ②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，符合题意； ④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 真命题有2个， 故选：B． 5．（2024秋•南岗区校级期中）下列命题中： （1）点到直线的距离是指这点到直线的垂线段； （2）两直线被第三条直线所截，同位角相等； （3）平移时，连接对应点的线段平行且相等； （4）在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直； （5）对顶角相等； （6）过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 其中真命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用平移性质、平行线的判定、点到直线的距离及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：（1）点到直线的距离是指这点到直线的垂线段的长度，错误； （2）两平行线被第三条直线所截，同位角相等，错误； （3）平移时，连接对应点的线段平行且相等或相等且在同一直线上，故错误； （4）在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，错误； （5）对顶角相等，正确； （6）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误； 故选：A． 【考点3 指出命题的题设与结论】 【知识梳理】 命题的组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.通常可以写成“如果……那么……”的形式.“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论 . 【必刷题】 1．（2024秋•金凤区校级期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果…，那么…”形式为如果 　两个角是对顶角　，那么 　这两个角相等　． 【分析】改写成“如果……，那么……”的形式时，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是命题的结论． 【解答】答案：两个角是对顶角；这两个角相等． 解：“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． 故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等． 2．（2024秋•麦积区期中）把命题“等式两边加同一个数，结果仍然是等式”改写成“如果......那么......的形式是 　如果在等式两边加同一个数，那么结果仍然是等式　． 【分析】根据命题的概念解答即可． 【解答】解：命题“等式两边加同一个数，结果仍然是等式”改写成“如果......那么......的形式是：如果在等式两边加同一个数，那么结果仍然是等式， 故答案为：如果在等式两边加同一个数，那么结果仍然是等式． 3．（2024春•江夏区期中）命题：“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”．请写出这个命题的题设是 　两条平行线被第三条直线所截　． 【分析】根据命题的题设是已知事项解答即可． 【解答】解：命题：“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”的题设两条平行线被第三条直线所截， 故答案为：两条平行线被第三条直线所截． 4．（2024春•华阴市期末）如图，点A、D分别在线段CE、BF上，连接AB、CD、EF．现有以下三个论断：①AB∥CD；②∠B＝∠C；③∠E＝∠F．如果以其中两个论断为条件，另一个论断为结论构造命题，能够构成 　3　个真命题． 【分析】分三种情况，由平行线的判定和性质，即可判断． 【解答】解：以①②为条件，③为结论能够构成真命题，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠CDF， ∵∠B＝∠C， ∴∠C＝∠CDF， ∴AC∥BD， ∴∠E＝∠F； 以①③为条件，②为结论能够构成真命题，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠CDF， ∵∠E＝∠F， ∴AC∥BD， ∴∠C＝∠CDF， ∴∠B＝∠C； 以②③为条件，①为结论能够构成真命题，理由如下： ∵∠E＝∠F， ∴AC∥BD， ∴∠C＝∠CDF， ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠CDF， ∴AB∥CD． ∴以其中两个论断为条件，另一个论断为结论构造命题，能够构成3个真命题． 故答案为：3． 5．（2024春•韩城市校级月考）请将下列命题改写成“如果……那么……”的形式： （1）等角的补角相等； （2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． 【分析】根据命题的概念解答即可． 【解答】解：（1）如果两个角是相等的角的补角，那么这两个角相等（或如果两个角相等，那么这两个角的补角相等）； （2）如果在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 6．（2024春•黄陂区月考）“连结直线外一点与直线上一点的所有线段中，垂线段最短”的题设是 　连结直线外一点与直线上一点的所有线段　，结论是 　垂线段最短　． 【分析】命题常常可以写为“如果……那么……”的形式，如果后面接题设，那么后面接结论；根据上步的知识，从命题的定义出发，寻找题设和结论就可以了． 【解答】解：题设：连结直线外一点与直线上一点的所有线段，结论：垂线段最短． 故答案为：连结直线外一点与直线上一点的所有线段，垂线段最短． 【考点4 举反例驳假命题】 【知识梳理】 举反例：要说明一个命题是假命题，只要举出一个符合命题的题设，但不满足命题的结论的例子就可以了.像这样的例子叫作反例. 【必刷题】 1．（2024秋•西安期末）要说明命题“若a＞b，则a2＞ab“是假命题，能举的一个反例是（　　） A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝2，b＝1 C．a＝4，b＝﹣1 D．a＝﹣2，b＝﹣3 【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可． 【解答】解：A、a＝1，b＝﹣2时，满足a＞b，且a2＞ab，不能作为反例，不符合题意； B、a＝2，b＝1时，满足a＞b，且a2＞ab，不能作为反例，不符合题意； C、a＝4，b＝﹣1时，满足a＞b，且a2＞ab，不能作为反例，不符合题意； D、a＝﹣2，b＝﹣3时，满足a＞b，但a2＜ab，能作为反例，符合题意； 故选：D． 2．（2024春•太和县月考）能说明命题“如果∠1+∠2≠60°，那么∠1≠∠2”为假命题的反例是（　　） A．∠1＝40°，∠2＝20° B．∠1＝20°，∠2＝20° C．∠1＝30°，∠2＝30° D．∠1＜30°，∠2＞30° 【分析】任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断． 【解答】解：A．∠1＝40°，∠2＝20°，则∠1+∠2＝60°，故不符合题意； B．∠1＝20°，∠2＝20°，则∠1+∠2≠60°，但∠1＝∠2，可作为说明原命题是假命题的反例，故符合题意； C．∠1＝30°，∠2＝30°，有∠1+∠2＝60°，故不符合题意； D．∠1＜30°，∠2＞30°，则∠1+∠2可能等于60°，故不符合题意． 故选：B． 3．（2024秋•长泰区校级期末）要说明命题“任何一个角的补角都大于这个角”是假命题，可以举的反例是（　　） A．该角等于90° B．该角等于60° C．该角等于45° D．该角等于30° 【分析】根据“任何一个角的补角都大于这个角”反证法的假设是，至少有一个角的补角不大于这个角，进行判断作答即可． 【解答】解：由题意知，“任何一个角的补角都大于这个角”反证法的假设是：至少有一个角的补角不大于这个角， A．该角等于90°，该角的补角为90°，90°＝90°，故此选项符合题意； B．该角等于60°，该角的补角为120°，120°＞60°，故此选项不符合题意； C．该角等于45°，该角的补角为135°，135°＞45°，故此选项不符合题意； D．该角等于30°，该角的补角为150°，150°＞30°，故此选项不符合题意． 故选：A． 4．（2024春•韩城市校级月考）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出个反例． （1）两个角的和等于直角时，这两个角互为余角； （2）同旁内角互补． 【分析】（1）根据命题的概念解答即可； （2）根据命题的概念解答即可． 【解答】解：（1）题设：两个角的和等于直角时，结论：这两个角互为余角． 这个命题是真命题． （2）题设：两个角是同旁内角，结论：这两个角互补， 这个命题是假命题． 反例：如图中∠1与∠2是同旁内角，∠1+∠2≠180°， 5．（2024春•玄武区校级期中）已知：三条不同的直线a，b，c在同一平面内，①a∥b；②a⊥c；③b⊥c；④a⊥b． 请你从①②③④中选择两个作为题设，一个作为结论，用“如果…那么…”的形式，写出满足下列条件的命题． （1）写出一个真命题，并证明它的正确性； （2）写出一个假命题，并举出反例． 【分析】（1）同一平面内，根据垂直于同一直线的两直线平行；由②③⇒①； （2）假命题：②③⇒④； 【解答】解：（1）如果a⊥c、b⊥c、那么a∥b； 理由：如图， ∵a⊥c、b⊥c， ∴∠1＝90°，∠2＝90°， ∴∠1＝∠2， ∴a∥b． （2）如果a⊥c、b⊥c、那么a⊥b； 反例：见图，如果a⊥c、b⊥c、那么a∥b． 6．（2024春•鼓楼区校级月考）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 【分析】利用平行线的判定与性质可证明命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行”为真命题．利用反例可说明命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直”为假命题． 【解答】解：命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行”为真命题． 已知：a∥b，b∥c， 求证：a∥c， 证明：作直线m分别于直线a、b、c相交，如图1， ∵a∥b（已知）， ∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）， ∵b∥v（已知）， ∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）， ∴∠1＝∠3（等量代换）， ∴a∥c（同位角相等，两直线平行）； 命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直”为假命题，如图2，b⊥a，c⊥a，而b∥c． 【考点5 命题与证明综合应用】 【知识梳理】 （1）定理：有些真命题，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理.如“对顶角相等”“平行于同一直线的两条直线平行”都可以看作定理. （2）证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明，如本章我们做过的一些证明题，其过程就是在证明. （3）证明的一般步骤是：1.根据题意画:出图形；2.个依据题设、结论，结合图形写出已知、求证；3.个经过分析，由已知条件推出结论，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径，然后书写证明过程.证明的过程就是用已经学过的知识有理有据地推出结论.证明同一个命题可能会有多种方法. 【必刷题】 1．（2024春•姜堰区期末）已知：如图，点D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点． （1）给出下列三个事项：①DF∥AE；②∠FDE＝∠A；③DE∥BA．请你用其中两个事项作为条件，另一个事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明； 条件：　①②　，结论：　③　.（填序号） 证明： （2）在（1）的条件下，若∠A＝∠BDF＝2∠EDC，求∠AFD的度数． 【分析】（1）任选两个为条件，另一个为结论，根据平行线的性质与判定条件证明即可； （2）根据（1）的结论结合平角的定义和已知条件可得，则∠A＝72°，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出答案． 【解答】（1）解：①②为条件，③为结论，证明如下： ∵DF∥AE， ∴∠A＝∠DFB， ∵∠FDE＝∠A， ∴∠FDE＝∠DFB， ∴DE∥BA； ①③为条件，②为结论，证明如下： ∵DF∥AE，DE∥BA， ∴∠A＝∠DFB，∠FDE＝∠DFB， ∴∠FDE＝∠A； ②③为条件，①为结论，证明如下： ∵DE∥BA， ∴∠FDE＝∠DFB， ∵∠FDE＝∠A， ∴∠A＝∠DFB， ∴DF∥AE； （2）解：∵∠FDE＝∠A，∠A＝∠BDF＝2∠EDC，∠FDE+∠BDF+∠EDC＝180°， ∴， ∴∠A＝72°， ∵DF∥AE， ∴∠AFD＝180°﹣∠A＝108°． 2．（2024春•朝天区期末）如图，已知AB⊥BC，∠1+∠2＝90°．现有3个条件：①∠2＝∠3；②∠2+∠3＝90°；③BE∥DF． （1）请在上述3个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 　①　，结论是 　③　；（填序号） （2）证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 【分析】（1）根据题意即可解答； （2）根据垂直的定义与平行线的判定及性质即可解答． 【解答】解：（1）选择的条件是①，结论是③； 或：选择的条件是③，结论是①． 故答案为：①，③（或③，①） （2）选择的条件是①，结论是③，则证明如下： 证明：∵AB⊥BC（已知）， ∴∠ABC＝90°（垂直的定义）， ∴∠3+∠4＝90°（余角的定义）． ∵∠1+∠2＝90°，且∠2＝∠3（已知）， ∴∠1+∠3＝90°（等量代换）． ∴∠1＝∠4（等角的余角相等）， ∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）． 选择的条件是③，结论是①，则证明如下： 证明：∵BE∥DF（已知）， ∴∠1＝∠4（两直线平行，同位角相等） ∵AB⊥BC（已知）， ∴∠ABC＝90°（垂直的定义）， ∴∠3+∠4＝90°（余角的定义）． ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠2＝∠3（等角的余角性质）． 3．（2024春•剑阁县月考）如图，直线AD与AB、CD相交于A、D两点，EC、BF与AB、CD相交于E、C、B、F，在下列三个式子：①∠1＝∠2，②∠B＝∠C，③∠A＝∠D中，请你将其中两个作为题设，一个作为结论组成一个真命题，并证明（只写出一种情况即可）． 已知：　①∠1＝∠2，②∠B＝∠C，　求证：　③∠A＝∠D；　证明： 【分析】根据已知的∠1＝∠2和对顶角相等，可以得到CE∥FB．再根据平行线的性质和∠B＝∠C，就可得到∠C＝∠AEC，从而证的AB∥CD，最终可以证明∠A＝∠D． 【解答】已知：①∠1＝∠2，②∠B＝∠C； 求证：③∠A＝∠D； 证明：∵∠AGB＝∠2， 又∵∠1＝∠2， ∴∠AGB＝∠1， ∴CE∥FB， ∴∠AEC＝∠B， 又∵∠B＝∠C， ∴∠AEC＝∠C， ∴AB∥CD， ∴∠A＝∠D． 已知：③∠A＝∠D，②∠B＝∠C； 求证：①∠1＝∠2； 证明：∵∠A＝∠D， ∴AB∥CD， ∴∠AEC＝∠C， 又∵∠B＝∠C， ∴∠AEC＝∠B， ∴CE∥FB， ∴∠AGB＝∠1， ∵∠AGB＝∠2， ∴∠1＝∠2． 已知：③∠A＝∠D，①∠1＝∠2； 求证：②∠B＝∠C； 证明：∵∠A＝∠D， ∴AB∥CD， ∴∠AEC＝∠C， ∵∠AGB＝∠2，∠1＝∠2 ∴∠AGB＝∠1， ∴CE∥FB， ∴∠AEC＝∠B， ∴∠B＝∠C． 4．（2024春•上杭县校级月考）如图，现有以下3个论断： ①AB∥CD； ②∠B＝∠C； ③∠E＝∠F． 请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题． （1）你构造的是哪几个命题？ （2）你构造的命题是真命题还是假命题？请选择其中一个真命题加以证明． 【分析】（1）根据题意构造出命题即可； （2）利用平行线的判定和性质分别判断和证明即可． 【解答】解：（1）构造3个命题如下： 条件是：①AB∥CD；②∠B＝∠C；结论是：③∠E＝∠F； 条件是：①AB∥CD；③∠E＝∠F；结论是：②∠B＝∠C； 条件是：②∠B＝∠C；③∠E＝∠F；结论是：①AB∥CD； （2）条件是：①AB∥CD；②∠B＝∠C；结论是：③∠E＝∠F；此命题是真命题， 证明：∵AB∥CD， ∴∠C＝∠BAE， ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠BAE， ∴AC∥BF， ∴∠E＝∠F； 条件是：①AB∥CD；③∠E＝∠F；结论是：②∠B＝∠C；此命题是真命题， 证明：∵AB∥CD， ∴∠C＝∠BAE， ∵∠E＝∠F， ∴CE∥BF， ∴∠B＝∠BAE， ∴∠B＝∠C； 条件是：②∠B＝∠C；③∠E＝∠F；结论是：①AB∥CD；此命题是真命题， 证明：∵∠E＝∠F， ∴CE∥BF， ∴∠B＝∠BAE， ∵∠B＝∠C， ∴∠C＝∠BAE， ∴AB∥CD． 5．（2024春•阳东区期中）如图，在三角形ABC中，D，E是AB上的点，F是BC上一点，H，G是AC上的点，FD⊥AB于点D，连接EF，EH，EG．给定三个条件：①EG⊥AB，②∠α＝∠β，③∠C＝∠β+∠EGH． （1）请在上述三个条件中选择其中两个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 　①②　，结论是 　③　（填写序号）； （2）证明上述命题． 【分析】由EG⊥AB，FD⊥AB，得EG∥FD，得∠DFE＝∠GEF，由∠α＝∠β，得∠BFE＝∠HEF，得EH∥BC，即可得∠C＝∠AHE＝∠β+∠EGH． 【解答】（1）选择的条件是 ①②，结论是 ③； 故答案为：①②，③； （2）证明：由EG⊥AB，FD⊥AB， 得EG∥FD， 得∠DFE＝∠GEF， 由∠α＝∠β， 得∠BFE＝∠HEF， 得EH∥BC， 得∠C＝∠AHE＝∠β+∠EGH． 6．（2024春•龙门县期中）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？ （1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示． ①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 　∠ABC+∠DEF＝180°　；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 　∠ABC＝∠DEF　； ②由①得出一个真命题（用文字叙述）：　如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补　． （2）应用②中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数． 【分析】（1）①如图1，根据平行线的性质求出∠DPB＝∠DEF，∠ABC+∠DPB＝180°，等量代换可得∠ABC+∠DEF＝180°；如图2，根据平行线的性质求出∠DPC＝∠DEF，∠ABC＝∠DPC，等量代换可得∠ABC＝∠DEF；②根据①的结果写出结论即可； （2）设两个角的度数分别为x和2x﹣30°，由（1）的结论可得x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，求出x，进而可得答案． 【解答】解：（1）①如图1，∵EF∥BC， ∴∠DPB＝∠DEF， ∵DE∥AB， ∴∠ABC+∠DPB＝180°， ∴∠ABC+∠DEF＝180°； 如图2，∵EF∥BC， ∴∠DPC＝∠DEF， ∵DE∥AB， ∴∠ABC＝∠DPC， ∴∠ABC＝∠DEF； 故答案为：∠ABC+∠DEF＝180°；∠ABC＝∠DEF； ②由①得：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补； 故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补． （2）设两个角的度数分别为x和2x﹣30°， 由（1）得：x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°， 解得x＝30°或x＝70°， ∴这两个角的度数为30°，30°或70°，110°． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$