7.2 平行线【8个必考点】（必考点分类集训）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册必考点分类集训系列（人教版2024）

7.2 平行线【8个必考点】 【人教版2024】 【考点1 平行线的定义及平面内两直线的位置关系的判定】 1 【考点2 平行线的基本事实及其推论】 3 【考点3 平行线的三种判定方法】 5 【考点4 证明两直线平行】 9 【考点5 平行线性质的应用】 14 【考点6 平行线的判定与性质应用（补全推理过程）】 17 【考点7 平行线的判定与性质应用（证明）】 24 【考点8 利用平行线的性质探究角之间的关系】 29 【考点1 平行线的定义及平面内两直线的位置关系的判定】 【知识梳理】 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 【必刷题】 1．（2024春•泰山区期中）在同一个平面内，直线a、b相交于点P，a∥c，b与c的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．重合 D．平行或相交 【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线得出即可． 【解答】解：∵在同一个平面内，直线a、b相交于点P，a∥c， ∴b与c的位置关系是相交， 故选：B． 2．（2024春•东阿县校级月考）在下列4个判断中： ①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行；②在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交；④在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交．正确判断的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据平面内两条直线的三种位置关系：平行或相交或重合进行判断． 【解答】解：在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行，故①错误，②正确； 在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交故，③错误，④正确． 故正确判断的个数是2． 故选：C． 3．（2024春•岷县校级月考）在同一平面内，直线L1与L2满足下列条件： （1）L1与L2没有公共点，则L1与L2　 　； （2）L1与L2有且只有一个公共点，则L1与L2　 　； （3）L1与L2有两个公共点，则L1与L2　 　． 【分析】根据平行、相交和重合的定义就可以解决． 【解答】解：（1）L1与L2没有公共点，则L1与L2平行． （2）L1与L2有且只有一个公共点，则L1与L2相交． （3）L1与L2有两个公共点，则L1与L2重合． 4．（2024春•银州区校级期末）如图所示，在∠AOB内有一点P． （1）过P画l1∥OA； （2）过P画l2∥OB； （3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？ 【分析】用两个三角板，根据同位角相等，两直线平行来画平行线，然后用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的关系为：相等或互补． 【解答】解：（1）（2）如图所示， （3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补． 【考点2 平行线的基本事实及其推论】 【知识梳理】 （1）平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【必刷题】 1．（2024春•枣阳市期末）下列说法正确的是（　　） A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c 【分析】根据题意画出图形，从而可做出判断． 【解答】解：先根据要求画出图形，图形如图所示： 根据所画图形可知：A正确． 故选：A． 2．（2024春•博野县校级月考）如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则m+n的值为（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【分析】根据平行线公理解答即可． 【解答】解：∵在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，以及在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可知m＝1，n＝1， ∴m+n＝2， 故选：C． 3．（2024秋•道里区校级月考）下列说法中： ①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ②直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离； ③过一点有且只有一条直线平行于已知直线； ④过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； 其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】分别利用平行公理推论、点到直线的距离的定义、垂直的性质、平行公理判断即可． 【解答】解：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故①正确； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故②不正确； 过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，故③不正确； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故④不正确； 所以正确的有①，共1个． 故选：A． 4．（2024春•康巴什期末）如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是　 　． 【分析】直接利用平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，得出即可． 【解答】解：∵MC∥AB，NC∥AB，∴点M，C，N在同一条直线上， 理由是：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【考点3 平行线的三种判定方法】 【知识梳理】 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等， 两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两 直线平行． （3）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互 补，两直线平行． 注意：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 【必刷题】 1．（2024春•娄星区期末）如图，下面哪个条件不能判断EF∥DC的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠C C．∠1+∠3＝180° D．∠3+∠C＝180° 【分析】由平行线的判定定理求解判断即可． 【解答】解：A．由∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行可判定EF∥DC，故A不符合题意； B．由∠4＝∠C，根据同位角相等，两直线平行可判定EF∥DC，故B不符合题意； C．由∠1+∠3＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可判定ED∥BC，不能判定EF∥DC，故C符合题意； D．由∠3+∠C＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可判定EF∥DC，故D不符合题意； 故选：C． 2．（2024秋•康平县期末）如图，点E在BC的延长线上，对于给出的四个条件： ①∠1＝∠3；②∠2+∠5＝180°； ③∠4＝∠B；④∠D+∠BCD＝180°． 其中能判断AD∥BC的是（　　） A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可． 【解答】解：①∵∠1＝∠3，∴AD∥BC； ②∵∠2+∠5＝180°，∵∠5＝∠AGC，∴∠2+∠AGC＝180°，∴AB∥DC； ③∵∠4＝∠B，∴AB∥DC； ④∵∠D+∠BCD＝180°，∴AD∥BC． 故选：B． 3．（2024秋•沈河区期末）如图，①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠1＝∠4，④∠2+∠5＝180°可以判定b∥c的条件有（　　） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【分析】根据平行线的判定方法，对选项一一分析，排除错误答案． 【解答】解：①∵∠1＝∠3，∴b∥c（同位角相等，两直线平行）； ②∵∠2＝∠3，∴b∥c（内错角相等，两直线平行）； ③∠1＝∠4无法判断两直线平行； ④∵∠2+∠5＝180°，∴b∥c（同旁内角互补，两直线平行）． 故选：A． 4．（2024春•秦都区校级月考）如图，已知AB、CD分别与MN交于点F、G，且EF⊥MN，∠BFE＝48°，若添加一个条件使得AB∥CD，请写出一个符合要求的条件：　∠CGM＝42° （答案不唯一）　，并说明理由． 【分析】根据垂直定义求出∠EFN＝90°，根据角的和差求出∠BFN＝42°＝∠CGM，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解． 【解答】解：符合要求的条件有∠CGM＝42°， 因为EF⊥MN， 所以∠EFN＝90°， 所以∠BFN＝∠EFN﹣∠BFE＝42°， 所以∠CGM＝∠BFN， 所以AB∥CD， 故答案为：∠CGM＝42° （答案不唯一）． 5．（2024秋•北京校级期末）已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．试说明：AB∥DC．（请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由） 解：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知）， ∴∠1∠ABC，∠2∠ADC （ 　角平分线的定义　）， ∵∠ABC＝∠ADC （ 　已知　）， ∴∠　1　＝∠　2　（等量代换）． ∵∠1＝∠3 （ 　已知　）， ∴∠2＝∠　3　（ 　等量代换　）． ∴　AB　∥　DC　（ 　内错角相等，两直线平行　）． 【分析】首先根据角平分线定义可得∠1∠ABC，∠2∠ADC，根据等式的性质可得∠1＝∠2，再由条件∠1＝∠3可得∠2＝∠3，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD． 【解答】证明：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，（已知） ∴∠1∠ABC，∠2∠ADC （角平分线定义） 又∵∠ABC＝∠ADC（已知） ∴∠1＝∠2（等量代换）， 又∵∠1＝∠3（已知）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴AB∥DC （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；AB，DC，内错角相等，两直线平行． 6．（2024春•防城港期末）已知：如图，EF⊥FG，垂足为F，且点F在直线CD上，FE与直线AB相交于点H，∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD．（请完成下面的证明过程） 证明：∵EF⊥FG（已知）， ∴∠EFG＝　90　°（垂直的定义）， 即∠EFD+　∠2　＝90°． 又∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠EFD＝　∠1　（ 　同角的余角相等　）， ∴AB∥CD（ 　同位角相等，两直线平行　）． 【分析】根据垂线定义得出∠EFG＝90°，根据余角性质得出∠EFD＝∠1，根据平行线的判定，得出结论即可． 【解答】证明：∵EF⊥FG（已知）， ∴∠EFG＝90°（垂直的定义）， 即∠EFD+∠2＝90°， 又∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠EFD＝∠1（同角的余角相等）， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：90；∠2；∠1；同角的余角相等；同位角相等，两直线平行． 7．（2024春•德城区期末）按要求完成下列证明： 已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2＝90°． 求证：DE∥BC． 证明：∵CD⊥AB（已知）， ∴∠1+　∠EDC　＝90°（　垂直定义　）． ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴　∠EDC　＝∠2（　同角的余角相等　）． ∴DE∥BC（　内错角相等，两直线平行　）． 【分析】直接利用平行线的判定方法结合垂直的定义分析得出答案． 【解答】证明：∵CD⊥AB（已知）， ∴∠1+∠EDC＝90°（ 垂直定义）． ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠EDC＝∠2（ 同角的余角相等）． ∴DE∥BC（ 内错角相等，两直线平行）． 故答案为：∠EDC；垂直定义；∠EDC；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 【考点4 证明两直线平行】 【必刷题】 1．（2023秋•神木市期末）如图，E，F分别是线段AC，AB上一点，点D在BC的延长线上，连接BE，CF，ED，若∠1＝∠2，∠ABC＝∠ACB，∠EBD＝∠D，求证：FC∥ED． 【分析】根据角的和差关系可得∠EBD＝∠FCB，根据等量关系可得∠FCB＝∠D，再根据平行线的判定即可求解． 【解答】证明：∵∠1＝∠2，∠ABC＝∠ACB， ∴∠EBD＝∠FCB， ∵∠EBD＝∠D， ∴∠FCB＝∠D， ∴FC∥ED． 2．（2024春•商南县期末）如图，已知点A在射线BG上，∠1+∠3＝180°，∠1＝∠2，∠EAB＝∠BCD，说明EF与CD平行的理由． 【分析】先根据∠1+∠3＝180°得出BG∥EF，再由∠1＝∠2得出AE∥BC，故可得出∠EAB+∠2＝180°，再由∠EAB＝∠BCD可知∠BCD+∠2＝180°，故BG∥CD，据此可得出结论． 【解答】解：∵∠1+∠3＝180°， ∴BG∥EF， ∵∠1＝∠2， ∴AE∥BC， ∴∠EAB+∠2＝180°， ∵∠EAB＝∠BCD， ∴∠BCD+∠2＝180°， ∴BG∥CD， ∴EF∥CD． 3．（2024秋•苍梧县期中）如图，已知点O在直线AB上，射线OD平分∠BOC，过点O作OE⊥OD，G是射线OB上一点，连接DG，满足∠ODG+∠DOG＝90°． （1）求证：∠AOE＝∠ODG； （2）若∠ODG＝∠C，求证：CD∥OE． 【分析】（1）由垂线的定义得出∠DOE＝90°，结合平角的定义得出∠AOE+∠DOG＝90°，结合∠ODG+∠DOG＝90°即可得证； （2）由角平分线的定义得出∠DOG＝∠COD，由垂线的定义得出∠DOE＝90°即∠COE+∠COD＝90°，结合∠ODG+∠DOG＝90°得出∠ODG＝∠COE，从而得出∠C＝∠COE，即可得证． 【解答】证明：（1）∵OE⊥OD， ∴∠DOE＝90°， ∵∠DOE+∠AOE+∠DOG＝180°， ∴∠AOE+∠DOG＝90°， ∵DG⊥AB， ∴∠ODG+∠DOG＝90°， ∴∠AOE＝∠ODG； （2）∵OD平分∠BOC， ∴∠DOG＝∠COD∠BOC， ∵OE⊥OD， ∴∠DOE＝90°， ∴∠COE+∠COD＝90°， 由（1）知，∠ODG+∠DOG＝90°， ∴∠ODG＝∠COE， ∵∠ODG＝∠C， ∴∠C＝∠COE， ∴CD∥OE． 4．（2024春•子洲县期末）如图，点D、F分别在△ABC的边AB、AC上，过点D作DE⊥BC于点E，过点F作FG⊥BC于点G，点H在BD上，连接HE，∠1＝∠2，试说明HE∥AC． 【分析】根据DE⊥BC，FG⊥BC，证出∠BEH＝∠C，即可求解． 【解答】证明：∵DE⊥BC，FG⊥BC， ∴∠DEB＝∠CGF＝90°， ∴∠1+∠BEH＝∠2+∠C＝90°． ∵∠1＝∠2， ∴∠BEH＝∠C， ∴HE∥AC． 5．（2024秋•兴庆区校级期末）如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上一点，连接OF． （1）求证：OC⊥OD； （2）若∠D与∠1互余，求证：ED∥AB． 【分析】（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明； （2）利用∠COD＝90°，结合已知求得∠D＝∠BOC，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明． 【解答】（1）证明：∵OC平分∠AOF，OD平分∠BOF， ∴，， ∴， ∴OC⊥OD； （2）证明：∵∠COD＝90°， ∴∠1+∠BOD＝90°， ∵∠D与∠1互余， ∴∠1+∠D＝90°， ∴∠D＝∠BOD， ∴ED∥AB． 6．（2023秋•神木市期末）如图，点E、F分别在CD、AB上，连接BE、CF、DF，BE⊥DF于点G，∠C＝∠1． （1）求∠CFD的度数； （2）若∠2+∠D＝90°，求证：AB∥CD． 【分析】（1）根据垂直的定义和直角三角形的性质得到∠1+∠D＝90°，通过等量代换求出∠CFD＝90°； （2）根据同角的余角相等得到∠2＝∠C，即可证明AB∥CD． 【解答】（1）解：∵BE⊥DF， ∴∠EGD＝90°， ∴∠1+∠D＝90°， ∵∠C＝∠1， ∴∠C+∠D＝90°， ∴∠CFD＝90°； （2）证明：由（1）可知：∠C+∠D＝90°， ∵∠2+∠D＝90°， ∴∠C＝∠2， ∴AB∥CD． 7．（2024秋•海城市期中）如图所示，在四边形ABCD中，已知∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F． （1）求证：∠ABC+∠ADC＝180°； （2）求证：BE∥DF． 【分析】（1）根据四边形的内角和是360°及∠A＝∠C＝90°即可求出； （2）由（1）及角平分线的定义证明出∠1+∠3＝90°，再根据∠5+∠3＝90°及余角的性质得出∠1＝∠5即可证平行． 【解答】证明：（1）四边形ABCD中，∠A+∠C+∠ABC+∠ADC＝360°，∠A＝∠C＝90°， ∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣90°﹣90°＝180°． （2）∵BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠1+∠3＝90°， ∵△ADF中∠5+∠3＝90°， ∴∠1＝∠5， ∴BE∥DF． 【考点5 平行线性质的应用】 【知识梳理】 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 【必刷题】 1．（2024秋•武侯区期末）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，AG⊥EF于点G．若∠A＝54°，则∠1的度数是（　　） A．36° B．54° C．126° D．144° 【分析】由直角三角形的性质求出∠AEG＝36°，由平行线的性质推出∠EFD＝∠AEG＝36°，由邻补角的性质得到∠1＝144°． 【解答】解：∵AG⊥EF， ∴∠AGE＝90°， ∴∠AEG＝90°﹣∠A＝90°﹣54°＝36°， ∵AB∥CD， ∴∠EFD＝∠AEG＝36°， ∴∠1＝180°﹣∠EFD＝144°． 故选：D． 2．（2024秋•成华区期末）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中∠A＝45°，∠F＝60°，点E在CB的延长线上，点D在AB上．若DF∥CE，则∠EDB的度数为 　 　． 【分析】求出∠ABC＝90°﹣45°＝45°，由平行线的性质推出∠BDF＝∠ABC＝45°，求出∠EDF＝90°﹣60°＝30°，即可得到∠EDB的度数． 【解答】解：∵∠A＝45°，∠C＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣45°＝45°， ∵DF∥CE， ∴∠BDF＝∠ABC＝45°， ∵∠F＝60°，∠DEF＝90°， ∴∠EDF＝90°﹣60°＝30°， ∴∠EDB＝∠BDF﹣∠EDF＝15°． 故答案为：15°． 3．（2024秋•榕城区期末）如图，AB∥CD，BD平分∠ABC，CA平分∠BCD． （1）求证：AC⊥BD； （2）若∠A＝2∠D，求∠A的度数． 【分析】（1）由平行线的性质推出∠ABC+∠BCD＝180°，由角平分线定义得到∠CBE+∠BCE（∠ABC+∠BCD）＝90°，因此∠BEC＝90°，即可证明AC⊥BD； （2）由平行线的性质推出∠ABE＝∠D，由垂直的定义得到∠A+∠ABE＝90°，而∠A＝2∠D，得到2∠D+∠D＝90°，求出∠D＝30°，因此∠A＝2×30°＝60°． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵BD平分∠ABC，CA平分∠BCD， ∴∠CBE∠ABC，∠BCE∠BCD， ∴∠CBE+∠BCE（∠ABC+∠BCD）180°＝90°， ∴∠BEC＝90°， ∴AC⊥BD； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠D， ∵AC⊥BD， ∴∠A+∠ABE＝90°， ∵∠A＝2∠D， ∴2∠D+∠D＝90°， ∴∠D＝30°， ∴∠A＝2×30°＝60°． 4．（2023秋•薛城区月考）已知：如图，直线AB∥CD∥EF，根据图形直接写出∠ABD、∠BDE、∠DEF之间满足的等量关系并说明理由． 【分析】由平行线的性质推出∠ABD+∠CDB＝180°，∠DEF＝∠CDE，得到∠CDB＝180°﹣∠ABD，即可推出∠ABD+∠DEF﹣∠BDE＝180°． 【解答】解：∠ABD+∠DEF﹣∠BDE＝180°，理由如下： ∵AB∥CD∥EF， ∴∠ABD+∠CDB＝180°，∠DEF＝∠CDE， ∴∠CDB＝180°﹣∠ABD， ∵∠CDB+∠BDE＝∠CDE， ∴180°﹣∠ABD+∠BDE＝∠DEF， ∴∠ABD+∠DEF﹣∠BDE＝180°． 5．（2024春•丰满区期末）如图，AB∥CD∥EF，∠B＝40°，∠BCE＝15°，求∠CEF的度数． 【分析】根据平行线的性质求解即可． 【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝40°， ∴∠BCD＝∠B＝40°， ∵∠BCE＝15°， ∴∠ECD＝∠BCD﹣∠BCE＝25° ∵CD∥EF， ∴∠CEF＝180°﹣∠ECD＝155°． 【考点6 平行线的判定与性质应用（补全推理过程）】 【必刷题】 1．（2024秋•巴彦县期末）阅读下列文字，并完成证明． 如图，直线AB上有两点G、K，直线CD上有一点H，点H、F、K三点共线，点E在直线AB和直线CD之间，连接EG和EF，∠2＝∠3，∠1+∠4＝180°，求证：AB∥CD． 证明：∵∠2＝∠3（已知）， ∴　GE　∥　HK　（ 　内错角相等，两直线平行　）， ∴∠1＝ 　∠AKH　（ 　两直线平行，同位角相等　）， ∵∠1+∠4＝180°（已知）， ∴∠AKH+　∠4　＝180°（ 　等量代换　）， ∴AB∥CD （　同旁内角互补，两直线平行　）． 【分析】根据平行线的判定与性质求证即可． 【解答】证明：∵∠2＝∠3（已知）， ∴GE∥HK（内错角相等，两直线平行）， ∴∠1＝∠AKH（两直线平行，同位角相等）， ∵∠1+∠4＝180°（已知）， ∴∠AKH+∠4＝180°（等量代换）， ∴AB∥CD （同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：GE；HK；内错角相等，两直线平行；∠AKH；两直线平行，同位角相等；∠4；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 2．（2024秋•海口期末）如图，四边形ABCD中，F为CD上一点，连接AF并延长，交BC的延长线于点E，连接AC．若∠B＝∠DCE，∠1＝∠2，∠3＝∠4． （1）试说明AB∥CD； （2）AD与BC的位置关系如何？为什么？ （3）∠ACD与∠E相等吗？请说明理由． 注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第（3）小题要写出解题过程． 解：（1）∵∠B＝∠DCE，（已知） ∴AB∥CD．（　同位角相等，两直线平行　） （2）AD与BC的位置关系是：AD∥BC，理由如下： ∵AB∥CD，（已知） ∴∠4＝∠　BAE　.（　两直线平行，同位角相等　） ∵∠3＝∠4，（已知） ∴∠3＝∠　BAE　.（　等量代换　） ∵∠1＝∠2，（已知） ∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF， 即∠　BAE　＝∠　CAD　， ∴∠3＝∠　CAD　.（等量代换） ∴AD∥BC．（　内错角相等，两直线平行　） （3）　∵AB∥CD， ∴∠1＝∠ACD． ∵AD∥BC， ∴∠2＝∠E． ∵∠1＝∠2， ∴∠ACD＝∠E．　． 【分析】（1）根据平行线的判定定理求解即可； （2）根据平行线的判定定理与性质定理求解即可； （3）根据平行线的性质定理求解即可． 【解答】解：（1）∵∠B＝∠DCE，（已知） ∴AB∥CD．（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行； （2）AD与BC的位置关系是：AD∥BC，理由如下： ∵AB∥CD，（已知） ∴∠4＝∠BAE，（两直线平行，同位角相等） ∵∠3＝∠4，（已知） ∴∠3＝∠BAE．（等量代换） ∵∠＝∠2，（已知） ∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF． 即∠BAE＝∠CAD， ∴∠3＝∠CAD，（等量代换） ∴AD∥BC．（内错角相等，两直线平行） 故答案为：BAE；两直线平行，同位角相等；BAE；等量代换；BAE；CAD；CAD；内错角相等，两直线平行； （3）∵AB∥CD， ∴∠1＝∠ACD． ∵AD∥BC， ∴∠2＝∠E． ∵∠1＝∠2， ∴∠ACD＝∠E． 3．（2024秋•金凤区校级期末）如图，AB∥DC，∠1＝∠B，∠2＝∠3． 证明：（1）ED∥BC； （2）AD∥EC． 请根据解答过程，在横线上填出数学式，在括号内填写相应理由． 证明：（1）∵AB∥DC，（已知） ∴∠1＝　∠AED　．（ 　两直线平行，内错角相等　） 又∵∠1＝∠B，（已知） ∴∠B＝　∠AED　．（ 　等量代换　） ∴ED∥BC．（ 　同位角相等，两直线平行　） （2）∵ED∥BC，（已知） ∴∠3＝　∠CED　．（ 　两直线平行，内错角相等　） 又∵∠2＝∠3，（已知） ∴∠2＝∠　CED　．（ 　等量代换　） ∴AD∥EC．（ 　内错角相等，两直线平行　） 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠1＝∠AED，等量代换求出∠B＝∠AED，再根据平行线的判定得出结论； （2）根据平行线的性质得到∠3＝∠CED，等量代换求出∠2＝∠CED，再根据平行线的判定得出结论． 【解答】证明：（1）∵AB∥DC，（ 已知 ） ∴∠1＝∠AED．（两直线平行，内错角相等） 又∵∠1＝∠B，（ 已知 ） ∴∠B＝∠AED，（等量代换） ∴ED∥BC．（同位角相等，两直线平行） 故答案为：∠AED；两直线平行，内错角相等；∠AED；等量代换；同位角相等，两直线平行； （2）∵ED∥BC，（ 已知 ） ∴∠3＝∠CED．（两直线平行，内错角相等） 又∵∠2＝∠3，（ 已知 ） ∴∠2＝∠CED．（等量代换） ∴AD∥EC．（内错角相等，两直线平行） 故答案为：∠CED；两直线平行，内错角相等；CED；等量代换；内错角相等，两直线平行． 4．（2024秋•朝阳区校级期末）补全推理过程： 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，过点D作直线DG交AC于点G，交EF的延长线于点H，∠B＝50°，∠1+∠2＝180°．求∠H的度数． 解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知） ∴AD∥EF．（ 　在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行　） ∴∠2+∠EAD＝180°．（ 　两直线平行，同旁内角互补　） ∵∠1+∠2＝180°，（已知） ∴∠1＝∠　EAD　．（同角的补角相等） ∴AE∥HG．（ 　内错角相等，两直线平行　） ∴∠B＝∠BDH．（ 　两直线平行，内错角相等　） ∵∠B＝50°，（已知） ∴∠BDH＝50°．（等量代换） ∵AD⊥BC，（已知） ∴∠ADB＝90°．（ 　垂直的定义　） ∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定义） ∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性质） ∵AD∥EF，（已证） ∴∠H＝∠1＝ 　40　°．（ 　两直线平行，同位角相等　） 【分析】先证明AD∥EF，得∠2+∠EAD＝180°，进而证明∠1＝∠EAD，得AE∥HG，则∠B＝∠BDH，再求出∠1＝40°，然后由平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知） ∴AD∥EF．（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行） ∴∠2+∠EAD＝180°．（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠1+∠2＝180°，（已知） ∴∠1＝∠EAD．（同角的补角相等） ∴AE∥HG．（内错角相等，两直线平行） ∴∠B＝∠BDH．（两直线平行，内错角相等） ∵∠B＝50°，（已知） ∴∠BDH＝50°．（等量代换） ∵AD⊥BC，（已知） ∴∠ADB＝90°．（垂直的定义） ∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定义） ∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性质） ∵AD∥EF，（已证） ∴∠H＝∠1＝40°．（两直线平行，同位角相等） 故答案为：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；EAD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；40，两直线平行，同位角相等． 5．（2024秋•玄武区校级月考）如图，在△ABC中，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，DM∥BC，∠1＝∠2．试说明：DM∥FG．请将说明过程补充完整，并在括号内填写说理的依据． 理由如下：因为BD⊥AC（已知）， 所以∠BDC＝90°（ 　垂直定义　）． 同理，得∠EFC＝90°， 所以∠BDC＝∠EFC（等量代换）． 所以BD∥EF（同位角相等，两直线平行）． 所以 　∠1＝∠GFE　（ 　两直线平行，同位角相等　）． 又∠1＝∠2（已知）． 所以 　∠2＝∠GFE　（等量代换）． 所以BC∥FG （ 　内错角相等，两直线平行　）． 所以∠ABC＝∠AGF（两直线平行，同位角相等）． 又 　DM∥BC　（已知）， 所以∠AMD＝∠ABC（两直线平行，同位角相等）． 即∠AMD＝∠AGF（等量代质）． 所以DM∥FG（ 　同位角相等，两直线平行　）． 【分析】根据垂直定义可得∠BDC＝∠EFC＝90°，从而可得BD∥EF，再利用平行线的性质可得∠1＝∠GFE，从而可得∠2＝∠GFE，然后利用内错角相等，两直线平行可得BC∥FG，再利用平行线的性质可得∠ABC＝∠AGF，∠AMD＝∠ABC，从而可得∠AMD＝∠AGF，最后利用同位角相等，两直线平行可得DM∥FG，即可解答． 【解答】解：因为BD⊥AC（已知）， 所以∠BDC＝90°（垂直定义）． 同理，得∠EFC＝90°， 所以∠BDC＝∠EFC（等量代换）． 所以BD∥EF（同位角相等，两直线平行）． 所以∠1＝∠GFE（两直线平行，同位角相等）． 又∠1＝∠2（已知）． 所以∠2＝∠GFE（等量代换）． 所以BC∥FG （内错角相等，两直线平行）． 所以∠ABC＝∠AGF（两直线平行，同位角相等）． 又DM∥BC（已知）， 所以∠AMD＝∠ABC（两直线平行，同位角相等）． 即∠AMD＝∠AGF（等量代质）． 所以DM∥FG（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：垂直定义；∠1＝∠GFE；两直线平行，同位角相等；∠2＝∠GFE；内错角相等，两直线平行；DM∥BC；同位角相等，两直线平行． 【考点7 平行线的判定与性质应用（证明）】 【必刷题】 1．（2024秋•道里区校级期中）如图，在三角形ABC中，点E、点G分别是边AB、AC上的点，点F、点D是边BC上的点，连接EF、AD和DG，DG是∠ADC的角平分线，若∠1+∠2＝180°，AB∥DG，∠2＝145°，求∠EFC的度数． 【分析】由两直线平行，内错角相等得出∠1＝∠BAD，再根据题意可得出∠BAD+∠2＝180°，最后根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出AD∥EF，根据题意可求出∠1的大小，再根据角平分线的定义，得出∠ADC＝2∠1，最后根据两直线平行，同位角相等，即可求出∠EFC的大小． 【解答】解：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝145°， ∴∠1＝180﹣145°＝35°， ∵DG是∠ADC的平分线， ∴∠ADC＝2∠1＝70°， ∵AB∥DG， ∴∠1＝∠BAD， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠BAD+∠2＝180°， ∴AD∥EF， ∴∠EFC＝∠ADC＝70°． 2．（2024秋•即墨区期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点N在线段CD上，ED与FN交于点M，∠C＝∠1，∠2＝∠3． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠D＝47°，∠EMF＝80°，求∠AEP的度数． 【分析】（1）根据内错角相等两直线平行进行判断即可； （2）先求出∠BEC的度数，根据对顶角相等得到∠AEP的度数即可． 【解答】（1）证明：∵∠2＝∠3， ∴CE∥NF， ∴∠C＝∠FND， 又∵∠C＝∠1， ∴∠FND＝∠1， ∴AB∥CD． （2）解：∵∠D＝47°，AB∥CD，∠EMF＝80°， ∴∠BED＝∠D＝47°，∠2＝EMF＝∠3＝80°， ∴∠BEC＝80°+47°＝127°， ∴∠AEP＝∠BEC＝127°． 3．（2023秋•梅县区期末）如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°． （1）求证：EF∥BH； （2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数． 【分析】（1）要证明EF∥BH，可通过∠E与∠EBH互补求得，利用平行线的性质说明∠EBH＝∠CHB可得结论． （2）要求∠CHO的度数，可通过平角和∠FHC求得，利用（1）的结论及角平分线的性质求出∠FHB及∠BHC的度数即可． 【解答】证明：（1）∵∠HCO＝∠EBC， ∴EB∥HC． ∴∠EBH＝∠CHB． ∵∠BHC+∠BEF＝180°， ∴∠EBH+∠BEF＝180°． ∴EF∥BH． （2）解：∵∠HCO＝∠EBC， ∴∠HCO＝∠EBC＝64°， ∵BH平分∠EBO， ∴∠EBH＝∠CHB∠EBC＝32°． ∵EF⊥AO于F，EF∥BH， ∴∠BHA＝90°． ∴∠FHC＝∠BHA+∠CHB＝122°． ∵∠CHO＝180°﹣∠FHC ＝180°﹣122° ＝58°． 4．（2023秋•鼓楼区校级期末）如图，已知∠1＝∠3，∠2＝∠B． （1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由； （2）若DE平分∠ADC，∠1＝3∠B，求∠EFC的度数． 【分析】（1）根据已知条件判定AB∥EF，再结合平行线的性质可得∠ADE＝∠B，从而判定出最终结论． （2）设∠B＝x，结合已知条件，分别把∠1，∠ADE，∠ADC表示出来，根据∠ADB是平角列出方程，求出x的值，进而求出∠EFC的度数． 【解答】解：（1）DE∥BC，理由如下： ∵∠1＝∠3， ∴AB∥EF， ∴∠2＝∠ADE， ∵∠2＝∠B， ∴∠ADE＝∠B， ∴DE∥BC （2）设∠B＝x，则∠1＝3∠B＝3x， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B＝x， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADC＝2∠ADE＝2x， ∴x＝36°， ∴∠ADC＝2x＝72°， ∵AB∥EF， ∴∠EFC＝∠ADC＝72° 5．（2023秋•磁县期末）如图，已知∠DAE+∠CBF＝180°，CE平分∠BCD，∠BCD＝2∠E． （1）求证：AD∥BC； （2）CD与EF平行吗？写出证明过程； （3）若DF平分∠ADC，求证：CE⊥DF． 【分析】（1）根据同角的补角相等，即可得到∠CBF＝∠DAB，进而得到AD∥BC； （2）依据∠BCD＝2∠DCE，∠BCD＝2∠E，即可得出∠E＝∠DCE，进而判定CD∥EF； （3）依据AD∥BC，可得∠ADC+∠DCB＝180°，进而得到∠COD＝90°，即可得出CE⊥DF． 【解答】解：（1）∵∠DAE+∠CBF＝180°，∠DAE+∠DAB＝180°， ∴∠CBF＝∠DAB， ∴AD∥BC； （2）CD与EF平行． ∵CE平分∠BCD， ∴∠BCD＝2∠DCE， 又∵∠BCD＝2∠E， ∴∠E＝∠DCE， ∴CD∥EF； （3）∵DF平分∠ADC， ∴∠CDF∠ADC， ∵∠BCD＝2∠DCE， ∴∠DCE∠DCB， ∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠DCB＝180°， ∴∠CDF+∠DCE（∠ADC+∠DCB）＝90°， ∴∠COD＝90°， ∴CE⊥DF． 【考点8 利用平行线的性质探究角之间的关系】 【必刷题】 1．（2024秋•朝阳区校级期末）如图，若AB∥CD，则∠B、∠C、∠E三者之间的关系是（　　） A．∠B+∠C+∠E＝180° B．∠B+∠E﹣∠C＝180° C．∠B+∠C﹣∠E＝180° D．∠C+∠E﹣∠B＝180° 【分析】过点E作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠1，两直线平行，内错角相等表示出∠2，再根据∠E＝∠1+∠2整理即可得解． 【解答】解：如图，过点E作EF∥AB， 则∠1＝180°﹣∠B， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠2＝∠C， ∵∠1+∠2＝∠E， ∴180°﹣∠B+∠C＝∠E， ∴∠B+∠E﹣∠C＝180°． 故选：B． 2．（2024秋•徐州校级期末）如图，AB∥CD，，，DQ，BQ分别平分∠GDE和∠HBE，则∠DFB，∠DQB满足的数量关系为：　　． 【分析】根据拐角∠F和∠Q的特性，作FT∥CD，QK∥AB，根据两直线平行内错角相等分别推出四个角∠DFT，∠TFB，∠DQK，∠KQB对应的相等角，再根据平角的定义和角平分线的定义推出∠DFB，∠DBQ两者的数量关系． 【解答】解：过点F作FT∥CD，过点Q作QK∥AB ∵AB∥CD， ∴CD∥FT∥QK∥AB， ∴∠DFT＝∠CDF，∠TFB＝∠ABF，∠DQK＝∠GDQ，∠KQB＝∠QBH， ∴∠DFB＝∠DFT+∠TFB＝∠CDF+∠ABF∠DQB＝∠DQK+∠KQB＝∠GDQ+∠QBH， ∵， ∴， ∴， ∵DQ，BQ分别平分∠GDE和∠HBE， ∴， ∵∠GDE+∠CDE＝180°，∠HBE+∠ABE＝180°， ∴， ∴∴， ∴， 故答案为：． 3．（2024秋•朝阳区校级期末）已知，直线AB∥DC，点P为平面内一点，连接AP与CP． （1）如图1，当点P在直线AB，CD之间，且∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，则∠APC＝ 　80　°． （2）如图2，当点P在直线AB，CD之间，且∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当点P在CD下方时，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K（K在CD下方），且∠BAP＝α，∠DCP＝β，直接写出∠K的大小（用含α和β的代数式表示）． 【分析】（1）过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根据∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP进行计算即可； （2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，得到∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得到结果； （3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，进而得到∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，再根据角平分线的定义，得到结果． 【解答】解：（1）如图1，过P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°， 故答案为：80； （2）∠AKC∠APC， 理由：如图2，过K作KE∥AB， ∵AB∥CD， ∴KE∥AB∥CD， ∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK， ∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK， 过P作PF∥AB， 同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP， ∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K， ∴∠BAK+∠DCK∠BAP∠DCP（∠BAP+∠DCP）∠APC， ∴∠AKC∠APC； （3）如图3，过K作KE∥AB， ∵AB∥CD， ∴KE∥AB∥CD， ∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE， ∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK， 过P作PF∥AB， 同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP， ∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K， ∴∠BAK﹣∠DCK∠BAP∠DCP（∠BAP﹣∠DCP）（α﹣β）， ∴∠AKCαβ． 4．（2024春•建华区校级期中）如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF． （1）请直接写出∠AEP、∠CFP和∠EPF的数量关系； （2）在图2中，∠BEP的平分线与∠DFP的平分线交于点Q，试探索∠EQF与∠EPF之间的关系，并证明你的结论； （3）在（2）的条件下，已知∠BEP和∠DFP均为钝角，点G在直线AB、CD之间，且满足∠BEG∠BEP，∠DFG∠DFP，（其中n为常数且n＞1），请直接写出∠EGF与∠EPF的数量关系． 【分析】（1）过点P作AB的平行线，利用平行线的性质即可解决问题． （2）分别过点P和点Q作AB的平行线，再结合平行线的性质即可解决问题． （3）仿照（2）中的解题过程即可解决问题． 【解答】解：（1）∠AEP+∠CFP＝∠EPF． 过点P作PM∥AB， ∵AB∥PM， ∴∠AEP＝∠EPM． ∵AB∥CD，AB∥PM， ∴CD∥PM， ∴∠CFP＝∠FPM． 又∵∠EPF＝∠EPM+∠FPM， ∴∠AEP+∠CFP＝∠EPM+∠FPM＝∠EPF． （2）∠EPF+2∠EQF＝360°． 理由如下： 过点P作PI∥AB，过点Q作QH∥AB， 由（1）知， ∠EPF＝∠AEP+∠CFP． 同理可得， ∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ． ∵EQ平分∠BEP， ∴∠BEP＝2∠BEQ． 同理可得， ∠DFP＝2∠DFQ， ∴∠BEP+∠DFP＝2（∠BEQ+∠DFQ）＝2∠EQF． ∵∠AEP+∠BEP＝∠CFP+∠DFP＝180°， ∴∠AEP+∠BEP+∠CFP+∠DFP＝360°， ∴∠EPF+2∠EQF＝360°． （3）∠EPF+n∠EGF＝360°． 由上述过程可知， ∠EPF＝∠AEP+∠CFP， ∠EGF＝∠BEG+∠DFG． ∵∠BEG∠BEP，∠DFG∠DFP， ∴∠EGF＝∠BEG+∠DFG（∠BEP+∠DFP）， ∴∠BEP+∠DFP＝n∠EGF． ∵∠AEP+∠BEP+∠CFP+∠DFP＝360°， ∴∠EPF+n∠EGF＝360°． 5．（2024春•江津区校级月考）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒4度，灯B转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1． （1）填空：∠BAN＝ 　60　°； （2）若灯B射线先转动15秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前、若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D、且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【分析】（1）根据∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN的度数； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜30时，根据4t＝2×（15+t），可得 t＝15；当30＜t＜75时，根据2（15+t）+（4t﹣180）＝180，可得t＝55； （3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝4t﹣120°，∠BCD＝120°﹣∠ACB＝2t﹣60°，即可得出∠BAC：∠BCD＝2：1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化． 【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1， ∴∠BAN＝180°60°， 故答案为：60； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当0＜t＜45时，如图1， ∵PQ∥MN， ∴∠PBD＝∠BDA， ∵AC∥BD， ∴∠CAM＝∠BDA， ∴∠CAM＝∠PBD ∴4t＝2×（15+t）， 解得：t＝15； ②当45＜t＜75时，如图2， ∵PQ∥MN， ∴∠PBD+∠BDA＝180°， ∵AC∥BD， ∴∠CAN＝∠BDA， ∴∠PBD+∠CAN＝180° ∴2（15°+t）+（4t﹣180°）＝180°， 解得：t＝55； 综上所述，当t＝15秒或t＝55秒时，两灯的光束互相平行； （3）∠BAC和∠BCD关系不会变化． 理由如下： 设灯A射线转动时间为t秒， ∵∠MAC＝4t，∠MAB＝120°， ∴∠BAC＝4t﹣120°＝4（t﹣30°）， 又∵∠DBC＝2t，∠ABD＝120°， ∴∠ABC＝120°﹣2t， ∴∠BCA＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝180°﹣2t， 又∵∠ACD＝120°， ∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣60°＝2（t﹣30°）， ∴∠BAC：∠BCD＝2：1，即∠BAC＝2∠BCD， ∴∠BAC和∠BCD关系不会变化． 6．（2024春•银州区校级期末）【探究】 如图①，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，则∠APC，∠A，∠C满足的数量关系是 　∠APC＝∠A﹣∠C　； 【应用】 （1）如图②为北斗七星的位置图，如图③，将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G．其中BC，D三点在一条直线上，AB∥EF，则∠B，∠D，∠E满足的数量关系是 　∠BDE+∠B﹣∠E＝180°　 （2）如图④，在（1）问的条件下，延长AB到点M，延长FE到点N，过点B和点E分别作射线BP和EP交于点P，使得BD平分∠MBP，EN平分∠DEP，若∠MBD＝25°，直接写出∠D﹣∠P的度数． 【分析】【探究】过点P作PH∥AB，则AB∥CD∥PH，进而得∠HPA＝180°﹣∠A，∠HPC＝180°﹣∠C，再根据∠APC＝∠HPC﹣∠HPA即可得出∠APC，∠A，∠C满足的数量关系； 【应用】（1）过点D作DK∥AB，则AB∥DK∥EF，进而得∠BDK＝180°﹣∠B，∠EDK＝∠E，再根据∠BDE＝∠BDK+∠EDK即可得出∠BDE，∠D，∠E满足的数量关系； （2）过点P作PT∥AB，根据∠MBD＝25°，BD平分∠MBP得∠MBP＝2∠MBD＝50°，∠ABD＝155°，根据EN平分∠DEP设∠DEN＝∠PEN＝α，则∠DEF＝180°﹣α，在（1）的条件下有∠D+∠ABD﹣∠DEF＝180°，进而得∠D＝205°﹣α，根据AB∥PT∥EF得∠TPB＝180°﹣∠MBP＝130°，∠TPE＝∠NEP＝α，进而得∠BPE＝∠TPB﹣∠TPE＝130°﹣α，据此可得∠D﹣∠BPE的值． 【解答】解：【探究】过点P作PH∥AB，如图①所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PH， ∴∠A+∠HPA＝180°，∠C+∠HPC＝180°， ∴∠HPA＝180°﹣∠A，∠HPC＝180°﹣∠C， ∵∠APC＝∠HPC﹣∠HPA， ∴∠APC＝180°﹣∠C﹣（180°﹣∠A）＝∠A﹣∠C， 故答案为：∠APC＝∠A﹣∠C． 【应用】（1）过点D作DK∥AB，如图3所示： ∵AB∥EF， ∴AB∥DK∥EF， ∴∠B+∠BDK＝180°，∠EDK＝∠E， ∴∠BDK＝180°﹣∠B， ∵∠BDE＝∠BDK+∠EDK， ∴∠BDE＝180°﹣∠B+∠E， ∴∠BDE+∠B﹣∠E＝180°， 故答案为：∠BDE+∠B﹣∠E＝180°． （2）∠D﹣∠BPE＝75°，理由如下： 过点P作PT∥AB，如图④所示： ∵∠MBD＝25°，BD平分∠MBP， ∴∠MBP＝2∠MBD＝50°，∠ABD＝180°﹣∠MBD＝155°， ∵EN平分∠DEP， ∴设∠DEN＝∠PEN＝α，则∠DEF＝180°﹣∠DEN＝180°﹣α， ∵在（1）的条件下： ∴∠D+∠ABD﹣∠DEF＝180°， ∴∠D+155°﹣（180°﹣α）＝180°， ∴∠D＝205°﹣α， ∵PT∥AB，AB∥EF， ∴AB∥PT∥EF， ∴∠MBP+∠TPB＝180°，∠TPE＝∠NEP＝α， ∴∠TPB＝180°﹣∠MBP＝180°﹣50°＝130°， ∴∠BPE＝∠TPB﹣∠TPE＝130°﹣α， ∴∠D﹣∠BPE＝205°﹣α﹣（130°﹣α）＝75°． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2 平行线【8个必考点】 【人教版2024】 【考点1 平行线的定义及平面内两直线的位置关系的判定】 1 【考点2 平行线的基本事实及其推论】 2 【考点3 平行线的三种判定方法】 3 【考点4 证明两直线平行】 6 【考点5 平行线性质的应用】 8 【考点6 平行线的判定与性质应用（补全推理过程）】 9 【考点7 平行线的判定与性质应用（证明）】 13 【考点8 利用平行线的性质探究角之间的关系】 14 【考点1 平行线的定义及平面内两直线的位置关系的判定】 【知识梳理】 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 【必刷题】 1．（2024春•泰山区期中）在同一个平面内，直线a、b相交于点P，a∥c，b与c的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．重合 D．平行或相交 2．（2024春•东阿县校级月考）在下列4个判断中： ①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行；②在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交；④在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交．正确判断的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2024春•岷县校级月考）在同一平面内，直线L1与L2满足下列条件： （1）L1与L2没有公共点，则L1与L2　 　； （2）L1与L2有且只有一个公共点，则L1与L2　 　； （3）L1与L2有两个公共点，则L1与L2　 　． 4．（2024春•银州区校级期末）如图所示，在∠AOB内有一点P． （1）过P画l1∥OA； （2）过P画l2∥OB； （3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？ 【考点2 平行线的基本事实及其推论】 【知识梳理】 （1）平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【必刷题】 1．（2024春•枣阳市期末）下列说法正确的是（　　） A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c 2．（2024春•博野县校级月考）如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则m+n的值为（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 3．（2024秋•道里区校级月考）下列说法中： ①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ②直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离； ③过一点有且只有一条直线平行于已知直线； ④过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； 其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024春•康巴什期末）如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是　 　． 【考点3 平行线的三种判定方法】 【知识梳理】 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等， 两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两 直线平行． （3）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互 补，两直线平行． 注意：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 【必刷题】 1．（2024春•娄星区期末）如图，下面哪个条件不能判断EF∥DC的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠C C．∠1+∠3＝180° D．∠3+∠C＝180° 2．（2024秋•康平县期末）如图，点E在BC的延长线上，对于给出的四个条件： ①∠1＝∠3；②∠2+∠5＝180°； ③∠4＝∠B；④∠D+∠BCD＝180°． 其中能判断AD∥BC的是（　　） A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 3．（2024秋•沈河区期末）如图，①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠1＝∠4，④∠2+∠5＝180°可以判定b∥c的条件有（　　） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 4．（2024春•秦都区校级月考）如图，已知AB、CD分别与MN交于点F、G，且EF⊥MN，∠BFE＝48°，若添加一个条件使得AB∥CD，请写出一个符合要求的条件：　 　，并说明理由． 5．（2024秋•北京校级期末）已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．试说明：AB∥DC．（请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由） 解：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知）， ∴∠1∠ABC，∠2∠ADC （ 　 　）， ∵∠ABC＝∠ADC （ 　 　）， ∴∠　 　＝∠　 　（等量代换）． ∵∠1＝∠3 （ 　 　）， ∴∠2＝∠　3　（ 　 　）． ∴　 　∥　 　（ 　 　）． 6．（2024春•防城港期末）已知：如图，EF⊥FG，垂足为F，且点F在直线CD上，FE与直线AB相交于点H，∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD．（请完成下面的证明过程） 证明：∵EF⊥FG（已知）， ∴∠EFG＝　 　°（垂直的定义）， 即∠EFD+　 　＝90°． 又∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠EFD＝　 　（ 　 　）， ∴AB∥CD（ 　 　）． 7．（2024春•德城区期末）按要求完成下列证明： 已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2＝90°． 求证：DE∥BC． 证明：∵CD⊥AB（已知）， ∴∠1+　 　＝90°（　 　）． ∵∠1+∠2＝90°（ ）， ∴　 　＝∠2（　 　）． ∴DE∥BC（　 　）． 【考点4 证明两直线平行】 【必刷题】 1．（2023秋•神木市期末）如图，E，F分别是线段AC，AB上一点，点D在BC的延长线上，连接BE，CF，ED，若∠1＝∠2，∠ABC＝∠ACB，∠EBD＝∠D，求证：FC∥ED． 2．（2024春•商南县期末）如图，已知点A在射线BG上，∠1+∠3＝180°，∠1＝∠2，∠EAB＝∠BCD，说明EF与CD平行的理由． 3．（2024秋•苍梧县期中）如图，已知点O在直线AB上，射线OD平分∠BOC，过点O作OE⊥OD，G是射线OB上一点，连接DG，满足∠ODG+∠DOG＝90°． （1）求证：∠AOE＝∠ODG； （2）若∠ODG＝∠C，求证：CD∥OE． 4．（2024春•子洲县期末）如图，点D、F分别在△ABC的边AB、AC上，过点D作DE⊥BC于点E，过点F作FG⊥BC于点G，点H在BD上，连接HE，∠1＝∠2，试说明HE∥AC． 5．（2024秋•兴庆区校级期末）如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上一点，连接OF． （1）求证：OC⊥OD； （2）若∠D与∠1互余，求证：ED∥AB． 6．（2023秋•神木市期末）如图，点E、F分别在CD、AB上，连接BE、CF、DF，BE⊥DF于点G，∠C＝∠1． （1）求∠CFD的度数； （2）若∠2+∠D＝90°，求证：AB∥CD． 7．（2024秋•海城市期中）如图所示，在四边形ABCD中，已知∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F． （1）求证：∠ABC+∠ADC＝180°； （2）求证：BE∥DF． 【考点5 平行线性质的应用】 【知识梳理】 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 【必刷题】 1．（2024秋•武侯区期末）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，AG⊥EF于点G．若∠A＝54°，则∠1的度数是（　　） A．36° B．54° C．126° D．144° 2．（2024秋•成华区期末）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中∠A＝45°，∠F＝60°，点E在CB的延长线上，点D在AB上．若DF∥CE，则∠EDB的度数为 　 　． 3．（2024秋•榕城区期末）如图，AB∥CD，BD平分∠ABC，CA平分∠BCD． （1）求证：AC⊥BD； （2）若∠A＝2∠D，求∠A的度数． 4．（2023秋•薛城区月考）已知：如图，直线AB∥CD∥EF，根据图形直接写出∠ABD、∠BDE、∠DEF之间满足的等量关系并说明理由． 5．（2024春•丰满区期末）如图，AB∥CD∥EF，∠B＝40°，∠BCE＝15°，求∠CEF的度数． 【考点6 平行线的判定与性质应用（补全推理过程）】 【必刷题】 1．（2024秋•巴彦县期末）阅读下列文字，并完成证明． 如图，直线AB上有两点G、K，直线CD上有一点H，点H、F、K三点共线，点E在直线AB和直线CD之间，连接EG和EF，∠2＝∠3，∠1+∠4＝180°，求证：AB∥CD． 证明：∵∠2＝∠3（已知）， ∴　 　∥　 　（ 　 　）， ∴∠1＝ 　 　（ 　 　）， ∵∠1+∠4＝180°（已知）， ∴∠AKH+　 　＝180°（ 　 　）， ∴AB∥CD （　 　）． 2．（2024秋•海口期末）如图，四边形ABCD中，F为CD上一点，连接AF并延长，交BC的延长线于点E，连接AC．若∠B＝∠DCE，∠1＝∠2，∠3＝∠4． （1）试说明AB∥CD； （2）AD与BC的位置关系如何？为什么？ （3）∠ACD与∠E相等吗？请说明理由． 注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第（3）小题要写出解题过程． 解：（1）∵∠B＝∠DCE，（已知） ∴AB∥CD．（　 　） （2）AD与BC的位置关系是：AD∥BC，理由如下： ∵AB∥CD，（已知） ∴∠4＝∠　 　.（　 　） ∵∠3＝∠4，（已知） ∴∠3＝∠　 　.（　 　） ∵∠1＝∠2，（已知） ∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF， 即∠　 　＝∠　 　， ∴∠3＝∠　 　.（等量代换） ∴AD∥BC．（　 　） （3）　 　． 3．（2024秋•金凤区校级期末）如图，AB∥DC，∠1＝∠B，∠2＝∠3． 证明：（1）ED∥BC； （2）AD∥EC． 请根据解答过程，在横线上填出数学式，在括号内填写相应理由． 证明：（1）∵AB∥DC，（已知） ∴∠1＝　 　．（ 　 　） 又∵∠1＝∠B，（已知） ∴∠B＝　 　．（ 　 　） ∴ED∥BC．（ 　 　） （2）∵ED∥BC，（已知） ∴∠3＝　 　．（ 　 　） 又∵∠2＝∠3，（已知） ∴∠2＝∠　 　．（ 　 　） ∴AD∥EC．（ 　 　） 4．（2024秋•朝阳区校级期末）补全推理过程： 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，过点D作直线DG交AC于点G，交EF的延长线于点H，∠B＝50°，∠1+∠2＝180°．求∠H的度数． 解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知） ∴AD∥EF．（ 　 　） ∴∠2+∠EAD＝180°．（ 　 　） ∵∠1+∠2＝180°，（已知） ∴∠1＝∠　 　．（同角的补角相等） ∴AE∥HG．（ 　 　） ∴∠B＝∠BDH．（ 　 　） ∵∠B＝50°，（已知） ∴∠BDH＝50°．（等量代换） ∵AD⊥BC，（已知） ∴∠ADB＝90°．（ 　 　） ∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定义） ∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性质） ∵AD∥EF，（已证） ∴∠H＝∠1＝ 　 　°．（ 　 　） 5．（2024秋•玄武区校级月考）如图，在△ABC中，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，DM∥BC，∠1＝∠2．试说明：DM∥FG．请将说明过程补充完整，并在括号内填写说理的依据． 理由如下：因为BD⊥AC（已知）， 所以∠BDC＝90°（ 　 　）． 同理，得∠EFC＝90°， 所以∠BDC＝∠EFC（等量代换）． 所以BD∥EF（同位角相等，两直线平行）． 所以 　 　（ 　 　）． 又∠1＝∠2（已知）． 所以 　 　（等量代换）． 所以BC∥FG （ 　 　）． 所以∠ABC＝∠AGF（两直线平行，同位角相等）． 又 　 　（已知）， 所以∠AMD＝∠ABC（两直线平行，同位角相等）． 即∠AMD＝∠AGF（等量代质）． 所以DM∥FG（ 　 　）． 【考点7 平行线的判定与性质应用（证明）】 【必刷题】 1．（2024秋•道里区校级期中）如图，在三角形ABC中，点E、点G分别是边AB、AC上的点，点F、点D是边BC上的点，连接EF、AD和DG，DG是∠ADC的角平分线，若∠1+∠2＝180°，AB∥DG，∠2＝145°，求∠EFC的度数． 2．（2024秋•即墨区期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点N在线段CD上，ED与FN交于点M，∠C＝∠1，∠2＝∠3． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠D＝47°，∠EMF＝80°，求∠AEP的度数． 3．（2023秋•梅县区期末）如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°． （1）求证：EF∥BH； （2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数． 4．（2023秋•鼓楼区校级期末）如图，已知∠1＝∠3，∠2＝∠B． （1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由； （2）若DE平分∠ADC，∠1＝3∠B，求∠EFC的度数． 5．（2023秋•磁县期末）如图，已知∠DAE+∠CBF＝180°，CE平分∠BCD，∠BCD＝2∠E． （1）求证：AD∥BC； （2）CD与EF平行吗？写出证明过程； （3）若DF平分∠ADC，求证：CE⊥DF． 【考点8 利用平行线的性质探究角之间的关系】 【必刷题】 1．（2024秋•朝阳区校级期末）如图，若AB∥CD，则∠B、∠C、∠E三者之间的关系是（　　） A．∠B+∠C+∠E＝180° B．∠B+∠E﹣∠C＝180° C．∠B+∠C﹣∠E＝180° D．∠C+∠E﹣∠B＝180° 2．（2024秋•徐州校级期末）如图，AB∥CD，，，DQ，BQ分别平分∠GDE和∠HBE，则∠DFB，∠DQB满足的数量关系为：　 　． 3．（2024秋•朝阳区校级期末）已知，直线AB∥DC，点P为平面内一点，连接AP与CP． （1）如图1，当点P在直线AB，CD之间，且∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，则∠APC＝ 　 　°． （2）如图2，当点P在直线AB，CD之间，且∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当点P在CD下方时，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K（K在CD下方），且∠BAP＝α，∠DCP＝β，直接写出∠K的大小（用含α和β的代数式表示）． 4．（2024春•建华区校级期中）如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF． （1）请直接写出∠AEP、∠CFP和∠EPF的数量关系； （2）在图2中，∠BEP的平分线与∠DFP的平分线交于点Q，试探索∠EQF与∠EPF之间的关系，并证明你的结论； （3）在（2）的条件下，已知∠BEP和∠DFP均为钝角，点G在直线AB、CD之间，且满足∠BEG∠BEP，∠DFG∠DFP，（其中n为常数且n＞1），请直接写出∠EGF与∠EPF的数量关系． 5．（2024春•江津区校级月考）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒4度，灯B转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1． （1）填空：∠BAN＝ 　 　°； （2）若灯B射线先转动15秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前、若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D、且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 6．（2024春•银州区校级期末）【探究】 如图①，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，则∠APC，∠A，∠C满足的数量关系是 　 　； 【应用】 （1）如图②为北斗七星的位置图，如图③，将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G．其中BC，D三点在一条直线上，AB∥EF，则∠B，∠D，∠E满足的数量关系是 　 　 （2）如图④，在（1）问的条件下，延长AB到点M，延长FE到点N，过点B和点E分别作射线BP和EP交于点P，使得BD平分∠MBP，EN平分∠DEP，若∠MBD＝25°，直接写出∠D﹣∠P的度数． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$