7.3 特殊角的三角函数（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

7.3 特殊角的三角函数 学习目标 1. 根据锐角三角函数的概念，知道30°、45°、60°等特殊角的三角函数值； 2.会求一些简单的含有特殊角的三角函数的表达式的值； 3.会根据特殊锐角的正弦值、余弦值知道该锐角的大小. 2 知识回顾 什么是锐角的三角函数？ 问题情境 （1）你知道这副三角尺各个角的度数吗？ 45° 45° 90° 90° 30° 60° 4 问题情境 （2）每块三角尺的三边之间有怎样的关系？ a a 2a a 5 问题情境 （3）你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗？ 解：设30°所对的直角边长为a，那么斜边 长为2a. 另一条直角边长＝ . ∴sin30°＝＝，cos30°＝＝， tan30°＝＝，sin60°＝＝， cos60°＝＝，tan60°＝＝. 6 问题情境 （3）你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗？ 解：设45°所对的直角边长为a， 则斜边长＝. ∴sin45°＝＝，cos45°＝＝， tan45°＝＝1. 7 归纳与总结 30°，45°，60°角的三角函数值列表如下： 三角函数值 sinθ cosθ tanθ 30° 45° 60° 1 8 归纳与总结 观察表格，你能发现什么规律？ 三角函数值 sinθ cosθ tanθ 30° 45° 60° 1 sin30°＝cos60° cos30°＝sin60° sin45°＝cos45° tan30°·tan60°＝1 关系记忆法： 9 归纳与总结 观察表格，你能发现什么规律？ 三角函数值 sinθ cosθ tanθ 30° 45° 60° 1 图形记忆法： 1 1 45° 1 2 30° 60° 10 例题讲解 例1 求下列各式的值： (1) 2sin30°－cos45°； (2) sin60°cos60°； 解：(1) 原式＝2× ＝； 解：(2) 原式＝ ＝； 11 (4) cos30sin45＋sin30cos45； 例题讲解 例1 求下列各式的值： 解：(3)原式＝ ＝； (3) tan30°＋cos30°； 解：(4)原式＝ ＝； 12 例题讲解 例2 求下列等式中的锐角α. (1) 2sinα－＝0； (2) tanα－1＝0. 解：(1) 由已知，得sinα＝，所以α＝45°； (2) 由已知，得tanα＝，所以α＝30°. 13 拓展与延伸 D 例3 如图，在△ABC中，已知BC＝1＋，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长． A C B 60° 45° 解：过A点作AD⊥BC，垂足为点D，设AB＝2x. 在Rt△ADB中， ∵AB＝2x，∠B＝60°， 且sinB＝，cosB＝， ∴AD＝ABsinB＝2xsin60°＝, BD＝ABcosB＝2xcos60°＝x． 14 拓展与延伸 例3 如图，在△ABC中，已知BC＝1＋，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长． 在Rt△ADC中， ∵∠C＝45°，tanC＝， ∴CD＝＝＝. ∵BC＝BD＋CD＝1＋， ∴x＋＝1＋，解得x＝1， ∴AB＝2x＝2. D A C B 60° 45° 15 归纳与总结 含特殊角三角函数值的计算注意事项： （1）熟记特殊角的锐角三角函数值是关键； （2）注意运算顺序和法则； （3）注意特殊角三角函数值的准确代入． 16 新知巩固 1. 求下列各式的值. (1) tan45°－sin30°cos60°； (2) ； 解：(1) 原式＝1－ ＝； 解：(2)原式＝ ＝ ＝ ； 17 (3) 2sin30＋3cos60－4tan45； 新知巩固 1. 求下列各式的值. (4) . 解：(3)原式＝2×＋3×－4×1 ＝1＋－4 ＝－； 解：(4)原式＝ ＝ ＝. 18 新知巩固 2. 求下列等式中的锐角θ. (1) 2cosθ＝1； (2) 2sinθ－＝0； 解：(1) 由已知，得cosθ＝，所以θ＝60； (2) 由已知，得sinθ＝，所以θ＝45； (3) 2cos(θ＋15)－＝0. (3) 由已知，得cos(θ＋15)＝，所以θ＝15. 19 新知巩固 3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BC＝2，BD＝. 分别求Rt△ABC、Rt△ACD、Rt△BCD中的各锐角. A B C D 解：在Rt△BCD中，得cosB＝＝， 所以∠B＝30°， 所以∠DCB＝∠A＝60°，∠ACD＝30°， 即∠B＝∠ACD＝30°，∠A＝∠DCB＝60°. 20 新知巩固 4. 如图，AC是△ABD的高，BC＝15，∠BAC＝30°，∠DAC＝45°. 求AD. C A D B 30° 45° 15 解：在Rt△ACB中， ∵ BC＝15，∠BAC＝30°，且tan∠BAC＝， ∴ AC＝＝＝ ＝15. 在Rt△ACD中， ∵∠DAC＝45，cos∠DAC＝， ∴ AD＝ ＝ ＝ ＝. 21 30°、45°、60°角的三角函数值 由特殊角的三角函数值求特殊角 课堂总结 利用特殊角的三角函数值进行简单运算 当堂检测 基础过关 1. 计算2sin30°－2cos60° ＋tan45° 的结果是 ( ) A. 2 B. C. －1 D. 1 D 2. 已知等腰三角形的三边长之比为1:1:，则它的顶角为(　 　)A. 150°　 B. 120° 　 C. 60° 　 D. 30° B 23 当堂检测 基础过关 3．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA＝， cosB＝，则△ABC的形状是 ( ) A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 B 24 当堂检测 基础过关 5. 已知α为锐角，sin(90°－α)＝，则α的度数为_______． 6. 已知∠A是锐角，且tanA＝，则sin＝_____． 30° 4. 在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，那么∠A的度数为_______． 60° 25 当堂检测 基础过关 7. 求下列各式的值： (1) 1－2 sin30°cos30°； (2) 3tan30°－tan45°＋2sin60°； 解：(1)原式＝1－2×× ＝1－； 解：(2)原式＝3×－1＋2× ＝－1＋ ＝2－1； 26 当堂检测 基础过关 8. 求满足下列条件的锐角 α . (1) 2sinα－＝0； (2) tanα－1＝0. 解：(1) 由已知，得sinα＝，所以α＝60°； (2) 由已知，得tanα＝1，所以α＝45°. 27 当堂检测 能力提升 9. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，若AC＝，求线段BD的长. A B C D 解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°. ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠CAD＝∠BAD＝30°， ∴AD＝BD. 在Rt△ADC中，AD＝＝＝2， ∴BD＝2. 28 当堂检测 能力提升 1. tan (α＋20°)＝1，锐角 α 的度数应是 ( ) A. 40° B. 30° C. 20° D. 10° D 2. 在△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝，则∠A的度数为(　　)A. 30° B. 45° C. 50° D. 60° B 29 当堂检测 能力提升 3. 当∠A为锐角，tanA值大于时，则∠A取值范围是( ) A．0°＜∠A＜ 30° B．30°＜∠A＜90° C．0°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° B 30 当堂检测 能力提升 4. 在△ABC中，若|sinA－|＋(cosB－)2＝0，则∠C＝______. 120° 5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝， BC＝，则∠A＝_____. 45° B A C 31 当堂检测 能力提升 6.面积为8的菱形ABCD的对角线AC的长为4，则该菱形的一个内角(锐角)的度数为______°. 60 7. 要使二次根式有意义，则x的取值范围为________. x≥ 32 当堂检测 能力提升 8. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝2，求AB的长度. A B C D 解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D. ∵∠A＝30°，AC＝2， ∴sinA＝＝，cosA＝＝， ∴CD＝AD＝＝3. ∵tanB＝， ∴BD＝＝2. ∴ AB＝AD＋BD＝3＋2＝5. 33 当堂检测 能力提升 9.已知α为锐角，当无意义时，求tan(α＋15°)－tan(α－15°)＋2sinαcosα的值. 解：∵无意义， ∴1－tanα＝0. ∴tanα＝1. ∵α为锐角，∴α＝45°. ∴原式＝tan60°－tan30°＋2sin45°cos45°＝－＋2××＝＋1. 34 2021 Blues 4800.0 $$