专题03 “奔驰定理”在平面向量中的应用（2大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第二册）

专题03 “奔驰定理”在平面向量中的应用 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 题型一、奔驰定理的应用 4 题型二、奔驰定理与三角形“四心”综合 5 压轴能力测评（8题） 7 一、奔驰定理 1.奔驰定理：O是△ABC内一点，且，则 2.奔驰定理推论：O是△ABC所在平面内一点，且，则： ① ② 由于这个定理对应的图像和奔驰定理的图标很相似，我们把它称为奔驰定理. 二、奔驰定理的证明 奔驰定理：是内一点，且，则 已知是内的一点，的面积分别为，，，求证： 法一证明：延长与边相交于点则 法二证明：延长OA到OA1，OB到OB1,OC到OC1使得，O为△A1B1C1的重心. 三、三角形四心与奔驰定理的关系及证明 ①是的重心：． 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 ②是的内心： 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得 ③是的外心：． 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 ④是的垂心： 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 【题型一 奔驰定理的应用】 一、单选题 1．（2024高一下·上海·专题练习）设点O是所在平面内一点，则下列说法错误的是（    ） A．若，则O为的重心； B．若，则O为的垂心； C．若，则为等边三角形； D．若，则△BOC与△ABC的面积之比为． 二、多选题 2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知点为所在平面内一点，满足，（其中）（    ） A．当时，直线过边的中点 B．若时，与的面积之比为 C．若，且，则 D．若，且，则满足 3．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）设的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，，则面积的最大值为 C．若，，则点的轨迹一定通过的内心 D．若是内的一点，满足，则 4．（23-24高一上·河北廊坊·期末）设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是边的中点 B．若，则在边的延长线上 C．若，则是的重心 D．若，则的面积是面积的 三、填空题 5．（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）设M为内一点，且，则与的面积之比为 ． 【题型二 奔驰定理与三角形“四心”综合】 一、多选题 1．（23-24高一下·四川达州·期末）如图，已知O是内部任意一点，，，的面积分别为，，，．根据上述结论，则（    ）．    A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果O为的重心，那么 D．如果O为直角的内心，且两直角边，，那么 2．（2024高一下·河南南阳·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，则.设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则 B．，，，则 C．若为的内心，，则 D．若为的重心，则 3．（23-24高一下·福建莆田·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心､内心､外心､垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是:已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（   ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若为的外心，则 D．若为的垂心，，则 二、填空题 4．（2024高一下·四川宜宾·竞赛）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”的很相似，故形象地称其为“奔驰定理）.“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，,,的面积分别为,,，则.若是锐角内的一点， 是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是 .（填序号） ①是的外心；②； ③；④ 三、解答题 5．（23-24高一下·山西·阶段练习）奔驰定理是一个关于三角形的几何定理，它的图形形状和奔驰轿车logo相似，因此得名.如图，P是内的任意一点，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，总有优美等式：.    (1)若P是的内心，，延长AP交BC于点D，求； (2)若P是锐角的外心，，，求的取值范围. 一、单选题 1．（22-23高一下·江苏盐城·期中）已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则与面积比为（    ） A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:2 2．（22-23高一下·全国·单元测试）已知点O为所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 3．（2024高一下·重庆·期末）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(    ) A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．已知向量，，若，则 B．向量，，则“，的夹角为锐角”是“”的充要条件 C．若，、分别表示、的面积，则 D．在中，向量与满足，且，则为等边三角形 5．（2023高一·全国·专题练习）O是锐角三角形ABC内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.请根据“奔驰定理”判断下列命题正确的是（    ）      A．O为的外心 B． C． D． 6．（22-23高一下·安徽·期中）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立，此结论称为三角形中的奔驰定理．由此判断以下命题中正确的有（    ） A．若是等边三角形，为内任意一点，且点到三边的距离分别是，则有 B．若为内一点，且，则是的内心 C．若为内一点，且，则 D．若的垂心在内，是的三条高，则 三、填空题 7．（22-23高一下·河南信阳·期中）已知O是内部的一点，且，和的面积分别是，若，则 . 四、解答题 8．（2023高一·全国·专题练习）根据“奔驰定理”，解决以下问题： (1)点O为内一点，若，设，求实数和的值； (2)若O为的外心，证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 “奔驰定理”在平面向量中的应用 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 题型一、奔驰定理的应用 4 题型二、奔驰定理与三角形“四心”综合 9 压轴能力测评（8题） 17 一、奔驰定理 1.奔驰定理：O是△ABC内一点，且，则 2.奔驰定理推论：O是△ABC所在平面内一点，且，则： ① ② 由于这个定理对应的图像和奔驰定理的图标很相似，我们把它称为奔驰定理. 二、奔驰定理的证明 奔驰定理：是内一点，且，则 已知是内的一点，的面积分别为，，，求证： 法一证明：延长与边相交于点则 法二证明：延长OA到OA1，OB到OB1,OC到OC1使得，O为△A1B1C1的重心. 三、三角形四心与奔驰定理的关系及证明 ①是的重心：． 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 ②是的内心： 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得 ③是的外心：． 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 ④是的垂心： 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 【题型一 奔驰定理的应用】 一、单选题 1．（2024高一下·上海·专题练习）设点O是所在平面内一点，则下列说法错误的是（    ） A．若，则O为的重心； B．若，则O为的垂心； C．若，则为等边三角形； D．若，则△BOC与△ABC的面积之比为． 【答案】B 【分析】利用向量数乘运算和三角形重心定义判断选项A；利用向量数量积运算和三角形垂心定义判断选项B；利用向量数量积运算和等边三角形定义判断选项C；求得△BOC与△ABC的面积之比判断选项D. 【详解】对于A，如图，取边中点，连接边上的中线，则， 又∵，∴，∴， ∴为的重心，故选项A正确；    对于B，如图，取边中点，边中点，连接，， 则，， ∵， ∴， ∴，∴，， ∴，， ∴，分别是，边上的垂直平分线， ∴，为的外心，故选项B错误；    对于C，作角的内角平分线与边交于点， ∵为方向的单位向量，为方向的单位向量， ∴（）， ∴（）， ∴，∴，∴，为等腰三角形， 又∵，且，∴， ∴为等边三角形，故选项C正确；    对于D，设，， 由，得， 则由选项A可知，为的重心，设的面积， ∴， 又∵，， ∴，，， ∴， ∴，故选项D正确．    故选：B 二、多选题 2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知点为所在平面内一点，满足，（其中）（    ） A．当时，直线过边的中点 B．若时，与的面积之比为 C．若，且，则 D．若，且，则满足 【答案】AD 【分析】对于A，根据向量的线性运算结合向量数乘的含义可判断A;对于B，利用作图，结合向量加减法的几何意义，可判断与的面积之比；对于C，由条件可判断为等边三角形，利用数量积的定义即可求得的值；对于D,由得，，平方后结合数量积的运算可推得结果. 【详解】对于A，设AB的中点为D，则当时，有, 即得O,C,D三点共线，故直线过边的中点，故A正确； 对于B，延长OA至,使 , 延长OB至,使, 连接,设其中点为E,连接OE并延长至 ，使 , 连接 ,则四边形是平行四边形， 所以，而时，， 故,即 三点共线，且， 根据同底等高一角形面积相等，则, 即与的面积之比为，故B错误； 对于C，由于且时，， 故O为的外心和重心，故为等边三角形， 则,由可得， 故，故C错误； 对于D，因为，且， 由得，， 所以,即，故D正确， 故选：AD. 3．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）设的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，，则面积的最大值为 C．若，，则点的轨迹一定通过的内心 D．若是内的一点，满足，则 【答案】BCD 【分析】由正弦定理，得到，得到或者，可判定A不正确；由余弦定理和基本不等式，求得，结合面积公式，可判定B正确；根据题意，得到平分，结合内心的定义，可判定C正确；设，的中点分别为，，得到，结合三角形的形状和面积公式，可判定D正确． 【详解】对于A中，因为，由正弦定理得， 又因为，则或，即或者， 所以是等腰三角形或者直角三角形，所以A不正确； 对于B中，由余弦定理， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以，所以B正确． 对于C中，由向量和分别表示平行于，的单位向量， 可得平分，即平分，所以的轨迹经过的内心，所以C正确． 对于D中，由，可得， 令，的中点分别为，，则，即， 则是线段靠近的四等分点，在中，连接，则是的中位线， 所以，故D正确． 故选：BCD. 4．（23-24高一上·河北廊坊·期末）设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是边的中点 B．若，则在边的延长线上 C．若，则是的重心 D．若，则的面积是面积的 【答案】AC 【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算对选项一一判断即可. 【详解】对于，因为，所以，即， 则是边的中点，故正确； 对于，由得，所以， 则在边的延长线上，故错误； 对于，设的中点为，则，故C正确； 对于D，由知，， 所以，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 5．（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）设M为内一点，且，则与的面积之比为 ． 【答案】/0.25 【分析】根据题意结合三点共线的结论确定点的位置，进而分析运算即可. 【详解】在取中点， 则， 可知点为的中点， 可得，即， 所以与的面积之比为. 故答案为：. 【题型二 奔驰定理与三角形“四心”综合】 一、多选题 1．（23-24高一下·四川达州·期末）如图，已知O是内部任意一点，，，的面积分别为，，，．根据上述结论，则（    ）．    A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果O为的重心，那么 D．如果O为直角的内心，且两直角边，，那么 【答案】BCD 【分析】依题意易判断A错误，利用平面向量线性运算计算，平面向量基本定理可知B正确，由重心性质可得C正确，根据三角形内心性质并利用勾股定理可判断D正确. 【详解】对于A：由题意,结合， 可得,即A错误. 对于B：由, 可得; 整理得, 即得，即B正确； 对于C：如果O为的重心， 则可知， 可知，即C正确； 对于D：如果O为的内心，设内切圆半径为r, 则, 又,,则,所以， 可知，即D正确. 故选：BCD. 【点睛】本题关键在于将重心、内心性质转化为向量OA,OB,OC之间得关系式，进而实现问题求解. 2．（2024高一下·河南南阳·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，则.设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则 B．，，，则 C．若为的内心，，则 D．若为的重心，则 【答案】ACD 【分析】利用“奔驰定理”可判断A选项；求出，结合“奔驰定理”可判断B选项；利用“奔驰定理”可得出的值，结合勾股定理可判断C选项；利用重心的几何性质结合“奔驰定理”可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，由“奔驰定理”可知，A对； 对于B选项，由 ，，可知， 又，所以， 由可得，，， 所以，B错； 对于C选项，若为的内心，，则， 又（为内切圆半径）， 所以，，故，C对； 对于D选项，如下图所示， 因为为的重心，延长交于点，则为的中点， 所以，，，且，， 所以，，由“奔驰定理”可得，D对. 故选：ACD. 3．（23-24高一下·福建莆田·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心､内心､外心､垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是:已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（   ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若为的外心，则 D．若为的垂心，，则 【答案】ABC 【分析】对A，根据面积关系可得，再结合重心的概念即可得解；对B，内心为内切圆圆心，是角平分线的交点，利用面积公式即可得解；对C，外心为外接圆圆心，是三角形各边垂直平分线的交点，利用垂直关系即可得解；对D，根据奔驰定理结合面积关系即可得解. 【详解】对于A，取的中点，连接，如图所示 由，则，所以，所以三点共线，且，设分别为得中点，同理可得，所以为的重心，故A正确； 对于B， 由为的内心，则可设内切圆半径为，如图所示 则， 所以，即，故B正确； 对于C ，如图所示， 因为为的外心，所以， 所以，即，即， 所以，同理可得， 所以，故C正确； 对于D，延长交于点，延长交于点，延长交于点，如图所示， 由为的垂心，，则， 又，则， 设，则， 所以，即， 所以，所以，故D错误. 故选：ABC. 二、填空题 4．（2024高一下·四川宜宾·竞赛）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”的很相似，故形象地称其为“奔驰定理）.“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，,,的面积分别为,,，则.若是锐角内的一点， 是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是 .（填序号） ①是的外心；②； ③；④ 【答案】②③④ 【分析】由确定出点是三角形的垂心，判断①；结合与三角形内角和等于可证明②；结合②选项结论证明即可证明③，利用奔驰定理证明可证明④． 【详解】对①，因为 同理,故为的垂心，故①错误； 对②，因为，所以， 又因为，所以, 又因为，所以，故②正确； 对③，延长交于点， 如图， 则, 同理可得,所以，故③正确； 对④， , 同理可得,所以, 又因为，所以，故④正确， 故答案为：②③④ 三、解答题 5．（23-24高一下·山西·阶段练习）奔驰定理是一个关于三角形的几何定理，它的图形形状和奔驰轿车logo相似，因此得名.如图，P是内的任意一点，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，总有优美等式：.    (1)若P是的内心，，延长AP交BC于点D，求； (2)若P是锐角的外心，，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奔驰定理以及内切圆的性质可得，即可根据得，进而根据线性运算得,由共线即可求解， （2）根据奔驰定理以及外接圆的性质可得，即可得，结合三角恒等变换可得，即可根据函数的性质求解. 【详解】（1）由于P是的内心，设内切圆的半径为， 由可得，即， 由，不妨设， 故， 设，则, 故, 由于与共线，而与不共线， 因此必然，故，    （2）设外接圆的半径为, 则由得， 即， 由于，所以, 因此，又， 所以 , 由于三角形为锐角三角形，所以，解得， 故, 故当时，取最小值， 当或时，， 故.    一、单选题 1．（22-23高一下·江苏盐城·期中）已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则与面积比为（    ） A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:2 【答案】B 【分析】利用三角形重心的性质及平面向量的线性运算，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】如图所示 是的重心， , , , , ，即， 点为的中点，即点为边中线的两个三等分点， ， ， 故选：B. 2．（22-23高一下·全国·单元测试）已知点O为所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】如图，分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到，由于正三角形，结合题目中的面积关系得到，，由面积之比，分所成的比，从而得出的值． 【详解】， ． 如图，，分别是对应边的中点，    由平行四边形法则知，， 故， 在正三角形中， ， ， 且三角形与三角形的底边相等，面积之比为, 所以，得. 故选：B. 3．（2024高一下·重庆·期末）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由O是垂心，可得，结合可得，根据三角形内角和为π，结合正切的和差角公式即可求解. 【详解】∵是的垂心，延长交与点， ∴ ， 同理可得，∴：， 又， ∴， 又， ∴， 不妨设，其中， ∵， ∴，解得或， 当时，此时，则都是钝角，则，矛盾. 故，则，∴是锐角，， 于是，解得. 故选：A. 二、多选题 4．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．已知向量，，若，则 B．向量，，则“，的夹角为锐角”是“”的充要条件 C．若，、分别表示、的面积，则 D．在中，向量与满足，且，则为等边三角形 【答案】ACD 【分析】利用向量垂直关系的坐标表示判断A选项；由向量夹角为锐角时，向量积为正求出的范围判断B选项；设出，可得出为的重心，再由三角形重心的性质求出面积比判断C选项；由先判断出三角形为等腰三角形，再由，判断出，可判断D选项. 【详解】对于A，由向量，，且，得，解得，故A正确； 对于B，由，的夹角为锐角，得，且，不共线，则，解得且， 所以“，的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件，故B错误； 对于C，如图 设，，由得， 取的中点，连接，则有，所以，即，则点为的重心， 设，，的面积分别为，，，则，，的面积分别为，，，由重心的性质可知， 所以，则，故C正确； 对于D，如图，作的内角平分线与相交于点， 因为为的单位方向向量，为的单位方向向量，所以，所以， 所以，即，所以为等腰三角形，又因为，且，所以， 即为等边三角形，故D正确. 故选：ACD. 5．（2023高一·全国·专题练习）O是锐角三角形ABC内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.请根据“奔驰定理”判断下列命题正确的是（    ）      A．O为的外心 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据向量数量积可证垂直，进而可求解A，根据垂直关系，结合内角和即可判断B，根据锐角三角函数即可判断C，由面积公式结合奔驰定理即可求解D. 【详解】因为， 同理，，故O为的垂心，故A错误； 根据垂心可得，，所以， 又，所以，又， 所以，故B正确； ，同理，延长CO交AB于点P(如图)，则，同理可得，所以，故C正确； 设，，的面积分别为，，，则 ， 同理可得，所以，又，所以， 故D正确. 故选:BCD. 6．（22-23高一下·安徽·期中）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立，此结论称为三角形中的奔驰定理．由此判断以下命题中正确的有（    ） A．若是等边三角形，为内任意一点，且点到三边的距离分别是，则有 B．若为内一点，且，则是的内心 C．若为内一点，且，则 D．若的垂心在内，是的三条高，则 【答案】ACD 【分析】若是等边三角形，设其高为，用和表示出，代入奔驰定理，化简即可判断A；由及奔驰定理，根据平面向量基本定理即可得出，即可判断B；由得出，结合奔驰定理，根据平面向量基本定理得出，即可判断C；点是的垂心，得出， ，，代入奔驰定理即可判断D． 【详解】因为为内任意一点，所以两两不共线； 对A：是等边三角形，设其高为， 则，，， 代入奔驰定理得，， 即，故A正确； 对B：由且，根据平面向量基本定理得，则是的重心，故B不正确； 对C：，即， 又， 由平面向量基本定理得，故C正确； 对D：由点是的垂心，则， 所以，同理可得，，， 代入， 得， 即，故D正确； 故选：ACD． 三、填空题 7．（22-23高一下·河南信阳·期中）已知O是内部的一点，且，和的面积分别是，若，则 . 【答案】 【分析】根据三角形的几何性质，可得点所在三角形中特殊线段位置，结合三点公式的平面向量计算，建立方程组，可得答案. 【详解】如图，分别在边AC，BC上取点D，E，使得.    由，可得，所以， 又因为，所以点O在线段DE上（不包含端点）， 则. 因为O，D，E三点共线，所以，即， 所以. 因为，所以，所以. 故答案为：. 四、解答题 8．（2023高一·全国·专题练习）根据“奔驰定理”，解决以下问题： (1)点O为内一点，若，设，求实数和的值； (2)若O为的外心，证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）利用奔驰定理和平面向量的线性运算即可求解； （2）设的外接圆半径为R，利用奔驰定理即可求解. 【详解】（1）根据“奔驰定理”，得，即，整理可得， 因为与不共线， 所以由平面向量基本定理得，. （2）证明：若O为的外心， 则可设的外接圆半径为R，，， ，故， 同理，， 根据“奔驰定理”，. 即. 所以 【点睛】方法总结：四心的向量统一形式：设是内一点且； 若为重心，则； 若为内心，则； 若为外心，则； 若为垂心，则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$