专题02 平面向量与三角形中的“四心”问题（4大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第二册）

专题02 平面向量与三角形中的“四心”问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、重心 2 题型二、外心 3 题型三、内心 4 题型四、垂心 5 压轴能力测评（11题） 5 一、三角形的重心 1.定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 2.重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． 在平面向量的应用：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）； （2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、 、，，则有. 二、三角形的外心 1.定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等； 2.外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 3.外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． 在平面向量的应用：若点是△的外心，则 或 ； 三、三角形的内心 1.定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心 2.内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等 ②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 3.内切圆 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形 在平面向量的应用：若点是△的内心，则有 四、三角形的垂心 1.定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 在平面向量的应用：若是△的垂心，则或 【题型一 重心】 一、单选题 1．（23-24高一下·山东淄博·期中）在中，为的重心，.则（    ） A．1 B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）已知在中，为的重心，为边中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江西抚州·期中）已知的重心为，若，且，则（   ） A． B． C．3 D． 二、多选题 4．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）如图，在中，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，是AD与BE的交点，则（    ） A． B．对于任意一点，都有 C．对于任意一点，都有 D． 三、填空题 5．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，已知，，是中线，G为重心，则 ； .（用向量、表示）    四、解答题 6．（23-24高一·上海·课堂例题）已知是的重心，、、分别为、、中点，求证：． 7．（23-24高一上·辽宁大连·期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，． (1)求的值； (2)求的最小值，并求此时，的值． 【题型二 外心】 一、单选题 1．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知是的外心，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知外接圆圆心为，且，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 4．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知向量，，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023高三·全国·专题练习）设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 二、多选题 6．（23-24高一下·安徽合肥·期中）已知点是的外心，点是边的中点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型三 内心】 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 2．（2024高三·全国·专题练习）若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 二、多选题 3．（23-24高一下·四川成都·期末）的内心为P，外心为O，重心为G，若，，下列结论正确的是（    ） A．的内切圆半径为 B． C． D． 【题型四 垂心】 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 二、多选题 2．（23-24高一下·四川南充·阶段练习）已知，，分别为内角，，的对边，是平面内一点，下列结论正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形 B．若，则 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为的垂心 三、填空题 3．（2023高一·全国·专题练习）是所在平面上的一定点，动点满足，，，则点 形成的图形一定通过 的 ．（填外心或内心或重心或垂心） 一、单选题 1．（22-23高一下·福建福州·期中）如图所示，内有一点满足，过点作一直线分别交于点.若，则（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·贵州毕节·阶段练习）已知，向量，，满足条件，．则 是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 3．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形的是（    ） A．点是的垂心 B．点是的重心 C．点是的外心 D．点是的内心 4．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 5．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）在中，满足，，，则的轨迹一定经过的（    ） A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．内心、垂心、重心 D．重心、垂心、内心 6．（23-24高一下·黑龙江·期中）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出以下定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称为三角形的欧拉线.已知点分别为的重心，垂心，外心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是边的中点 B．若，则是的垂心 C．若，则是的重心 D．若，则动点过的内心 8．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）已知三角形ABC满足，则下列结论正确的是（    ） A．若点O为的重心，则， B．若点O为的外心，则 C．若点O为的垂心，则， D．若点O为的内心，则． 三、解答题 9．（22-23高一下·陕西西安·期中）如图，已知点是的重心，若过的重心，且，，，（，），试求的最小值． 10．（23-24高一下·广东梅州·期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心．   (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 11．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期中）在中，过重心G的直线与边交于P，与边交于Q，点P，Q不与B，C重合.设面积为，面积为，，. (1)求； (2)求证：； (3)求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平面向量与三角形中的“四心”问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、重心 2 题型二、外心 6 题型三、内心 10 题型四、垂心 12 压轴能力测评（11题） 14 一、三角形的重心 1.定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 2.重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． 在平面向量的应用：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）； （2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、 、，，则有. 二、三角形的外心 1.定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等； 2.外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 3.外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． 在平面向量的应用：若点是△的外心，则 或 ； 三、三角形的内心 1.定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心 2.内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等 ②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 3.内切圆 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形 在平面向量的应用：若点是△的内心，则有 四、三角形的垂心 1.定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 在平面向量的应用：若是△的垂心，则或 【题型一 重心】 一、单选题 1．（23-24高一下·山东淄博·期中）在中，为的重心，.则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形重心的性质，结合向量线性运算的性质，即可求解. 【详解】根据三角重心的性质，有， 所以，，故. 故选：B 2．（2024·全国·模拟预测）已知在中，为的重心，为边中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的线性运算即可求解. 【详解】在中，为的重心，为边中点， 对于A，因为，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为在中，为边中点， 则， 所以，故C正确； 对于D，若成立， 则，即，则， 又为边中点，故，这不一定成立，故D错误. 故选：C． 3．（23-24高一下·江西抚州·期中）已知的重心为，若，且，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】首先判断，再根据重心的向量表示，变形后，利用数量积公式，即可求解. 【详解】因为，故． 而，故， 则． 故选：B 二、多选题 4．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）如图，在中，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，是AD与BE的交点，则（    ） A． B．对于任意一点，都有 C．对于任意一点，都有 D． 【答案】BCD 【分析】由重心的性质及中线的向量表示可判断A，由向量的减法及A判断B，由向量的减法及B可判断C，由数量积的运算法则及相反向量可判断D. 【详解】由题意，知为的重心， 因为F是AB的中点，所以，故A错误； 因为， 所以，故B正确； 由B选项可知， ，所以，故C正确； 因为， 同理，， 三式相加可得，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 5．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，已知，，是中线，G为重心，则 ； .（用向量、表示）    【答案】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得，再由重心的性质得到，从而得解. 【详解】因为是中线，所以为的中点，所以， 所以， 又G为的重心，所以. 故答案为：； 四、解答题 6．（23-24高一·上海·课堂例题）已知是的重心，、、分别为、、中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据重心的性质及平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为是的重心，、、分别为、、中点， 所以，，， 所以， 所以． 7．（23-24高一上·辽宁大连·期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，． (1)求的值； (2)求的最小值，并求此时，的值． 【答案】(1) (2)，时，最小值为． 【分析】（1）由三角形重心性质可得，结合三点共线性质即可求得结果. （2）运用“1”的代换及基本不等式求解即可. 【详解】（1）如图所示， 因为G为重心，所以， 所以， 因为M，G，N三点共线，所以，即． （2）由题意可知，且， 所以 当且仅当，即时取等号， 又∵，∴，时，取得最小值为． 【题型二 外心】 一、单选题 1．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知是的外心，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断的形状，再代入投影向量公式，即可求解. 【详解】由，可知点为的中点，且是的外心， 所以，又因为，则，则， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C 2．（2024高三·全国·专题练习）已知外接圆圆心为，且，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出草图，运用平行四边形法则，结合外接圆圆心特征，得到平行四边形为菱形，进而得到和为等边三角形，得解. 【详解】由，得， 如图所示，结合向量加法的平行四边形法则可得四边形为平行四边形， 又因为为外接圆圆心，所以， 所以平行四边形为菱形，和为等边三角形， 所以向量的夹角为． 故答案为：. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据向量数量积的运算律，即可得，结合外心定义即可求解. 【详解】由已知得， 所以，所以， 所以点O是的外心， 故选:A． 4．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知向量，，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，分析可知为等边三角形，结合向量的几何意义分析求解. 【详解】设， 因为，， 可知三点不共线，且既是的重心也是的外心， 所以为等边三角形， 则， 所以. 故选：C. 5．（2023高三·全国·专题练习）设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】C 【分析】取BC的中点D，连接OD，AM，BM，CM，由，结合，得到，从而，再由为的外心，得到即可. 【详解】解：取BC的中点D，如图所示， 连接OD，AM，BM，CM． 因为， 所以， 又，则， 所以， 又由于为的外心， 所以， 因此有．同理可得，， 所以点是的垂心． 故选：C． 二、多选题 6．（23-24高一下·安徽合肥·期中）已知点是的外心，点是边的中点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】结合外心性质利用数量积的运算律求解判断A，利用数量积的几何意义求解判断B，利用重心的向量形式判断C，利用向量的线性运算化简判断D. 【详解】对于A，因为点是边的中点，所以， 又点是的外心，所以，即， 所以，正确； 对于B，，正确； 对于C，当点是的重心时才有，错误； 对于D，， ，正确. 故选：ABD. 【题型三 内心】 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【分析】先根据单位向量的加法得出点在角平分线上进而得出轨迹过内心即可. 【详解】指向角A的平分线方向， 而与是平行的，所以依旧指向角A的平分线方向， 所以点P的轨迹即为角A的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A的平分线上， 所以点P的轨迹会经过内心. 故选：B. 2．（2024高三·全国·专题练习）若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】在，上分别取点，，使得，，以，为邻边作平行四边形，即可得到四边形是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到，，三点共线，即可得到在的平分线上，同理说明可得在其它两角的平分线上，即可判断. 【详解】在，上分别取点，，使得，，则． 以，为邻边作平行四边形，如图，    则四边形是菱形，且． 为的平分线．  ， ，      即， ． ，，三点共线，即在的平分线上， 同理可得在其它两角的平分线上， 是的内心． 故选：B． 二、多选题 3．（23-24高一下·四川成都·期末）的内心为P，外心为O，重心为G，若，，下列结论正确的是（    ） A．的内切圆半径为 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】取边的中点，得内心P、外心O、重心G都在中线上，且，由三角形面积相等求出可判断A；求出可判断B；由余弦定理得，平方关系求出，得的外接圆半径，利用可判断C；利用可判断D. 【详解】取边的中点，连接， 因为，所以内心P、外心O、重心G都在中线上， 且，，内切圆半径， 对于A，由得 ，解得，故A正确； 对于B，因为，所以， ，故B正确； 对于C，由余弦定理得， ，所以， 所以的外接圆半径， ，所以， 所以， ，故C错误； 对于D，的外接圆半径， ，所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是判断出内心P、外心O、重心G都在中线上. 【题型四 垂心】 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】由题意得，即边上的高所在直线为，由此即可得解. 【详解】因为，所以， 所以，即直线一定经过三角形的边上的高，即直线一定经过三角形的垂心. 故选：D. 二、多选题 2．（23-24高一下·四川南充·阶段练习）已知，，分别为内角，，的对边，是平面内一点，下列结论正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形 B．若，则 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为的垂心 【答案】AD 【分析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理判断A，利用特殊值判断B，利用余弦定理将角化边，即可判断C，根据数量积的运算律得到，同理可得，，即可判断D. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得， 所以，则为钝角，所以为钝角三角形，故A正确； 对于B，因为，当时， ，故B错误； 对于C，因为， 根据余弦定理可得， 整理可得，所以或， 故为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，由题意可得， 所以，同理可得，，故为的垂心，故D正确. 故选：AD 三、填空题 3．（2023高一·全国·专题练习）是所在平面上的一定点，动点满足，，，则点 形成的图形一定通过 的 ．（填外心或内心或重心或垂心） 【答案】垂心 【分析】根据直角三角形中三角函数及向量的夹角可得，据此可由向量的线性运算知P点在BC边垂线上，即可得解. 【详解】， 与垂直， ， 点在的高线上，即的轨迹过的垂心. 故答案为：垂心． 一、单选题 1．（22-23高一下·福建福州·期中）如图所示，内有一点满足，过点作一直线分别交于点.若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形重心向量表达式，结合共线向量的运算性质进行求解即可. 【详解】因为，所以G为的重心， 所以， 所以且，所以， 故选：B 2．（23-24高一下·贵州毕节·阶段练习）已知，向量，，满足条件，．则 是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】首先由条件判断点是的重心和外心，再根据几何性质判断三角形的形状. 【详解】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则，    所以是等边三角形. 故选：C 3．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形的是（    ） A．点是的垂心 B．点是的重心 C．点是的外心 D．点是的内心 【答案】B 【分析】由已知判断点P在直线上，结合垂心、重心、外心、内心的定义逐一判断即可. 【详解】记的中点为D，则， 所以，点P在直线上. A选项：若点是的垂心，则， 所以，所以为等腰三角形，A正确； B选项：若点是的重心，则点在边的中线上，无法推出，B错误； C选项：若点是的外心，则点在边的中垂线上， 所以，所以为等腰三角形，C正确； D选项：若点是的内心，则为的角平分线， 所以， 又，即, 故，D正确. 故选：B 4．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 【答案】A 【分析】利用三角形外心、重心、垂心的定义和性质判定即可. 【详解】因为，即O到各顶点距离相等，所以O为的外心； 取的中点分别为，连接， 则有， 所以三点共线，三点共线，三点共线， 即N为的重心； 由，即，同理， 所以为垂线的交点，故为的垂心. 故选：A 5．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）在中，满足，，，则的轨迹一定经过的（    ） A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．内心、垂心、重心 D．重心、垂心、内心 【答案】A 【分析】由表示过角平分线所在向量，即可判断，由正弦定理得到，再设的中点为，则，即可判断，推导出，即可判断. 【详解】因为表示过角平分线所在向量，又， 所以的轨迹经过的内心， 由正弦定理，所以， 令， 由， 得， 设的中点为，则， 所以，所以的轨迹经过的重心，    因为， 所以 ， 所以，所以的轨迹经过的垂心. 故选：A 6．（23-24高一下·黑龙江·期中）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出以下定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称为三角形的欧拉线.已知点分别为的重心，垂心，外心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意利用点分别为的垂心，外心得到，并得到，借助相似及重心性质可得，结合向量关系表示即可. 【详解】因为为的外心，为的中点,所以, 因为为的垂心,所以, 所以, 易得 所以，所以. 因为为的重心，所以. 所以, 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于利用重心，垂心，外心的性质得到，利用对应边成比例得到，进而求得向量关系. 二、多选题 7．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是边的中点 B．若，则是的垂心 C．若，则是的重心 D．若，则动点过的内心 【答案】ACD 【分析】根据向量加法的平行四边形法则判断A，根据外心的性质判断B，根据重心的性质判断C，根据向量共线及内心的性质判断D. 【详解】对于A，如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，可得， 若，可得是边的中点，故A正确； 对于B，若，则是的外心，故B错误； 对于C，若，则，即， 所以是的重心，故C正确； 对于D，因为表示方向的单位向量，表示方向的单位向量， 所以与的角平分线同向，又， 则在的角平分线上，所以动点过的内心，故D正确. 故选：ACD 8．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）已知三角形ABC满足，则下列结论正确的是（    ） A．若点O为的重心，则， B．若点O为的外心，则 C．若点O为的垂心，则， D．若点O为的内心，则． 【答案】ABD 【分析】用向量表示三角形的四心. 【详解】选项A：如图，点O为的重心时，，故A正确；    选项B：若点O为的外心，如图，为线段的垂直平分线， 则，同理， ，故B正确；    选项C：当时，则为的垂心，，重合，此时，故C错误；    选项D：若点O为的内心，在的平分线上， 则，故D正确. 故选：ABD 三、解答题 9．（22-23高一下·陕西西安·期中）如图，已知点是的重心，若过的重心，且，，，（，），试求的最小值． 【答案】 【分析】根据重心的几何性质和三点共线的向量表示，依据线段长的比例进行运算即可. 【详解】∵是的重心，∴是边上的中线，， ∴， ∴， 又∵，（，），∴，， ∴， 又∵，，三点共线， ∴. 又∵，，∴由基本不等式，有 ， 当且仅当，即，时，等号成立， ∴的最小值为. 10．（23-24高一下·广东梅州·期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心．   (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据重心将中线长度分成的性质，结合平面向量的线性运算证明即可； （2）根据平面向量的线性运算证明即可； （3）根据欧拉定理与平面向量的线性运算证明即可. 【详解】（1）为△的重心，连接并延长交于， 则为中点，且.    在△中，为中点，， 得证. （2）在△中，为中点， . 为△的重心，， 则在△中，有， 得证. （3）连结并延长和，取、的中点、， 连结和，因为点为的外心，所以有， 因为点为的垂心，所以有， 所以 而又，，， 从而， 而， 同理，， 因为， 所以 所以.    11．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期中）在中，过重心G的直线与边交于P，与边交于Q，点P，Q不与B，C重合.设面积为，面积为，，. (1)求； (2)求证：； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）由是的重心，可得，再由向量运算求得结果； （2）结合向量线性运算以及三点共线即可证明； （3）结合（2）的结论，三角形的面积公式，，以及二次函数的性质即可求得答案. 【详解】（1）设分别是的中点， 由于是的重心，则为的交点， 则，，， 所以. （2），，， 则， ， 由于三点共线，所以， 整理得. （3） ， 因为，所以， 所以.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$