专题01 平面向量的运算及平面向量基本定理（4大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第二册）

专题01 平面向量的运算及平面向量基本定理 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 5 题型一、平面向量线性运算 5 题型二、平面向量共线定理及其推论 8 题型三、平面向量基本定理 16 题型四、平面向量的数量积、模长、夹角、投影向量 21 压轴能力测评（23题） 27 一、向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 二、向量的线性运算 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 注：（1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． （2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． 三、平面向量基本定理和性质 1、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 推论1：若，则． 推论2：若，则． 3、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 4、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 5、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 四、平面向量的坐标表示及坐标运算 1、平面向量的坐标表示 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． 2、向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． 3、设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． 4、设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 5、平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，． ， 五、平面向量的数量积 1、平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 2、平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 六、数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 七、数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①． ②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 八、数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 （当且仅当时等号成立） 【题型一 平面向量线性运算】 一、单选题 1．（23-24高一下·山东·期中）在中，点在边上，，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量加法的三角形法则得，根据可得到与的关系. 【详解】由题意得，点为线段上靠近点的三等分点，如图所示： . 故选：B. 2．（2024高三·全国·专题练习）在四边形中，，，，若，不共线，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【答案】C 【分析】先根据向量的加法得出，根据一组对边平行且不等得出四边形为梯形. 【详解】由已知得，， 故，且，所以四边形是梯形． 故选：C. 3．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】求出向量，再利用向量共线列式求出值. 【详解】由，，得， 由，，三点共线，得，又，不共线， 则，所以. 故选：A 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据向量共线定理和基本不等式即可求解. 【详解】因为三点共线， 所以存在实数k，使，即， 又向量不共线，所以， 由，所以， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为4. 故选：B 二、填空题 5．（2024高三·全国·专题练习）在矩形中，已知，，为的中点，且，则 ． 【答案】/0.625 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】如图，由可得， 则 ， 则，，故． 故答案为：. 三、解答题 6．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)已知，点，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知有，结合三点共线有，得，根据已知列方程求参数即可； （2）根据已知得，结合的坐标表示求点坐标. 【详解】（1）由题意，， 由三点共线，存在实数k，使得， 即，得， 是平面内两个不共线的非零向量， ，解得． （2）， 由四点按逆时针顺序构成平行四边形，则， 设，则，， 所以，解得，即点A的坐标为． 【题型二 平面向量共线定理及其推论】 一、单选题 1．（23-24高一下·广东潮州·期末）如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算得，再利用三点共线的结论即可得到值. 【详解】根据题意，得， 又， 因为B，P，D三点共线，所以，即. 故选：A. 2．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在平行四边形ABCD中，G为的重心，满足，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由题意作图，根据重心的几何性质得到，再利用平面向量的线性运算即可得解. 【详解】如图，设与相交于点，为的重心， 可得为的中点，， 所以 ， 又， 所以，则. 故选：C. 3．（23-24高一下·云南大理·期末）如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（    ）    A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最大值. 【详解】根据题意，， 所以 又， 所以 因为三点共线， 所以，即，由图可知，， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为1. 故选：B.    4．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知为内一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，方法一：延长至点，令，从而可得三点共线，进而可求解；方法二：利用奔驰定理求解即可. 【详解】因为， 所以， 即. 方法1：，即， 延长至点，令，即三点共线， 则. 方法2：由奔驰定理，，故. 故选B： 5．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，I是的平分线上一点，且，若内（不包含边界）的一点D满足，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将向量 归一化可得，结合向量的线性运算可得，结合题意列式求解即可. 【详解】设，则，且， 可得， 则，可得， 即，可得， 则， 因为，则，可得， 所以， 因为，解得， 所以实数x的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是以为基底表示出.本题的难点在于用表示出向量. 6．（23-24高一下·吉林白山·期末）如图，在梯形中，在线段上，.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据平面向量的线性运算可得，结合平面向量基本定理可得，即可得结果. 【详解】由题意可设， 则， 又因为，且，不共线， 可得，解得，即， 所以，即. 故选：D. 7．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在中，点E为线段上的中点，点F为线段上靠近点C的三等分点，，分别与交于R，T两点．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量基本定理，由点的位置关系可得出向量的比例关系，再根据平面向量的三角形法则和平行四边形法则运算，对选项逐一验证即可求得结果. 【详解】根据题意可知，且，所以； 对于A，易知， 因此可得，可得A错误； 对于B，点E为线段上的中点，由平行四边形法则可得， 而； 联立，解得，即B错误； 对于C，易知，所以，因此可得， 所以 ，即可得C正确； 对于D，， 因此可得，即D错误. 故选：C 8．（23-24高一下·山东临沂·期末）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】运用向量线性运算及三点共线结论即可求得结果. 【详解】连接，如图所示， 因为， 所以， 又因为，， 所以， 又因为、、三点共线， 所以， 所以. 故选：C. 二、填空题 9．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知是圆上不同的三点，与交于点（点与点不重合），若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，其中，根据条件得＝＋，利用共线的推论，得到，即可求解. 【详解】因为与交于点，所以三点共线， 所以与共线，设，则， 因为，所以， 可得＝＋，因为三点共线，所以，可得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 10．（23-24高一下·河北邢台·期中）在中，分别在边上，且，若，则 ，线段与交于点，则 ． 【答案】 9 【分析】根据线性运算用表示出，对比已知即可得；设，用表示出，记，根据平面向量基本定理列方程组即可求得，然后得解. 【详解】因为，所以． 因为，所以， 则，故． 因为三点共线，所以． 因为，所以，所以． 因为三点共线，所以设，所以， 则解得，则． 故答案为：；9. 11．（23-24高一下·北京通州·期末）在正方形中，是边上一点，且，点为的延长线上一点，写出可以使得成立的，的一组数据为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据向量的线性运算表示出，再结合向量的共线即可求得答案. 【详解】 由题意知，而， 故, 则， 又点为的延长线上一点，故, 可取，则， 故使得成立的的一组数据为， 故答案为：. 12．（23-24高一下·河北邢台·期末）已知M是所在平面内一点，若，且，设的面积为，的面积为，则 ． 【答案】/ 【详解】    因为，， 所以，其中， 设，则点在直线上， 因为与同底，而高线之比等于与的比，即比值为， 所以. 故答案为：. 【题型三 平面向量基本定理】 一、单选题 1．（23-24高一下·山东临沂·期末）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】运用向量线性运算及三点共线结论即可求得结果. 【详解】连接，如图所示， 因为， 所以， 又因为，， 所以， 又因为、、三点共线， 所以， 所以. 故选：C. 2．（23-24高一下·吉林白山·期末）如图，在梯形中，在线段上，.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据平面向量的线性运算可得，结合平面向量基本定理可得，即可得结果. 【详解】由题意可设， 则， 又因为，且，不共线， 可得，解得，即， 所以，即. 故选：D. 3．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在中，点E为线段上的中点，点F为线段上靠近点C的三等分点，，分别与交于R，T两点．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量基本定理，由点的位置关系可得出向量的比例关系，再根据平面向量的三角形法则和平行四边形法则运算，对选项逐一验证即可求得结果. 【详解】根据题意可知，且，所以； 对于A，易知， 因此可得，可得A错误； 对于B，点E为线段上的中点，由平行四边形法则可得， 而； 联立，解得，即B错误； 对于C，易知，所以，因此可得， 所以 ，即可得C正确； 对于D，， 因此可得，即D错误. 故选：C 二、填空题 4．（23-24高一下·北京通州·期末）在正方形中，是边上一点，且，点为的延长线上一点，写出可以使得成立的，的一组数据为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据向量的线性运算表示出，再结合向量的共线即可求得答案. 【详解】 由题意知，而， 故, 则， 又点为的延长线上一点，故, 可取，则， 故使得成立的的一组数据为， 故答案为：. 5．（23-24高一下·河北邢台·期末）已知M是所在平面内一点，若，且，设的面积为，的面积为，则 ． 【答案】/ 【详解】    因为，， 所以，其中， 设，则点在直线上， 因为与同底，而高线之比等于与的比，即比值为， 所以. 故答案为：. 6．（23-24高一下·河北邢台·期中）在中，分别在边上，且，若，则 ，线段与交于点，则 ． 【答案】 9 【分析】根据线性运算用表示出，对比已知即可得；设，用表示出，记，根据平面向量基本定理列方程组即可求得，然后得解. 【详解】因为，所以． 因为，所以， 则，故． 因为三点共线，所以． 因为，所以，所以． 因为三点共线，所以设，所以， 则解得，则． 故答案为：；9. 【题型四 平面向量的数量积、模长、夹角、投影向量】 一、单选题 1．（2024·重庆·模拟预测）已知向量 满足 ，且 ，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据向量夹角余弦的表示代入计算得，再利用向量垂直的数量积的表示即可得到答案. 【详解】，即，则， 因为，则，则，则， 则，则. 故选：B. 2．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数量积的运算律和投影向量公式求解即可. 【详解】因为向量满足， 所以，解得， 所以在方向上的投影向量是， 故选：D. 3．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用数量积的运算律及向量夹角公式计算得解. 【详解】单位向量满足，则， ，， 所以. 故选：A 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】若与的夹角为钝角，则且与不共线，结合向量的坐标运算求得m得取值范围，再根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若与的夹角为钝角，则且与不共线， 可得，解得且， 因为是的真子集， 所以“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B. 5．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）如图，已知等腰中，，点是边上的动点，则的值（    ）    A．为定值 B．不为定值，有最大值 C．为定值 D．不为定值，有最小值 【答案】C 【分析】先记的中点为，然后利用是等腰三角形，得到，再利用向量数量积的几何意义求解即可. 【详解】如图，记的中点为，由题可知，， ，，所以. 故选：C.    二、多选题 6．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知平面向量，下列说法不正确的有（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 【答案】AB 【分析】由时不成立可得选项A错误；根据数量积的概念可知选项B错误；根据可得选项C正确；根据得，化简可得选项D正确. 【详解】A.当时，满足，，但不一定成立，选项A错误. B.设，则，与关系不确定，选项B错误. C. ，选项C正确. D.由得，，即， ∴，即，选项D正确. 故选：AB. 7．（24-25高一上·全国·期中）已知向量，则下列命题正确的是（    ） A．的最大值为 B．若，则 C．若是与垂直的单位向量，则 D．当取得最大值时， 【答案】AD 【分析】设，，利用向量的减法的几何意义可判定A；利用向量的数量积运算法则转化为，可判定B；根据垂直关系的向量表示可以否定C；结合三角函数的基本关系式与辅助角公式即可得解即可判定D. 【详解】∵，∴是单位向量， 设，， 则，当，方向相反， 即时取等号，∴的最大值为，故A正确； 等价于， 即，即， ∴，故B错误； ，， ，不垂直，故Ｃ错误； ，其中，， 故当时，取得最大值， 此时，故D正确； 故选：AD 三、填空题 8．（23-24高一下·河北石家庄·期末）在菱形OABC中、O为坐标原点、,则的值为 ． 【答案】10 【分析】利用向量的线性运算求，再由数量积运算即可得解. 【详解】如图， 在菱形中，，， 所以，， 则， 故. 故答案为：. 9．（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知向量（其中）.若与共线，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】根据题意，由共线向量的坐标表示可得，再结合基本不等式代入计算，即可求解. 【详解】由与共线可得，即，且， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 10．（23-24高三下·甘肃张掖·阶段练习）已知向量，且，则实数 . 【答案】 【分析】依题意可得，将两边平方可得，设与的夹角为，根据数量积的定义得到，即可得到与共线且反向，根据平面向量共线的坐标表示求出，再检验即可. 【详解】由，得，两边平方得， 设与的夹角为，则，因为、均不为， 所以，又，所以， 所以与共线且反向，所以，解得或. 当时，，即，则与同向，舍去； 当时，，即，则与反向，符合题意， 所以. 故答案为： 11．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）已知向量，若与的夹角为锐角，其中，则的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】由与的夹角为锐角，得到，求得，再由向量与共线时，求得，即可得到答案. 【详解】由向量，可得且， 则， 因为与的夹角为锐角， 可得，即，解得 当与共线时，可得，所以，解得， 所以且，即实数的取值范围为. 故答案为：. 12．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，，分别是边，的中点，与交于点，且，则 ；若，，，则 ．    【答案】 96 【分析】根据向量的线性运算，结合三点共线的结论即可求解，进而由向量的数量积即可求解. 【详解】设，，因为，分别是边，的中点，所以，则， 因为，，三点共线，所以，解得， 所以，， 所以．又， 所以． 故答案为：，96 一、单选题 1．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三等分点得出向量相等结合向量的方向即可判断选项. 【详解】D，E为边上的三等分点，所以， 所以D选项正确； 若，则不成立，C选项错误； 方向不同不能相等，A选项错误； 方向相反不能相等，B选项错误. 故选：D. 2．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】D 【分析】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线. 【详解】对于A，，与不共线，A不正确； 对于B，，，则与不共线，B不正确； 对于C，，，则与不共线，C不正确； 对于D，， 即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确． 故选：D． 3．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）设是两个不共线的向量，是在上的投影向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意画出图形，令，结合向量数量积的定义逐项判断即可； 【详解】 如图，由题意可设， 对于A，由数量积的定义可得，故A错误； 对于B，根据向量数量积的定义得，故B正确； 对于C，设，则，由于可以为任意正数，故C错误； 对于D，由数量积的定义可得，故D错误； 故选：B. 4．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知向量，的夹角为120°，，则（    ） A． B． C．7 D．13 【答案】A 【分析】由计算可得结果. 【详解】由可得 ， 所以. 故选：A. 5．（23-24高一下·山东烟台·期中）在边长为2的正三角形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等边三角形的性质结合平面向量数量积的几何意义计算即可. 【详解】 如图所示，取的中点，则， 由题意易知， 不难发现在上的投影为，所以. 故选：A 6．（24-25高一上·广西柳州·期中）已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量公式，与题中给出的投影向量比较，可求出, 用公式求出与夹角余弦值，确定夹角大小. 【详解】因为在上的投影向量为， 则，， ， 所以与的夹角为. 故选：B. 7．（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知向量，不共线，且向量，，若与反向，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据共线定理有，再由平面向量基本定理列方程组可得. 【详解】∵向量，不共线，且向量，，与反向， ∴存在实数使， 于是． 整理得． 由于向量，不共线，所以有， 整理得， 解得或． 又因为，所以， 故． 故选：B． 8．（24-25高三上·江苏南通·期中）在中，，，，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为基底表示向量，因为，则，建立与的等量关系，求解即可. 【详解】因为，，所以， 又，所以， 则，解得：，. 故选：C 9．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，即可得到，再根据平面向量共线定理的推论得到，解得即可. 【详解】因为，所以，即， 又，所以， 因为点是线段上一点，即、、三点共线， 所以，解得. 故选：B 10．（22-23高一下·福建泉州·期中）如图，在平行四边形中，，点E满足，点F满足，且，则（    ） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】用分别表示出，结合已知，可得，然后进行数量积的运算即可得出． 【详解】因为， 所以， 即，解得， 又因为，可知点E为AB的中点， 则， 所以. 故选：D． 11．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）如图，在中，点O是BC的中点，，分别连接MO、NO并延长，与边AB的延长线分别交于P，Q两点，若，则（    ）    A．2 B．1 C．－2 D．－1 【答案】B 【分析】利用向量共线的推论与线性关系，求解系数再结合向量减法即可求参. 【详解】因为三点共线，所以， 又因为是中点，所以，因为，所以， 所以，则 所以， 因为三点共线，所以， 又因为是中点，所以，因为，所以， 所以，则 所以， 所以， 所以. 故选：B. 12．（23-24高一下·江苏徐州·期中）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合向量的基本定理，可得，,即可由平面向量的数量积运算，即可求解． 【详解】，则， 设，则，， 则， 故，解得，， 故, ，，， 则 ． 故选：D． 13．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据、三点共线，可得、，利用平面向量线性运算的应用将表示，由此可得方程组求得，进而得到的值. 【详解】连接，如图， 因为三点共线，设，则， 所以； 因为三点共线，设，则， 所以， 则，解得，所以， 则，所以. 故选：D 14．（23-24高一下·天津河东·期中）在中，，则为（    ） A．直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰非等边三角形 【答案】C 【分析】将条件，利用向量加法的几何意义及数量积的运算转化为角平分线与高线合一可得等腰三角形；再利用数量积定义求解角，即可判断形状. 【详解】由，得， 由和分别是与、方向相同的单位向量， 如图，在边上取点，使， 作平行四边形，则， 由，则平行四边形为菱形，则对角线即为的平分线； 由，可得，故， 延长交于，即，则既是高线，也是的平分线， 为等腰三角形，且； 由， 所以，由，所以， 故，即为等边三角形. 故选：C. 15．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知□ABCD中，点P在对角线AC上（不包括端点A，C），点Q在对角线BD上（不包括端点B，D），若，，记的最小值为m，的最小值为n，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由四边形ABCD为平行四边形，得及且，再通过二次函数求最小值；由及点Q在对角线BD上，得，再通过基本不等式求最小值. 【详解】因为四边形ABCD为平行四边形，所以， 又点P在对角线AC上（不包括端点A，C），所以且， 则，当时，． 同理，因为点Q在对角线BD上（不包括端点B，D）， 所以且，， 则， 当且仅当，时取得等号，所以． 故选：A． 二、多选题 16．（23-24高一下·四川绵阳·期末）如图，在中，点D为的中点，点E为的四等分点（靠近点C），，，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．是在上的投影向量 【答案】AD 【分析】对于A，由向量的加法法则分析判断，对于B，给两边平方化简可求出，对于C，将用表示，代入化简判断，对于D，利用投影向量的定义求解判断. 【详解】对于A，因为在中，点D为的中点，所以， 所以，所以A正确， 对于B，因为，，，， 所以， 所以，即，所以B错误， 对于C，因为， 所以 ，所以C错误， 对于D，因为点E为的四等分点（靠近点C），所以， 所以在上的投影向量为，所以D正确. 故选：AD 17．（23-24高一下·河南·期末）已知向量，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为 D．若，则在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】对于A：根据向量平行的坐标表示运算求解；对于B：根据向量垂直的坐标表示运算求解；对于C：根据模长公式结合三角恒等变换可得，再根据正弦函数最值分析判断；对于D：先求，结合投影向量的定义分析求解. 【详解】因为向量，， 对于A，因为，则，可得，故A正确； 对于B，因为，则，即 则，所以，故B错误； 对于C，因为， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故C正确； 对于D，若，则，可得， 所以在方向上的投影向量为，故D正确； 故选：ACD. 18．（24-25高一上·辽宁·期末）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深遂的哲理解释了自然，社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．和不能构成一组基底 【答案】ACD 【分析】利用相等向量的定义可判断A选项；利用平面向量的加法可判断B选项；利用平面向量加法的平行四边形法则可判断C选项；推导出，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意知，，，， 所以，，所以，，所以，， 又因为，由相等向量的定义可知，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，根据平面向量的加法法则可知， 为以、为邻边的正方形中以为始点的一条对角线所对应的向量， 所以，，所以，， 又因为，故，C对； 对于D选项，连接，如下图所示： 由正八边形的几何性质可得， ，， 又因为，则为等腰三角形，则， 所以，， 所以，，所以，， 因为，所以，，故和共线，即和不能构成一组基底，D对. 故选：ACD. 19．（23-24高一下·福建漳州·期中）在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C． D．的最小值为 【答案】BC 【分析】先利用向量的线性运算判断AC，再利用三点共线得到，进而利用基本不等式与“1”的妙用即可得解. 【详解】如图所示，因为，则，即， 所以，故A错误； 又因为， 所以，故C正确； 因为三点共线，则， 所以，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D错误； 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确. 故选：BC. 三、填空题 20．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）已知、是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则 . 【答案】 【分析】根据向量共线，可设，利用向量相等的条件求解即可. 【详解】因为与共线，设，即， 所以，故解之可得. 故答案为： 21．（2025高三·全国·专题练习）在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为 . 【答案】/ 【分析】把用表示，然后由三点共线定理得出结论． 【详解】由题意 ， 因为，，三点共线，所以，解得. 故答案为：. 22．（24-25高一上·河北保定·期中）在中，，，，，，若，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】用、作为一组基地表示出、，再由数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以， 则， 又，，，所以， 所以 ， 又，即，解得. 故答案为： 23．（23-24高一下·重庆·阶段练习）设向量、满足，，且、的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由与的数量积小于0且不共线即可求得实数的取值范围. 【详解】解：向量、满足，，且、的夹角为， 故. 因为与向量的夹角为钝角， 所以且向量与向量不共线， 所以且， 解之得：且， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量的运算及平面向量基本定理 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 5 题型一、平面向量线性运算 5 题型二、平面向量共线定理及其推论 6 题型三、平面向量基本定理 8 题型四、平面向量的数量积、模长、夹角、投影向量 9 压轴能力测评（23题） 10 一、向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 二、向量的线性运算 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 注：（1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． （2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． 三、平面向量基本定理和性质 1、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 推论1：若，则． 推论2：若，则． 3、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 4、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 5、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 四、平面向量的坐标表示及坐标运算 1、平面向量的坐标表示 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． 2、向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． 3、设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． 4、设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 5、平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，． ， 五、平面向量的数量积 1、平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 2、平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 六、数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 七、数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①． ②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 八、数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 （当且仅当时等号成立） 【题型一 平面向量线性运算】 一、单选题 1．（23-24高一下·山东·期中）在中，点在边上，，记，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）在四边形中，，，，若，不共线，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 3．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（    ） A．3 B． C． D．2 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题 5．（2024高三·全国·专题练习）在矩形中，已知，，为的中点，且，则 ． 三、解答题 6．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)已知，点，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 【题型二 平面向量共线定理及其推论】 一、单选题 1．（23-24高一下·广东潮州·期末）如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C．2 D． 2．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在平行四边形ABCD中，G为的重心，满足，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（23-24高一下·云南大理·期末）如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（    ）    A． B．1 C． D．2 4．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知为内一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，I是的平分线上一点，且，若内（不包含边界）的一点D满足，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·吉林白山·期末）如图，在梯形中，在线段上，.若，则（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在中，点E为线段上的中点，点F为线段上靠近点C的三等分点，，分别与交于R，T两点．则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·山东临沂·期末）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知是圆上不同的三点，与交于点（点与点不重合），若，则的取值范围是 ． 10．（23-24高一下·河北邢台·期中）在中，分别在边上，且，若，则 ，线段与交于点，则 ． 11．（23-24高一下·北京通州·期末）在正方形中，是边上一点，且，点为的延长线上一点，写出可以使得成立的，的一组数据为 ． 12．（23-24高一下·河北邢台·期末）已知M是所在平面内一点，若，且，设的面积为，的面积为，则 ． 【题型三 平面向量基本定理】 一、单选题 1．（23-24高一下·山东临沂·期末）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一下·吉林白山·期末）如图，在梯形中，在线段上，.若，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，在中，点E为线段上的中点，点F为线段上靠近点C的三等分点，，分别与交于R，T两点．则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高一下·北京通州·期末）在正方形中，是边上一点，且，点为的延长线上一点，写出可以使得成立的，的一组数据为 ． 5．（23-24高一下·河北邢台·期末）已知M是所在平面内一点，若，且，设的面积为，的面积为，则 ． 6．（23-24高一下·河北邢台·期中）在中，分别在边上，且，若，则 ，线段与交于点，则 ． 【题型四 平面向量的数量积、模长、夹角、投影向量】 一、单选题 1．（2024·重庆·模拟预测）已知向量 满足 ，且 ，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）如图，已知等腰中，，点是边上的动点，则的值（    ）    A．为定值 B．不为定值，有最大值 C．为定值 D．不为定值，有最小值 二、多选题 6．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知平面向量，下列说法不正确的有（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 7．（24-25高一上·全国·期中）已知向量，则下列命题正确的是（    ） A．的最大值为 B．若，则 C．若是与垂直的单位向量，则 D．当取得最大值时， 三、填空题 8．（23-24高一下·河北石家庄·期末）在菱形OABC中、O为坐标原点、,则的值为 ． 9．（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知向量（其中）.若与共线，则的最小值为 . 10．（23-24高三下·甘肃张掖·阶段练习）已知向量，且，则实数 . 11．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）已知向量，若与的夹角为锐角，其中，则的取值范围是 ． 12．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，，分别是边，的中点，与交于点，且，则 ；若，，，则 ．    一、单选题 1．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 3．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）设是两个不共线的向量，是在上的投影向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知向量，的夹角为120°，，则（    ） A． B． C．7 D．13 5．（23-24高一下·山东烟台·期中）在边长为2的正三角形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·广西柳州·期中）已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知向量，不共线，且向量，，若与反向，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 8．（24-25高三上·江苏南通·期中）在中，，，，.若，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一下·福建泉州·期中）如图，在平行四边形中，，点E满足，点F满足，且，则（    ） A． B． C． D．9 11．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）如图，在中，点O是BC的中点，，分别连接MO、NO并延长，与边AB的延长线分别交于P，Q两点，若，则（    ）    A．2 B．1 C．－2 D．－1 12．（23-24高一下·江苏徐州·期中）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 13．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（   ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·天津河东·期中）在中，，则为（    ） A．直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰非等边三角形 15．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知□ABCD中，点P在对角线AC上（不包括端点A，C），点Q在对角线BD上（不包括端点B，D），若，，记的最小值为m，的最小值为n，则（    ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 16．（23-24高一下·四川绵阳·期末）如图，在中，点D为的中点，点E为的四等分点（靠近点C），，，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．是在上的投影向量 17．（23-24高一下·河南·期末）已知向量，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为 D．若，则在方向上的投影向量为 18．（24-25高一上·辽宁·期末）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深遂的哲理解释了自然，社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．和不能构成一组基底 19．（23-24高一下·福建漳州·期中）在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C． D．的最小值为 三、填空题 20．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）已知、是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则 . 21．（2025高三·全国·专题练习）在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为 . 22．（24-25高一上·河北保定·期中）在中，，，，，，若，则实数的值为 ． 23．（23-24高一下·重庆·阶段练习）设向量、满足，，且、的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$