预习第06讲 组合10种常见考法归类-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

预习第06讲 组合10种常见考法归类 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解组合及组合数的概念. 2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题． 知识点1、组合 1、定义：一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做个不同元素中取出个元素的一个组合。 2、两个组合相同的条件：两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的。 3、对组合概念的两点说明： （1）组合的特点：组合要求个元素是不同的，被取出的个元素也是不同的，即从个不同元素中进行次不放回地取出； （2）组合的特性：元素是无序的，即取出的个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求。 知识点2、组合数与组合数公式 1、组合数：从个不同元素中取出个元素所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示。 2、组合数公式：（，且） 注：组合数公式的推导： （1）从4个不同元素中取出3个元素的组合数是多少呢？． （2）推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；② 求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：＝． 3、组合数的性质： （1）； （2）； （3）规定 知识点3、排列与组合的相同点与不同点 1、相同点：组合与排列都是“从不同的元素中取出个元素” 2、不同点：组合中要求元素“不管元素的顺序合成一组”，而排雷中要求元素“按照一定的顺序排成一列”，因此区分某一个问题是组合问题还是排列问题，关键是看选出的元素是否与顺序有关，即交换某两个元素的位置对结果没有影响，若有影响，则是排雷问题，若无影响，则是组合问题。 考点一：组合的概念及判断 例1．【多选】下列是组合问题的是（    ） A．平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ B．10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？ C．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？ D．从10个人中选出3个为不同学科的课代表，有多少种选法？ 【变式1-1】下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 【变式1-2】下列问题中，组合问题的个数是（ ） ①从全班50人中选出5人组成班委会； ②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员； ③从1，2，3，…，9中任取出两个数求积； ④从1，2，3，…，9中任取出两个数求差或商. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】从10个不同的非零的数中任取2个数，求其和、差、积、商这四个问题中，属于组合的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-4】下列问题中不是组合问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线 C．集合的含有三个元素的子集有多少个 D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 考点二：简单的组合问题 例2.甲、乙、丙、丁4支篮球队举行单循环赛（即任意两支球队都要比赛一场）. (1)写出每场比赛的两支球队； (2)写出冠亚军的所有可能情况. 【变式2-1】写出从a，b，c这3个元素中，每次取出2个元素的所有组合． 【变式2-2】从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合． 考点三：组合数公式的应用 例3.（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】计算的值是（    ） A．62 B．102 C．152 D．540 【变式3-2】解关于正整数x的方程： (1)； (2)． 【变式3-3】解下列方程： （1）； （2）． 【变式3-4】求证：． 【变式3-5】已知m是自然数，n是正整数，且．求证： (1)； (2)． 考点四：组合数的性质 例4.若，则（    ） A．2 B．8 C．2或8 D．2或4 【变式4-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 考点五：分组分配问题 例5.已知5位教师到4所学校支教，每所学校至少份配1位教师，每位教师只能去一所学校，则分配方案有 种. 【变式5-1】大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱．现有A，B，C，D，E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有 种． 【变式5-2】某社区为了做好疫情防控工作，安排6名志愿者进行核酸检测，需要完成队伍组织､信息录入､采集核酸三项任务，每项任务至少安排一人但至多三人，则不同的安排方法有（ ） A．450种 B．72种 C．90种 D．360种 【变式5-3】某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加A，B，C三个企业的调研工作，每个企业去2人，且甲去B企业，乙不去C企业，则不同的派遣方案共有（ ） A．42种 B．30种 C．24种 D．18种 【变式5-4】某校高三年级进行校际模拟联考，某班级考试科目为语文，数学，英语，物理，化学，生物，已知考试分为三天进行，且数学与物理不得安排在同一天进行，每天至少进行一科考试.则不同的考试安排方案共有（ ） A．720种 B．3168种 C．1296种 D．5040种 【变式5-5】将编号为1，2，3，4的四个小球全部放入甲、乙两个盒子内，若每个盒子不空，则不同的方法总数有 种．（用数字作答） 【变式5-6】为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的方法种数为（    ） A．18 B．150 C．36 D．54 【变式5-7】6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种方法? (1)分给甲、乙、丙三人，每人2本； (2)分为三份，每份2本； (3)分为三份，一份1本，一份2本，一份3本； (4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本. 考点六：与几何有关的组合应用题 例6.已知正方形ABCD的中心为点O，以A、B、C、D、O中三个点为顶点的三角形共有 个. 【变式6-1】在如图所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P在同一平面内，则不同的取法种数为 .（用数字作答） 【变式6-2】以三棱柱的顶点为顶点的四棱锥的个数是 ． 【变式6-3】在如图所示的三角形边上的9个点中任取3个，可构成三角形的个数是 . 考点七：隔板法的应用 例7.个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学（每人至少分得一个），不同分法的总数为 ． 【变式7-1】学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（ ）种分配方案. A． B． C． D． 【变式7-2】各数位数字之和等于8(数字可以重复) 的四位数个数为_____． 【变式7-3】用0~9十个数字排成三位数，允许数字重复，把个位､十位､百位的数字之和等于9的三位数称为“长久数”，则“长久数”一共有 个． 【变式7-4】已知关于的三元一次方程，且，则该方程有__________组正整数解. 【变式7-5】试求不定方程的非负整数解的组数． 【变式7-6】将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中． (1)若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？ (2)若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？ (3)若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？ 考点八：多面手问题 例8.有8名学生，其中2名学生会下象棋但不会下围棋，3名学生会下围棋但不会下象棋，3名学生既会下象棋又会下围棋.现从这8名学生中选出2名学生，其中一名学生参加象棋比赛，另一名学生参加围棋比赛，则不同的选派方法有（ ） A．18 B．24 C．27 D．30 【变式8-1】“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）． A．26种 B．31种 C．36种 D．37种 【变式8-2】某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法． 考点九：实际问题中的组合计数问题 例9.某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个学生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，则额外获得2分． (1)求学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数； (2)求学生乙最终获得分的不同的抽法种数． 【变式9-1】在100件产品中有90件一等品、10件二等品，从中随机抽取4件产品． (1)求恰好含1件二等品的概率； (2)求至少含有1件二等品的概率．（以上结果均精确到0.01） 考点十：代数中的组合计数问题 例10.用1、2、3、4、5组成没有重复数字的三位数，从中随机地取一个，求取到的数为奇数的概率． 【变式10-1】已知集合. (1)从中取出个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？ (2)从集合中取出个元素，从集合中取出个元素，可以组成多少个无重复数字且比大的正整数？ 【变式10-2】已知三个条件：①偶数；②能被5整除的数；③比7630大的数．从这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题． 问题：用0～9这10个数字组成无重复数字的四位数，求其中____________的个数． 一、单选题 1．（23-24高二下·河南·期中）若，则（   ） A．5 B．20 C．60 D．120 2．（2024高三·全国·专题练习）在学校运动会期间，学校安排甲、乙、丙、丁四名体育教师到三个比赛场地做比赛安全指导工作，且每个场地至少安排一人，则甲不安排在C场地，乙安排在A场地的不同安排方法种数为（    ） A． B．10 C．12 D．24 3．（24-25高二上·吉林·期末）2025年的寒假就要到了，甲、乙、丙、丁四个同学都计划去旅游，除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，延边打卡也火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个同学恰好选择三个城市旅游的方法种数共有（   ） A．1800 B．1080 C．720 D．360 4．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）5名毕业生分别从4家公司中选择一家实习，不同选法的种数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了40枚金牌的辉煌成绩.某视频自媒体平台选出关注度比较高的等10名金牌获得者，再从中选出6名，准备连续6天分别向观众介绍，且每天只介绍1名，则必须介绍且在前3天介绍，至少选2名进行介绍的所有方法种数为（    ） A．720 B．1680 C．4320 D．5040 6．（24-25高三上·河北邢台·期末）运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（   ） A．72 B．96 C．114 D．124 7．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）据典籍《周礼•春官》记载，“宫､商､角､徵､羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是（    ） A．50 B．64 C．66 D．78 8．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（    ） A．1280 B．300 C．1880 D．1560 9．（24-25高二上·广西·期末）甲，乙，丙3名学生约定：利用假期观看A，B，C，D，E这5部新上映的电影，待返校后互相分享精彩内容.返校后，已知5部电影都有人观看，且每部电影只有一个人观看，则所有观看电影的情况种数为（    ） A．150 B．243 C．183 D．393 10．（24-25高二上·辽宁·期末）《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（    ） A．48种 B．96种 C．102种 D．120种 11．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（   ） A．120 B．300 C．180 D．150 12．（24-25高二上·黑龙江·期末）今年暑期档推出多部精彩影片，其中比较热门的有《解密》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《死侍与金刚狼》，甲和乙两位同学准备从这5部影片中各选2部观看.若两人所选的影片恰有一部相同，且甲一定选《抓娃娃》，则两位同学不同的观影方案种数为（   ） A．24 B．28 C．36 D．12 13．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（   ） A．24种 B．30种 C．36种 D．42种 14．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）在以“旅行丝绸路，研学在甘肃”为主题的甘肃研学旅行大会活动中，某学校有10名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班3人，每人每天最多值一班，则第一天不同的排班种数为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高三上·湖北武汉·期末）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 16．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）五一小长假期间，旅游公司决定从5辆旅游大巴中选出4辆分别开往紫蒙湖､美林谷､黄岗梁､乌兰布统四个学区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这5辆大巴中不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（    ） A．36 B．96 C．72 D．68 二、多选题 17．（2024·四川眉山·一模）甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（    ） A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜 C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D．甲、乙两人从1到8这8个整数中各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 18．（24-25高三上·吉林白城·阶段练习）现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同安排方案的种数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 C．若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 D．若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为 19．（24-25高二上·福建龙岩·期中）传承红色文化，宣扬爱国精神，湖洋中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等7名同学加入方阵参加训练，则下列说法正确的是（   ） A．7名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为840 B．7名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为720 C．7名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480 D．7名同学分成三组（每组至少有两人），进行三种不同的训练，则有630种不同的训练方法 20．（24-25高二上·四川眉山·期中）现有个编号为的盒子和个编号为的小球，要求把个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（     ） A．没有空盒子的方法共有种 B．有空盒子的方法共有种 C．恰有个盒子不放球的方法共有种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有种 21．（24-25高二上·河南·期中）用、、、、这五个数字组成无重复数字的三位数，则（    ） A．可以组成个三位数 B．在组成的三位数中，各位数字之和为的个数为 C．在组成的三位数中，比大的个数为 D．在组成的三位数中，百位上的数字最小的个数为 22．（24-25高二上·辽宁·期末）现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，则下列说法正确的是（   ） A．4个男学生排在一起，有1440种不同的排法 B．老师站在最中间，有1440种不同的排法 C．4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端，有1728种不同的排法 D．2名老师之间要有男女学生各1人，有3840种不同的排法 三、填空题 23．（24-25高三上·四川内江·阶段练习）加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，东兴区心理协会派遣具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有 种. 24．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为 ． 25．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）已知某圆上的10个不同的点，过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形. 26．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）将4本不同的课外读物全部分给3个同学，每个同学至少分得一本，则不同的分配方法共有 种（用数字作答） 27．（24-25高二上·黑龙江·期末）2025年“第九届亚冬会”即将在哈尔滨举办.现需要分配4名志愿者对2种不同的体育运动进行宣讲，每个宣讲至少分配1人，则不同的分配方案种数为 . 28．（24-25高三上·天津和平·期末）在杭州亚运会比赛中，6名志愿者被安排到安检、引导运动员入场、赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则合适的安排方案共有 种.（用数字作答） 29．（24-25高三上·广西·期末）数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制，五进制.五进制是“逢五进一”的进制，由数字0，1，2，3，4来表示数值，例如五进制数324转化成十进制数为.若由数字1，2，3，4组成的五位五进制数，要求1，2，3，4每个数字都要出现，例如12334，则不同的五位五进制数共有 个.若从由数字2，3，4（可重复）组成的三位五进制数中随机取1个，则该数对应的十进制数能被3整除的概率为 . 30．（24-25高三上·江苏·阶段练习）某校高三1班10名同学、高三2班20名同学、高三3班10名同学参加“强国有我”演讲比赛，采用随机抽签的方式确定出场顺序，每位同学依次出场，记“高三1班全部学生完成比赛后，高三2班和高三3班都有学生尚未完成比赛”为事件A，则事件A发生的概率为 . 四、解答题 31．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？ (1)7人站成一排，要求较高的3个学生站在一起； (2)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减. 32．（23-24高二下·山西临汾·期中）（1）解方程: （2）计算 （3）解不等式. 33．（24-25高二上·甘肃武威·期中）（1）计算： ； （2） 若 ，则x的值为_____； （3） 若 ，求正整数n． 34．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻； (2)2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧； (3)2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习第06讲 组合10种常见考法归类 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解组合及组合数的概念. 2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题． 知识点1、组合 1、定义：一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做个不同元素中取出个元素的一个组合。 2、两个组合相同的条件：两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的。 3、对组合概念的两点说明： （1）组合的特点：组合要求个元素是不同的，被取出的个元素也是不同的，即从个不同元素中进行次不放回地取出； （2）组合的特性：元素是无序的，即取出的个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求。 知识点2、组合数与组合数公式 1、组合数：从个不同元素中取出个元素所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示。 2、组合数公式：（，且） 注：组合数公式的推导： （1）从4个不同元素中取出3个元素的组合数是多少呢？． （2）推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；② 求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：＝． 3、组合数的性质： （1）； （2）； （3）规定 知识点3、排列与组合的相同点与不同点 1、相同点：组合与排列都是“从不同的元素中取出个元素” 2、不同点：组合中要求元素“不管元素的顺序合成一组”，而排雷中要求元素“按照一定的顺序排成一列”，因此区分某一个问题是组合问题还是排列问题，关键是看选出的元素是否与顺序有关，即交换某两个元素的位置对结果没有影响，若有影响，则是排雷问题，若无影响，则是组合问题。 考点一：组合的概念及判断 例1．【多选】下列是组合问题的是（    ） A．平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ B．10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？ C．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？ D．从10个人中选出3个为不同学科的课代表，有多少种选法？ 【答案】ABC 【解析】A是组合问题，因为两点确定一条直线，与点的顺序无关； B是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别； C是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别； D是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的． 故选:ABC． 【变式1-1】下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 【答案】C 【分析】根据组合的定义逐项判断可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作， 将人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于B选项，从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数， 选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位， 与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于C选项，从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出， 与顺序无关，这个问题为组合问题； 对于D选项，从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长， 将人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题. 故选：C. 【变式1-2】下列问题中，组合问题的个数是（ ） ①从全班50人中选出5人组成班委会； ②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员； ③从1，2，3，…，9中任取出两个数求积； ④从1，2，3，…，9中任取出两个数求差或商. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，从50人中选出5人组成班委会，不考虑顺序是组合问题.②为排列问题. 对于③，从1，2，3，…，9中任取两个数求积是组合问题. 因为乘法满足交换律，而减法和除法不满足，故④为排列问题. 所以组合问题的个数是2个.故选：B. 【变式1-3】从10个不同的非零的数中任取2个数，求其和、差、积、商这四个问题中，属于组合的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】因为减法和除法运算中交换两个数的位置对计算结果有影响， 而加法和乘法运算满足交换律，交换两个数的位置对计算结果没有影响. 所以属于组合的有加法和乘法，共2个.故选：B 【变式1-4】下列问题中不是组合问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线 C．集合的含有三个元素的子集有多少个 D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 【答案】D 【解析】因为两人握手没有顺序之分，所以选项A问题是组合问题； 因为两点组成直线没有顺序之分，所以选项B问题是组合问题； 因为集合元素具有无序性，所以选项C问题是组合问题； 因为这2名学生参加的节目有顺序之分，所以选项D问题不是组合问题， 故选：D 考点二：简单的组合问题 例2.甲、乙、丙、丁4支篮球队举行单循环赛（即任意两支球队都要比赛一场）. (1)写出每场比赛的两支球队； (2)写出冠亚军的所有可能情况. 【解析】（1）这是一个组合问题，将两支球队的组合用一个集合表示，共有6个组合： {甲，乙}、{甲，丙}、{甲，丁}、{乙，丙}、{乙，丁}、{丙，丁}. （2）这是一个排列问题，即从4支球队中任意选取2支，按照冠军和亚军顺序排列，共有12种排列方式 （符号（甲，乙）表示“甲是冠军，乙是亚军”）： （甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，丁）、 （乙，甲）、（丙，甲）、（丁，甲）、（丙，乙）、（丁，乙）、（丁，丙）. 【变式2-1】写出从a，b，c这3个元素中，每次取出2个元素的所有组合． 【解析】可按顺序写出， 所以所有组合为. 【变式2-2】从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合． 【解析】 先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来，如图所示： 由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10种． 考点三：组合数公式的应用 例3.（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意， .故选：B． 【变式3-1】计算的值是（    ） A．62 B．102 C．152 D．540 【答案】A 【分析】利用组合和排列数公式计算 【详解】 故选：A 【变式3-2】解关于正整数x的方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）（2）根据组合数的性质以及公式即可求解. 【详解】（1）x为正整数， 由可得或， 故或，解得或或或（舍去）， 又均为整数，且， 所以或符合要求，不符合要求， 故或 （2）由组合数的性质可得， 所以由可得，进而可得， 解得或（舍去）， 由于，所以，故只取，舍去， 【变式3-3】解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为，所以， 整理得， 所以，所以． （2）因为，所以，所以， 即． 因为，，所以． 【变式3-4】求证：． 【解析】由组合数公式可知， 等式成立. 【变式3-5】已知m是自然数，n是正整数，且．求证： (1)； (2)． 【解析】（1）根据组合数公式，可以得到． （2）根据组合数公式，可以得到 ． 考点四：组合数的性质 例4.若，则（    ） A．2 B．8 C．2或8 D．2或4 【答案】A 【解析】由组合数的性质可得，解得， 又，所以或， 解得或（舍去）. 故选：A. 【变式4-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由组合数性质知，， 所以， 所以，得. 故选：A. 考点五：分组分配问题 例5.已知5位教师到4所学校支教，每所学校至少份配1位教师，每位教师只能去一所学校，则分配方案有 种. 【答案】 【解析】由题意可知，5位教师的分组情况为2，1,1,1的分组，再分配到4所学校， 所以分配方案有. 故答案为：240 【变式5-1】大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱．现有A，B，C，D，E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有 种． 【答案】84 【解析】去生物且生物只去一人：种， 去生物且生物只去两人：种， 去影视且生物只去一人：种， 去影视且生物只去两人：种， 一共种， 故答案为：84 【变式5-2】某社区为了做好疫情防控工作，安排6名志愿者进行核酸检测，需要完成队伍组织､信息录入､采集核酸三项任务，每项任务至少安排一人但至多三人，则不同的安排方法有（ ） A．450种 B．72种 C．90种 D．360种 【答案】A 【解析】6名志愿者分成三组，每组至少一人至多三人， 可分两种情况考虑： 第一种：人数为的三组，共有种； 第二种：人数为的三组，共有种. 所以不同的安排方法共有种，故选：. 【变式5-3】某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加A，B，C三个企业的调研工作，每个企业去2人，且甲去B企业，乙不去C企业，则不同的派遣方案共有（ ） A．42种 B．30种 C．24种 D．18种 【答案】D 【解析】若甲乙去同一企业，则甲乙只能去B企业，剩下的4人平均分去两个企业， 共有种； 若甲乙不去同一企业，分两步，第一步：先给甲乙两人选同伴，有种， 第二步：将这三组分去三个企业，因为甲去B企业，乙不去C企业， 所以共有1种分法，由分步乘法计数原理可得：共有种； 所以不同的派遣方案共有种，故选：. 【变式5-4】某校高三年级进行校际模拟联考，某班级考试科目为语文，数学，英语，物理，化学，生物，已知考试分为三天进行，且数学与物理不得安排在同一天进行，每天至少进行一科考试.则不同的考试安排方案共有（ ） A．720种 B．3168种 C．1296种 D．5040种 【答案】D 【解析】若三天考试科目数量为，则安排方法数为：. 若三天考试科目数量为，则安排方法数为： ， 若三天考试科目数量为，则安排方法数为：， 所以不同的考试安排方案共有种.故选：D 【变式5-5】将编号为1，2，3，4的四个小球全部放入甲、乙两个盒子内，若每个盒子不空，则不同的方法总数有 种．（用数字作答） 【答案】 【解析】若一个盒子中放个球，另一个盒子中放个球有种放法， 若两个盒子中均放个球，则有种放法， 综上可得一共有种放法. 故答案为： 【变式5-6】为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的方法种数为（    ） A．18 B．150 C．36 D．54 【答案】C 【分析】按照两位女教师分派到同一个地方时，男老师也分配到该地方的人数为标准进行分类讨论，进而即得． 【详解】五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人， 分派方案可按人数分为3，1，1或2，2，1两种情况， 根据题意两位女教师分派到同一个地方，分派方案可分为两种情况： 若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有：种方法； 若两位女教师分配到同一个地方，且该地方有一位男老师，则有：种方法； 故共有：36种分派方法， 故选：． 【变式5-7】6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种方法? (1)分给甲、乙、丙三人，每人2本； (2)分为三份，每份2本； (3)分为三份，一份1本，一份2本，一份3本； (4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据定向分配的原理和分步乘法原理计算； （2）根据均匀分组的原理计算； （3）根据不均匀分组的原理计算； （4）在上一问的基础上的结果乘以全排列即可 【详解】（1）先从本书中选本给甲，有种选法，再从其余本中选本给乙，有种选法， 最后从余下的本书中选本给丙，有种选法.所以分给甲、乙、丙三人，每人本， 根据分步乘法原理，共有(种)方法. （2）可以分两步完成： 第步，将本书分为三份，每份本，设有种方法； 第步，将上面三份分给甲、乙、丙三名同学有种方法. 根据（1）的结论和分步乘法计数原理得到，所以. 因此分为三份，每份本，一共有种方法. （3）对于“不均匀分组”问题，类似按照（1）的方法得到一共有(种)方法； （4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有(种)方法. 考点六：与几何有关的组合应用题 例6.已知正方形ABCD的中心为点O，以A、B、C、D、O中三个点为顶点的三角形共有 个. 【答案】8 【解析】根据题意，如图： 在A、B、C、D、O中，任取3个点，有种取法， 其中不能构成三角形的有AOC和BOD两种取法， 则以A、B、C、D、O中三个点为顶点的三角形共有个． 故答案为：8． 【变式6-1】在如图所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P在同一平面内，则不同的取法种数为 .（用数字作答） 【答案】56 【解析】求不同的取法种数可分为三类： 第一类，从四棱锥的每个侧面上除点P外的5点中任取3点，有4种取法； 第二类，从每个对角面上除点P外的4点中任取3点，有2种取法； 第三类，过点P的侧棱中，每一条上的三点和与这条棱成异面直线的底面棱的中点也共面，有4种取法， 所以满足题意的不同取法共有4+2+4=56种. 故答案为：56 【变式6-2】以三棱柱的顶点为顶点的四棱锥的个数是 ． 【答案】6 【解析】由题意可得：四棱锥的顶点为三棱柱的顶点，底面为三棱柱的侧面且与该顶点不共面， 所以四棱锥的个数是. 故答案为：6. 【变式6-3】在如图所示的三角形边上的9个点中任取3个，可构成三角形的个数是 . 【答案】69 【解析】从9个点中任取3个的全部组合数为， 三角形三个边上三点共线的组合数为， 所以能构成三角形的个数为. 故答案为：. 考点七：隔板法的应用 例7.个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学（每人至少分得一个），不同分法的总数为 ． 【答案】 【解析】问题等价于：在个相同的篮球中间形成的个空位中插入两块板， 所以，不同的分法种数为种. 故答案为：. 【变式7-1】学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（ ）种分配方案. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】问题等价于将个完全相同的小球，放入个不同的盒子，每个盒子至少个球， 由隔板法可知，不同的分配方案种数为.故选：C. 【变式7-2】各数位数字之和等于8(数字可以重复) 的四位数个数为_____． 【答案】120 【解析】设对应个位到千位上的数字，则，且， 相当于将3个表示0的球与8个表示1的球排成一排， 即10个空用3个隔板将其分开，故共种. 【变式7-3】用0~9十个数字排成三位数，允许数字重复，把个位､十位､百位的数字之和等于9的三位数称为“长久数”，则“长久数”一共有 个． 【答案】 【解析】设对应个位到百位上的数字，则且，相当于将9个表示1的球与2个表示0的球排成一排，如图， 这11个数有10个空，用2个隔板隔开分为3组，左起第一组数的和作为，第二组数的和作为，第三组数的和作为， 故共种， 故答案为：45． 【变式7-4】已知关于的三元一次方程，且，则该方程有__________组正整数解. 【答案】 【解析】方程，且的正整数解的组数等价于 将个相同小球分成三组而每组至少有一个小球的分法总数 则所求的正整数解的组数有 【变式7-5】试求不定方程的非负整数解的组数． 【答案】． 【分析】根据设，根据原不定方程解的组数与方程的解的组数相同设有个1，将它们排成一排，每两个之间有1个间隙，共有个间隙，用划竖线的方法将这个1分成m段，每段内1的个数即为一组，，…，，它是方程的一组正整数解，据此即可求解. 【详解】由于，所以令，则， 原不定方程解的组数与方程的解的组数相同， 设想有个1，将它们排成一排，每两个之间有1个间隙， 共有个间隙，用划竖线的方法将这个1分成m段， 每段内1的个数即为一组，，…，， 它是方程的一组正整数解， 由于划竖线的方法数为， 故原不定方程非负整数解的组数为． 【变式7-6】将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中． (1)若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？ (2)若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？ (3)若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？ 【答案】(1)3876 ； (2)； (3)126 ． 【分析】（1）由隔板法知，在19个空隙中放4个板子；（2）在24个空隙中放4个板子；（3）先在1，2，3，4，5的五个盒子中依次放入0，1，2，3，4个球，再将剩余的10个球利用隔板法分为5份. 【详解】（1）把20个球摆好，在中间19个空隙中选择放4个板子，所以一共有种； （2）由题意可知，可以出现空盒子，所以把20个球和5个虚拟的球摆好，在中间24个空隙中选择放4个板子，所以一共有种； （3）先在编号为1，2，3，4，5的五个盒子中依次放入0，1，2，3，4个球，再只要保证余下的10个球每个盒子至少放一个，把10个球摆好，在中间9个空隙中选择放4个板子，所以一共有种. 考点八：多面手问题 例8.有8名学生，其中2名学生会下象棋但不会下围棋，3名学生会下围棋但不会下象棋，3名学生既会下象棋又会下围棋.现从这8名学生中选出2名学生，其中一名学生参加象棋比赛，另一名学生参加围棋比赛，则不同的选派方法有（ ） A．18 B．24 C．27 D．30 【答案】C 【解析】3名学生既会下象棋又会下围棋的学生中选取人时，方法数有种. 3名学生既会下象棋又会下围棋的学生中选取人时，方法数种. 3名学生既会下象棋又会下围棋的学生中选取人时方法数种. 故总的方法数有种.故选：C 【变式8-1】“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）． A．26种 B．31种 C．36种 D．37种 【答案】D 【解析】根据题意，设只会划左桨的人，只会划右桨的人， 既会划左桨又会划右桨的人， 据此分3种情况讨论： ①从中选3人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法； ②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取， 有种选法； ③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法， 则有种不同的选法.故选：D． 【变式8-2】某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法． 【答案】37 【解析】首先分类的标准要正确， 可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下 面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类： 第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法； 只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法． 第二类：2人中被选出一人，有2种选法． 若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法 只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法； 若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法， 从会排版的3人中选2人，有3种选法， 由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法； 再由分类计数原理知共有6+12=18种选法． 第三类：2人全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法． 考点九：实际问题中的组合计数问题 例9.某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个学生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，则额外获得2分． (1)求学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数； (2)求学生乙最终获得分的不同的抽法种数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据组合数的知识求得正确答案. （2）根据分的组合情况进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】（1）学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数为种. （2）学生乙最终获得分，有两种情况： ①，抽到张“龙”卡以及其它任意张卡，方法数有种. ②，抽到抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，方法数有种. 所以学生乙最终获得分的不同的抽法种数为种. 【变式9-1】在100件产品中有90件一等品、10件二等品，从中随机抽取4件产品． (1)求恰好含1件二等品的概率； (2)求至少含有1件二等品的概率．（以上结果均精确到0.01） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用古典概型即可求得恰好含1件二等品的概率； （2）利用对立事件和古典概型即可求得至少含有1件二等品的概率． 【详解】（1）从这100件产品中随机抽取4件产品，所有的基本事件的个数为． 将“恰好含1件二等品”的事件记为A． 由乘法原理和加法原理，易知A所包含的基本事件有个， 所以事件A的概率是． （2）将“至少含有1件二等品”的事件记为B． B的对立事件为“4件产品全是一等品”， 而所包含的基本事件有个，所以， 从而事件B的概率． 考点十：代数中的组合计数问题 例10.用1、2、3、4、5组成没有重复数字的三位数，从中随机地取一个，求取到的数为奇数的概率． 【答案】 【分析】应用排列、组合数求出所有三位数个数及其中奇数的个数，由古典概型的概率求法求概率. 【详解】任取三个数字组成三位数有种， 其中三位数为奇数有种， 所以取到的数为奇数的概率为. 【变式10-1】已知集合. (1)从中取出个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？ (2)从集合中取出个元素，从集合中取出个元素，可以组成多少个无重复数字且比大的正整数？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得以及，然后根据排列数的知识求得正确答案. （2）根据取出的元素是否包含进行分类讨论，结合排列、组合的知识求得正确答案. 【详解】（1）由，得， 所以，所以，所以， 从中取出个不同的元素组成三位数， 可以组成个三位数. （2）由（1）得，而， 若从集合中取元素，则不能作千位上的数字， 有个满足题意的正整数； 若不从集合中取元素，则有个满足题意的自然数. 所以，满足题意的自然数的个数共有. 【变式10-2】已知三个条件：①偶数；②能被5整除的数；③比7630大的数．从这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题． 问题：用0～9这10个数字组成无重复数字的四位数，求其中____________的个数． 【答案】答案见解析 【分析】若选①，个位分0或其它偶数两组情况分别求解；若选②，分个位是0或5两种情况求解；若选③，千位分为7，8，9，再利用分步和分类原理，即可求解. 【详解】选①：若个位是0，有个． 若个位是2，4，6，8，有个． 共个． 选②：若个位是0，有个． 若个位是5，有个． 共个． 选③：若千位是8，9，有个． 若千位是7，百位是8，9，有个． 若千位是7，百位是6，有． 共个． 一、单选题 1．（23-24高二下·河南·期中）若，则（   ） A．5 B．20 C．60 D．120 【答案】D 【分析】根据组合数的性质求出，再根据排列数公式计算可得. 【详解】因为，所以或， 解得（舍去）或， 所以. 故选：D 2．（2024高三·全国·专题练习）在学校运动会期间，学校安排甲、乙、丙、丁四名体育教师到三个比赛场地做比赛安全指导工作，且每个场地至少安排一人，则甲不安排在C场地，乙安排在A场地的不同安排方法种数为（    ） A． B．10 C．12 D．24 【答案】A 【分析】根据题意，分甲安排在场地与甲安排在B场地计算，再由分类加法计数原理代入计算，即可得到结果. 【详解】因为甲不安排在C场地，乙安排在A场地， 所以甲有两种安排方案： 若甲安排在场地，此时乙也在场地， 剩下丙，丁两人安排去场地，则有种不同的安排方法； 若甲安排在B场地，此时乙在场地， 若场地安排两人，则有种安排方法； 若场地安排一人，从丙丁中选一人，有种安排方法， 另外一人去场地，有种安排方法， 由分步乘法计数原理可得，有种安排方法； 由分类加法计数原理可知，共有（种）不同的安排方法． 故选：A． 3．（24-25高二上·吉林·期末）2025年的寒假就要到了，甲、乙、丙、丁四个同学都计划去旅游，除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，延边打卡也火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个同学恰好选择三个城市旅游的方法种数共有（   ） A．1800 B．1080 C．720 D．360 【答案】C 【分析】先求出恰有个同学所选的旅游地相同，再应用分步计数及排列、组合数求得结果. 【详解】第一步，先选恰有个同学所选的旅游地相同，有种； 第二步，从个旅游地中选出个排序，有种， 根据分步计数原理可得，方法有种. 故选：C 4．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）5名毕业生分别从4家公司中选择一家实习，不同选法的种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式即可. 【详解】每个毕业生都有4种不同选法，所以不同选法的种数为. 故选：D 5．（2025高三·全国·专题练习）中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了40枚金牌的辉煌成绩.某视频自媒体平台选出关注度比较高的等10名金牌获得者，再从中选出6名，准备连续6天分别向观众介绍，且每天只介绍1名，则必须介绍且在前3天介绍，至少选2名进行介绍的所有方法种数为（    ） A．720 B．1680 C．4320 D．5040 【答案】D 【分析】根据题意，先考虑除外剩下的4名金牌获得者的选取情况分两种和，再利用排列运算求解. 【详解】由题可得选中的6名金牌获得者中必须有，且至少有2名被选中， 则除外剩下的4名金牌获得者的选取情况种数为， 又必须在前3天介绍，所以符合条件的方法种数为. 故选：D. 6．（24-25高三上·河北邢台·期末）运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（   ） A．72 B．96 C．114 D．124 【答案】C 【分析】根据题意，先将5人分为三组并分配到各个场地，再计算得出甲乙不在同一个场地的情况即可求解. 【详解】将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 故不同的安排方法共有种. 故答案为：C. 7．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）据典籍《周礼•春官》记载，“宫､商､角､徵､羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是（    ） A．50 B．64 C．66 D．78 【答案】A 【分析】以“宫”的顺序将音阶排序分为四类，再考虑“商”“角”顺序，运用排列组合知识可得答案. 【详解】①若“宫”为首音阶，“商”“角”可取音阶， 排成的音序有种； ②若“宫”为第2音阶，“商”“角”可取音阶， 排成的音序有种； ③若“宫”为第3音阶，“商”“角”可取14，15，24，25音阶， 排成的音序有种； ④若“宫”为第4音阶，“商”“角”可取13，15，25，35音阶， 排成的音序有种. 由分类加法计数原理可知，一共有种排法. 故选：A. 8．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（    ） A．1280 B．300 C．1880 D．1560 【答案】D 【分析】利用先分组再分配的思想结合排列组合的知识求解. 【详解】将6名导游分成四组，各组人数分别为1，1，1，3或1，1，2，2． 当各组人数为1，1，1，3时，共有种安排方法； 当各组人数为1，1，2，2时，共有种安排方法． 故不同安排方法有种． 故选：D. 9．（24-25高二上·广西·期末）甲，乙，丙3名学生约定：利用假期观看A，B，C，D，E这5部新上映的电影，待返校后互相分享精彩内容.返校后，已知5部电影都有人观看，且每部电影只有一个人观看，则所有观看电影的情况种数为（    ） A．150 B．243 C．183 D．393 【答案】B 【分析】根据甲，乙，丙3名学生观看电影分1人观看5部电影，2人观看5部电影，3人观看5部电影，利用分类加法计数即可解答. 【详解】分三类，第一类：1个人观看5部电影有3种情况； 第二类：2个人观看5部电影有种情况； 第三类：3个人观看5部电影有种情况； 所以共有：种情况. 故选：B. 10．（24-25高二上·辽宁·期末）《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（    ） A．48种 B．96种 C．102种 D．120种 【答案】B 【分析】设图中的六个区域分别为，按照是否同色，分两类，再结合分步乘法计数原理运算求解. 【详解】如图，设图中的六个区域分别为， 按照是否同色，分两类： ①不同色，先给涂色，有，再根据是否用余下那种颜色分两种情况， 不用第三种颜色，即用的颜色，用的颜色，有种，有种，则有种涂法； 用第三种颜色，即用第三种颜色，用的颜色，有种，有种， 或用第三种颜色， 用的颜色，则有种涂法， 所以不同色的涂法有：， ②同色，先给涂色，有，则只能用第三种颜色，有种，有种， 所以同色的涂法有：， 综上，不同的涂色方法有：种. 故选：B. 11．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（   ） A．120 B．300 C．180 D．150 【答案】D 【分析】将5名党员按或分组，再安排到3个社区列式计算得解. 【详解】将5名党员志愿者分成三组，各组人数分别为1，1，3或1，2，2． 当各组人数为1，1，3时，共有种安排方法； 当各组人数为1，2，2时，共有种安排方法． 所以不同的安排方法有种． 故选：D 12．（24-25高二上·黑龙江·期末）今年暑期档推出多部精彩影片，其中比较热门的有《解密》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《死侍与金刚狼》，甲和乙两位同学准备从这5部影片中各选2部观看.若两人所选的影片恰有一部相同，且甲一定选《抓娃娃》，则两位同学不同的观影方案种数为（   ） A．24 B．28 C．36 D．12 【答案】A 【分析】分两种情况，两人所选影片中，《抓娃娃》相同，不是《抓娃娃》相同，分别计算出相应的方案数，相加即可. 【详解】若两人所选影片中，《抓娃娃》相同，则两人从剩余4部中各选1部，有种方案， 若两人所选影片中，不是《抓娃娃》相同，相同的影片为4部中1部，有种选择， 再给乙从剩余3部中选择一部，有种选择，故共有种方案， 综上，共有种方案. 故选：A. 13．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（   ） A．24种 B．30种 C．36种 D．42种 【答案】B 【分析】分类考虑，甲乙有可能各自参加一个足球场或者甲乙有一人和别人一起参加志愿服务，分别求出分配方案的种数，相加即得答案. 【详解】由题意甲、乙不能安排在同一足球场中，故甲、乙各自参加一个足球场的服务时，共有种分配方案， 当甲或乙有一人和丙丁中的一人一起参加一个足球场的服务时，有种分配方案， 故不同的分配方案共有种， 故选：B 14．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）在以“旅行丝绸路，研学在甘肃”为主题的甘肃研学旅行大会活动中，某学校有10名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班3人，每人每天最多值一班，则第一天不同的排班种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先从10人中选出3人上早班，从剩下的7人中选出3人上中班，再从剩下的4人中选出3人上中班，即可得到答案. 【详解】首先从10人中选出3人上早班，共有种， 从剩下的7人中选出3人上中班，共有种， 再从剩下的4人中选出3人上晚班，共有种， 共有种. 也可以先从10人中选出9人，共有种， 再从9人中选出3人上早班，共有种， 从剩下的6人中选出3人上中班，共有种， 其余3人上晚班，则共有种排法. 故选：D 15．（24-25高三上·湖北武汉·期末）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】在甲单独参加某项比赛条件下，结合分堆问题的处理方法及分步乘法计数原理求满足条件的方法数，再在甲不单独参加某项比赛条件下，.由分步乘法计数原理及排列知识求满足条件的方法数，最后利用分类加法原理求结论. 【详解】满足条件的报名方法可分为两类： 第一类：甲单独参加某项比赛， 先安排甲，由于甲不能参加跳远，故甲的安排方法有种， 再将余下人，安排到与下的三个项目， 由于每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名， 故满足条件的报名方法有, 所以甲单独参加某项比赛的报名方法有种， 第二类：甲与其他一人一起参加某项比赛， 先选一人与甲一起，再将两人安排至某一项目，有种方法， 再安排余下三人，有种方法， 所以甲不单独参加某项比赛的报名方法有种， 所以满足条件的不同的报名方法共有种方法. 故选：C. 16．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）五一小长假期间，旅游公司决定从5辆旅游大巴中选出4辆分别开往紫蒙湖､美林谷､黄岗梁､乌兰布统四个学区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这5辆大巴中不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（    ） A．36 B．96 C．72 D．68 【答案】C 【分析】分两类为都被选出、被选出一辆，再应用分步计数及排列组合数求两类对应方案数，即可得答案. 【详解】若都被选出，把安排到紫蒙湖、美林谷、黄岗梁中的2个有种， 从中选出2辆有种，安排到剩下的2个景区有种， 所以共有种； 若被选出一辆有种，安排到紫蒙湖、美林谷、黄岗梁中的1个有种， 再把安排到剩下的3个景区有种， 所以共有种； 综上，共有72种. 故选：C 二、多选题 17．（2024·四川眉山·一模）甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（    ） A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜 C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D．甲、乙两人从1到8这8个整数中各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 【答案】ACD 【分析】求出每一个选项的情况下，甲胜和乙胜的概率即可判断得解. 【详解】对于A，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的，故A正确； 对于B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜， 所以甲胜的概率小，所以游戏不公平，故B错误； 对于C，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的，故C正确； 对于D，甲胜的概率是，乙胜的概率是，所以游戏是公平的，故D正确. 故选：ACD 18．（24-25高三上·吉林白城·阶段练习）现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同安排方案的种数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 C．若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 D．若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为 【答案】BD 【分析】根据分步计数原理可判断A；先分组，然后再分配可判断BCD. 【详解】对A，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则不同安排方案的种数为，故A错误； 对B，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作， 则不同安排方案的种数为，故B正确； 对C，先将5人分为3组，有种分组方法， 将分好的三组安排翻译､导游､礼仪三项工作，有种情况， 则不同安排方案的种数是，故C错误； 对D，第一类，先从乙，丙，丁，戊中选出1人从事司机工作，再将剩下的4人分成三组， 安排翻译､导游､礼仪三项工作，则不同安排方案的种数为； 第二类，先从乙，丙，丁，戊中选出2人从事司机工作， 再将剩下的3人安排翻译、导游、礼仪三项工作， 则不同安排方案的种数为.所以不同安排方案的种数是，故D正确. 故选：BD. 19．（24-25高二上·福建龙岩·期中）传承红色文化，宣扬爱国精神，湖洋中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等7名同学加入方阵参加训练，则下列说法正确的是（   ） A．7名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为840 B．7名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为720 C．7名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480 D．7名同学分成三组（每组至少有两人），进行三种不同的训练，则有630种不同的训练方法 【答案】AD 【分析】A先从7个位置中选3个排小明等3人，随后排列剩下4人，可得排法总数； B将小明，小红两人捆绑为1人，随后与剩下5人一起排列，可得排法总数； C先排剩下5人，随后将小明小红排进5人的空隙中，可得排法总数； D先将7人按2+2+3形式分为3组，再给每组安排训练，可得安排总数. 【详解】A选项，先从7个位置中选3个排小明等3人，有种方法， 随后排列剩下4人，有种方法，则共有种方法，故A正确； B选项，将小明，小红两人捆绑为1人，有2种排列方法，随后与剩下5人一起排列， 有种方法，则共有种方法，故B错误； C选项，先排剩下5人，有种方法，再将小明小红排进5人产生的6个空隙中， 有种方法，则共有种方法，故C错误； D选项，由题分组情况为2人的2组，3人的一组，则有种方法， 随后安排训练，有种方法，则共有种方法，故D正确. 故选：AD 20．（24-25高二上·四川眉山·期中）现有个编号为的盒子和个编号为的小球，要求把个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（     ） A．没有空盒子的方法共有种 B．有空盒子的方法共有种 C．恰有个盒子不放球的方法共有种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有种 【答案】AC 【分析】对于A，没有空盒即4个球4个盒子全排列即得；对于B，可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法，再减去没有空盒的情况，即可求解； 对于C，恰有一个空盒，即另外三个盒子都有球，而球共四个，必然有一个盒子中放了两个球，求解即得； 对于D，只需从四盒四球中选定标号相同的球和盒，另外的球与盒不能对应，求解即得． 【详解】对于选项A，把4个小球全部放进盒子中，没有空盒子，相当于4个小球在4个盒子上进行全排列，故共有种方法，所以选项A正确， 对于选项B，有空盒子，因为有4个球，每个球各有4种放法，故共有种方法，所以选项B错误； 对于选项C，恰有1个盒子不放球，说明另外三个盒子都有球，而球共4个，则必有一个盒子放了2个球， 先将四盒中选一个作为空盒，再将4球中选出2球绑在一起， 再对三个盒子全排共有种方法，故C正确； 对于选项D，恰有一个小球放入自己编号的盒中，则从四盒四球中选定标号相同的球和盒有种， 另外三球三盒不能对应共2种，则共有种方法，故D错误. 故选：AC. 21．（24-25高二上·河南·期中）用、、、、这五个数字组成无重复数字的三位数，则（    ） A．可以组成个三位数 B．在组成的三位数中，各位数字之和为的个数为 C．在组成的三位数中，比大的个数为 D．在组成的三位数中，百位上的数字最小的个数为 【答案】ABD 【分析】根据排列数公式可判断A选项；根据，结合排列数公式可判断B选项；分析可知，百位数字为或，利用排列数公式可判断C选项；分析可知，从五个数字中任意抽个数，最小的放在百位上，结合排列数和组合数公式可判断D选项. 【详解】用、、、、这五个数字组成无重复数字的三位数 对于A选项，可以组成个三位数，A对； 对于B选项，因为， 所以，在组成的三位数中，各位数字之和为的个数为个，B对； 对于C选项，由题意可知，百位数字为或， 所以，在组成的三位数中，比大的个数为个，C错； 对于D选项，在组成的三位数中，百位上的数字最小， 即从五个数字中任意抽个数，最小的放在百位上， 所以，百位上的数字最小的个数为个，D对. 故选：ABD. 22．（24-25高二上·辽宁·期末）现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，则下列说法正确的是（   ） A．4个男学生排在一起，有1440种不同的排法 B．老师站在最中间，有1440种不同的排法 C．4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端，有1728种不同的排法 D．2名老师之间要有男女学生各1人，有3840种不同的排法 【答案】BCD 【分析】利用捆绑法排列判断A，特殊元素优先安排（即先安排都是排中间然后再在两边安排学生求解判断B，用插空法（男生插入时需先先安排男生甲）求解判断C，先任选一名男学生和一名女学生站两位老师中间，把这四人捆绑后进行排列求解判断D． 【详解】选项A：4个男学生排在一起共有种站法，则有2880种不同的排法，故A错误； 选项B：老师站在最中间共有种站法，则有1440种不同的排法，故B正确； 选项C：先排老师和女学生，共有种站法，再排男学生甲，有种站法，最后排剩余的3名男学生有种站法， 所以共有种不同的站法，故C正确； 选项D：先任选一名男学生和一名女学生站两位老师中间，有种站法，两名老师的站法有种， 再将这一男学生一女学生两位老师进行捆绑，与剩余的4个人进行全排列有种站法， 所以共有种不同的站法.故D正确. 故选：BCD． 三、填空题 23．（24-25高三上·四川内江·阶段练习）加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，东兴区心理协会派遣具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有 种. 【答案】90 【分析】把五位同学按人数分3组，然后分配给3位专家． 【详解】根据题意，具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生， 要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生， 则把五位同学分3组，且三组人数为，然后分配给3位专家， 所以不同的安排方法共有种. 故答案为：90. 24．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为 ． 【答案】 【分析】先写出基本事件总数，再求出所有卡片上的数字之和，得到抽出的3张卡片上的数字之和应为，列举出和为的3张卡片即可求解. 【详解】从8张卡片中随机抽出3张，则样本空间中总的样本点数为， 因为， 所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等， 则抽出的3张卡片上的数字之和应为， 则抽出的3张卡片上的数字的组合有或或共3种， 所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为的样本点个数共3个， 所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为. 故答案为：. 25．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）已知某圆上的10个不同的点，过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形. 【答案】 【分析】根据不共线的三点确定一个圆，可得从10个点任选3个点取法有，即可求得答案. 【详解】不共线的三点确定一个圆 从10个点任选3个点取法有， 故一共可画个圆内接三角形 故答案为： 26．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）将4本不同的课外读物全部分给3个同学，每个同学至少分得一本，则不同的分配方法共有 种（用数字作答） 【答案】36 【分析】先将课外读物分为3组，继而分给3个同学，根据分组分配的方法，即可求得答案. 【详解】由题意，将4本不同的课外读物按数量为2、1、1分为3组，有种分法， 再将这3组读物分给3个同学，有种分法， 故共有不同的分配方法， 故答案为：36 27．（24-25高二上·黑龙江·期末）2025年“第九届亚冬会”即将在哈尔滨举办.现需要分配4名志愿者对2种不同的体育运动进行宣讲，每个宣讲至少分配1人，则不同的分配方案种数为 . 【答案】14 【分析】先将4名学生分为2组，然后再分配到2种不同体育运动进行宣讲，根据分步乘法计数原理可求结果. 【详解】第步：根据分类加法计数原理求名学生志愿者分组的种数， 4名学生志愿者分为2组，共有两种情况： ①一组3人，另一组1人，共有种；②一组2人，另一组2人，共有种， 所以共有种分法， 第2步：根据分步乘法计数原理计算所求， 由上可知，不同的分配方案种数为种． 故答案为：. 28．（24-25高三上·天津和平·期末）在杭州亚运会比赛中，6名志愿者被安排到安检、引导运动员入场、赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则合适的安排方案共有 种.（用数字作答） 【答案】540 【分析】本题为先分组再分配问题，第一步先分组，第二步再分配. 【详解】6名志愿者被安排三项工作，每项工作至少安排1人， 则分组方式为或或； 第一步先分组，分组方式共有种； 第二步再分配，三个组三个任务，由排列的定义可知为全排列种分配方案； 第三步根据分步乘法原理总计种安排方案. 故答案为：540. 29．（24-25高三上·广西·期末）数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制，五进制.五进制是“逢五进一”的进制，由数字0，1，2，3，4来表示数值，例如五进制数324转化成十进制数为.若由数字1，2，3，4组成的五位五进制数，要求1，2，3，4每个数字都要出现，例如12334，则不同的五位五进制数共有 个.若从由数字2，3，4（可重复）组成的三位五进制数中随机取1个，则该数对应的十进制数能被3整除的概率为 . 【答案】 240 【分析】应用分步计数，结合排列组合数求数字组成的五位五进制数的个数，设构成的三位五进制数从左到右的数字分别为，根据，将问题化为能被3整除，结合进行分类讨论求五进制数的个数，最后求其概率. 【详解】由数字组成的五位五进制数，要求每个数字都要出现， 则需要先从中选取一个数字作为重复出现的数字， 再将不重复出现的3个数字从五个位置中选3个进行排列， 最后剩余两个位置排重复数字， 故所求不同的五位五进制数共有个， 数字组成的三位五进制数总共有个， 设这个三位五进制数从左到右的数字分别为， 转化成十进制数后此数为， 此数能被3整除等价于能被3整除， 因为，所以能被3整除的只有三种情况， 若，则的取值有、两种， 若，则的取值有、、、、五种， 若，则的取值有、两种， 故能被3整除的数共有个，则所求概率为. 故答案为：240， 【点睛】关键点点睛：对于构成的三位五进制数从左到右的数字分别为，将问题化为能被3整除是关键. 30．（24-25高三上·江苏·阶段练习）某校高三1班10名同学、高三2班20名同学、高三3班10名同学参加“强国有我”演讲比赛，采用随机抽签的方式确定出场顺序，每位同学依次出场，记“高三1班全部学生完成比赛后，高三2班和高三3班都有学生尚未完成比赛”为事件A，则事件A发生的概率为 . 【答案】 【分析】本题需要对题目进行转化，将高三1班10名同学、高三2班20名同学、高三3班10名同学转化为，1班1名学生，2班2名学生，3班1名学生，再进行全排列，利用概率公式求解答案. 【详解】根据题目本题主要关注的问题是最后一名参赛学生是哪个班级的学生. 问题1：如果最后一位参赛学生为1班学生，即1班完成比赛时，2班、3班已经全部完成， 此时概率为，表示1班10位学生选取1位作为最后一位参赛学生， 表示去除最后一名参赛学生后剩余学生全排列，作为分母表示40位学生的全排列， 同理可得，最后一名参赛学生是2班的概率为，最后一名参赛学生是3班的概率为； 将以上高二（1）班10名学生、高二（2）班10名学生、高二（3）班20名学生，按照比例转化为，1班1名学生，2班2名学生，3班1名学生，进行考察. 问题2：发现最后一名参赛学生是1班的概率为，最后一名参赛学生是2班的概率为，最后一名参赛学生是3班的概率为， 所以问题1与问题2等价，不妨令1班学生为a，2班学生为b，c，三班学生为d，则全排列作为概率公式分母，即. 记“高三1班全部学生完成比赛后，高三2班和高三3班都有学生尚未完成比赛”为事件A，现在对事件A进行分析： 第一类：a在首位时，b，c，d全排列，有种可能； 第二类：a在第二位时，d必须在第三或第四位，b，c全排列，有种可能； 综上，共种可能， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：将问题简化为1班1名学生，2班2名学生，3班1名学生为关键. 四、解答题 31．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？ (1)7人站成一排，要求较高的3个学生站在一起； (2)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减. 【答案】(1)720种； (2)20种 【分析】（1）将较高的3个学生捆绑成一个元素，再与其他元素进行全排列即可； （2）最高的站在中间，从剩余的6名学生中选出3名从高到低排列，剩余的3名按高低进行排列即可； 【详解】（1）将较高的3个学生捆绑成一个元素，与另外4名学生构成5个元素进行自由排列，共有种排法； 捆绑的3个学生内部可自由排列，有种方法； 共有种； （2）最高的站在中间，从剩余的6名学生中选出3名从高到低排列在左边， 剩余的3名按高低进行排列在右边，共有种. 32．（23-24高二下·山西临汾·期中）（1）解方程: （2）计算 （3）解不等式. 【答案】（1）10；（2）252；（3）或. 【分析】（1）（2）（3）根据排列数及组合数解方程及不等式，应用组合数性质计算求值. 【详解】（1）因为 所以, 又因为，所以，解得. （2）由 . （3）因为所以      因为，所以，即 ，解得， 所以，又，所以或. 33．（24-25高二上·甘肃武威·期中）（1）计算： ； （2） 若 ，则x的值为_____； （3） 若 ，求正整数n． 【答案】（1） ；（2）；（3） ． 【分析】（1）利用排列数、组合数公式计算即得. （2）利用组合数的性质，排列数、组合数公式化简方程求解. （3）利用组合数的性质化简求解. 【详解】（1）. （2）依题意，，则，， 整理得：，而，所以. （3） ， 因此，即，所以. 34．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻； (2)2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧； (3)2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生. 【答案】(1)16 (2)384 (3)96 【分析】（1）利用分步计数原理即可； （2）利用插空法来排列即可； （3）利用捆绑法来排列即可. 【详解】（1）先排2名指导老师，有种站法， 再排2名女大学生，有种站法， 最后排剩余的2名男大学生，有种站法， 所以共有种不同的站法. （2）先排2名指导老师和2名女大学生，有种站法， 再用插空法排男大学生甲，除去最左侧有种站法， 最后继续用插空法，排剩余的1名男大学生，有种站法， 所以共有种不同的站法. （3）先选1名女大学生和1名男大学生站2名指导老师中间，有种站法， 再排2名指导老师，有种站法， 最后将选中的1名女大学生，1名男大学生及2名指导老师视为一个整体， 利用捆绑法与剩余的2名大学生全排列，有种站法， 所以共有种不同的站法. 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