预习第05讲 排列10种常见考法归类-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

预习第05讲 排列10种常见考法归类 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解并掌握排列的概念. 2.能应用排列知识解决简单的实际问题． 3.能用排列数公式进行化简与证明． 知识点1．排列的定义 排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 (1)一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列． (2)特别地，m＝n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列． 注；两个排列相同则应具备排列的对象及排列的顺序均相同． (3)对排列概念的两个关注点： ①顺序性：每一个排列不仅与选取的元素有关，而且还与元素的排列顺序有关，选取的元素不同或虽元素相同但元素的排列顺序不同时叫做不同的排列，只有当两个排列的元素完全相同且元素的顺序完全一样时才是相同的排列。 ②选排列与全排列：在定义中规定，如果，一般称为选排列；如果，则称为全排列。 知识点2．排列数及排列数公式 排列数的定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数 排列数的表示 A(n，m∈N，m≤n) 排列 数公式 乘积式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 阶乘式 A＝ 阶乘 A＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝n！ 规定 0！＝1，A＝1 性质 A＋mA＝A 拓展：排列与排列数的区别 “排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是指“从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，它不是数，而是具体的一件事；而“排列数”是上述完成这件事所有不同的排列个数，它是一个数． 考点一：排列的概念及判断 例1．下面问题中，是排列问题的是（ ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合 【答案】A 【解析】根据排列及排列数的定义，可得： 对于A中，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数， 符合排列的定义，是排列问题； 对于B中，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关的问题，不是排列问题； 对于C中， 从100人中选2人抽样调查，与顺序无关的问题，不是排列问题； 对于D中， 从1，2，3，4，5中选2个数组成集合， 与顺序无关的问题，不是排列问题.故选：A. 【变式1-1】从集合中任取两个元素，①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？④作为双曲线中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？ 上面四个问题属于排列问题的是（    ） A．①②③④ B．②④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【解析】∵加法满足交换律，∴①不是排列问题； ∵除法不满足交换律，∴②是排列问题； 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则必有，故③不是排列问题； 在双曲线中不管还是，方程均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故④是排列问题． 故选：B． 【变式1-2】判断下列问题是否为排列问题： (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互打电话． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)不是 (5)是 (6)是 【分析】根据排列定义分别判断即可. 【详解】(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题． (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (3)不存在顺序问题，不属于排列问题． (4)不存在顺序问题，不属于排列问题． (5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (6)A给B打电话与B给A打电话是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题． 所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题． 【变式1-3】已知下列问题: ①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组; ②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动; ③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母; ④从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数. 其中是排列问题的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】①中，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关，所以是排列问题； ②中，因为两名同学参加的活动与顺序无关，不是排列问题； ③中，因为取出的两个字母与顺序无关，不是排列问题； ④中，因为取出的两个数字还需要按顺序排列，是排列问题. 故选：B. 【变式1-4】给出下列问题： ①从2、3、5、7、11中任取两数相乘，可得多少个不同的积？ ②从2、3、5、7、11中任取两数相除，可得多少个不同的商？ ③从2、3、5、7、11中任取两数相加，可得多少个不同的和？ 以上问题中，属于排列问题的是______．（写出所有满足要求的问题序号） 【答案】② 【解析】对于①，从2、3、5、7、11中任取两数相乘，且乘法满足交换律，故不是排列问题; 对于②，从2、3、5、7、11中任取两数相除，且除法不满足交换律，故是排列问题; 对于③，从2、3、5、7、11中任取两数相加，且加法满足交换律，故不是排列问题; 故答案为：② 考点二：画树形图写排列 例2.北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有 种机票． 【答案】12 【分析】列举出机票的起点和终点的所有可能情况，即可得答案. 【详解】列出每一个起点和终点情况，如图所示． 故符合题意的机票种类有： 北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京、广州→天津、广州→北京， 南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12种, 故答案为：12 【变式2-1】写出从a、b、c、d四个元素中任取两个不同元素的所有排列． 【答案】所有的排列是ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc． 【分析】根据排列的定义一一列举出来即可. 【详解】先画出下面的树形图：    于是可知，所有的排列是ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc． 【变式2-2】写出下列问题的所有排列： (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出. 【解析】（1）所有两位数是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12个不同的两位数. （2）画出树状图，如图： 由树状图知，所有的四位数为：1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431， 3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321，共24个没有重复数字的四位数. 【变式2-3】求从A，B，C这3个对象中取出3个对象的所有排列的个数，并写出所有的排列. 【解析】所求排列数为. 所有的排列可用图所示. 由图可知，所有排列为，，，，，. 【变式2-4】从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来． 【解析】从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有（种）不同的分法．不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次1，2，3，4，画出树形图如图． 由树形图可知，按甲、乙、丙的顺序分的分法为： 语数英    语数物    语英数    语英物    语物数    语物英 数语英    数语物    数英语    数英物    数物语    数物英 英语数    英语物    英数语    英数物    英物语    英物数 物语数    物语英    物数语    物数英    物英语    物英数 考点三：简单的排列问题 例3.写出从a、b、c、d、e这五个不同元素中任意取出两个元素的所有排列． 【解析】任意取出两个元素的所有排列为： . 【变式3-1】将A、B、C、D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四．试写出他们四人所有不同的排法． 【解析】由于A不排在第一，所以第一只能排B、C、D中的一个，可分为三类： 当排在第一时：BADC，BCDA，BDAC； 当排在第一时：CADB，CDAB，CDBA， 当排在第一时：DABC，DCAB，DCBA， 所以不同的排法为：BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA． 【变式3-2】从、、、这个数字中选出个不同的数字组成个三位数，试写出所有满足条件的三位数． 【解析】所有满足条件的三位数分别为：、、、、、、、、、、、、、、、、、，共个. 【变式3-3】请列出下列排列： (1)从4个不同元素中任取3个元素的所有排列； (2)从7个不同元素中任取2个元素的所有排列． 【解析】（1）根据题意，从4个不同元素中任取3个元素的所有排列共有如下种： . （2）从7个不同元素中任取2个元素的所有排列共有如下种： . 考点四：排列数公式的应用 例4.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)60 (2)120 (3)5040 (4)1256640 【分析】（1）（2）（3）（4）由排列数的定义即可求解. 【详解】（1）． （2）． （3）． （4）． 【变式4-1】 ． 【答案】40 【解析】由题意得，，， 故， 故答案为：40 【变式4-2】，则等于 ． 【答案】10 【解析】因为，解得或， 且，所以. 故答案为：10. 【变式4-3】已知，则 ． 【答案】3 【解析】因为， 所以，且，，， 所以， 解得或（舍去）， 所以. 故答案为：3. 【变式4-4】（1）已知，那么 ； （2）已知，那么 ； （3）已知，那么 ． 【答案】 【解析】（1）由， 则， 即，解得. （2）由， 则，解得. （3）由， 则且， 解得或（舍）. 故答案为： ； ； 【变式4-5】若，则的个位数字是（ ） A．3 B．8 C．0 D．5 【答案】A 【解析】当时，，此时的个位数字为0， ∴的个位数字为0， 又∵，∴的个位数字为3．故选：A． 【变式4-6】求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据排列数公式证明即可. 【详解】由排列数公式可知， . 【变式4-7】证明： ． 【答案】证明见解析 【分析】根据排列数公式和运算性质，准确化简，即可求解. 【详解】证明 ： ． 为了使上述结论在时也成立，我们规定． 由此可知，排列数公式还可以写成． 考点五：元素(位置)有限的排列 例5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（    ） A．20种 B．16种 C．12种 D．8种 【答案】B 【分析】分类讨论：乙丙及中间人占据首四位、乙丙及中间人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理求得结果. 【详解】因为乙和丙之间恰有人，所以乙丙及中间人占据首四位或尾四位， ①当乙丙及中间人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间， 排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法， 所以有种方法； ②当乙丙及中间人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间， 排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法， 所以有种方法； 由分类加法计数原理可知，一共有种排法， 故选：B. 【变式5-1】亚运会火炬传递，假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（    ） A．288种 B．360种 C．480种 D．504种 【答案】C 【分析】根据排列数以及插空法的知识求得正确答案. 【详解】先安排甲乙以外的个人，然后插空安排甲乙两人， 所以不同的传递方案共有种. 故选：C 【变式5-2】如果自然数是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数叫做“集中数”．那么，“集中数”一共有（ ）个． A．65 B．70 C．75 D．80 【答案】C 【解析】自然数是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1， 我们就把自然数叫做“集中数”．则3个数，相等或相邻， 十位数为0时，有100，或101，共2个； 十位数为1时，有110，111，112，210，211，212共6个； 十位数为2时，有121，123，122，222，221，223，321，322，323，共9个； 十位数为3，4，5，6，7，8时，与十位数是2时，相同各有9个； 十位数为9时，有，899，898，998，999共4个． 综上共有：个．故选：． 【变式5-3】某停车场行两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有（ ） A．288种 B．336种 C．384种 D．672种 【答案】D 【解析】甲乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排时，种方案， 丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排，种方案， 所以共有种方案.故选：D 【变式5-4】今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（    ） A．18 B．24 C．32 D．64 【答案】A 【分析】根据安排的人中有没有甲进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】若安排的人中没有甲，安排方法有种， 若安排的人中有甲，则先安排甲，然后再选两人来安排， 则安排的方法有种， 所以总的方法数有种. 故选：A 考点六：相邻问题的排列 例6.某人将用“”进行排列设置6位数字密码，其中两个“1”相邻的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出所有排列数，在求出满足条件两个“1”相邻的排列数，即可求出概率. 【详解】根据已知条件：用“”进行排列设置6位数字密码共有种排列方法， 其中两个“1”相邻的情况共有种方法，所以两个“1”相邻的概率是. 故选：C. 【变式6-1】，，，，五人站成一排，如果，必须相邻，那么排法种数共有（    ） A．24 B．120 C．48 D．60 【答案】C 【解析】将，看成一体，，的排列方法有种方法，然后将和当成一个整体与其他三个人一共个元素进行全排列，即不同的排列方式有，根据分步计数原理可知排法种数为， 故选：. 【变式6-2】由3个2,1个0,2个3组成的六位数中,满足有相邻4位恰好是2023的六位数个数为（ ） A．3 B．6 C．9 D．24 【答案】B 【解析】由题得3个2,1个0,2个3中,除去2023四个数,还剩一个2,一个3, 将2023进行捆绑，对2,2023,3进行全排有种.故选:B 【变式6-3】在某个单位迎新晚会上有A、B、C、D、E、F6个节目，单位为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下具体要求，节目C必须安排在第三位，节目D、F必须安排连在一起，则该单位迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）种 A．36 B．48 C．60 D．72 【答案】A 【解析】由题意D、F在一二位或四五位、五六位，C是固定的，其他三个节目任意排列， 因此方法数为．故选：A． 【变式6-4】市内某公共汽车站有6个候车位（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是（    ） A．48 B．54 C．72 D．84 【答案】C 【解析】根据题意，现将3个乘客全排列，将有4个空隙，再将两个空座位捆绑在一起和另一个空座位，放入4个空隙中的两个，共有种. 故选：C. 考点七：不相邻问题 例7.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任意两人不相邻的坐法种数为（    ） A．14 B．120 C．72 D．24 【答案】D 【分析】根据题意，先排3个空位，形成4个空隙，从4个空隙中选出3个空隙，让3人就坐，结合排列数公式，即可求解. 【详解】根据题意，先排3个空位，形成4个空隙，从4个空隙中选出3个空隙，让3人就坐， 共有种不同的坐法. 故选：D. 【变式7-1】5个人排成一列，已知甲排在乙的前面，则甲、乙两人不相邻的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】5个人全排列且甲排在乙的前面有种方法， 将剩余三人排成一列有中排法，产生4个空位， 让甲、乙选择两个空位插空，则有种方法， 所以甲、乙两人不相邻的安排方法有种方法， 其中甲排在乙的前面的有种方法， 所以甲、乙两人不相邻的概率为，故选:C. 【变式7-2】某选拔性考试需要考查4个学科（语文、数学、物理、政治），则这4个学科不同的考试顺序中物理考试与数学考试不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全排列与插空法分别求得所需要考试顺序种类，再利用古典概型即可得解. 【详解】这4个学科不同的考试顺序有种， 先安排语文、政治形成3个空隙，再将数学、物理插入到其中2个空隙中， 则物理考试与数学考试不相邻的考试顺序共有种， 所以所求概率为. 故选：B. 【变式7-3】琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为. 从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有种情况， 再从排好的五种乐器的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有种情况， 故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为. 所以所求的概率，故选：B. 【变式7-4】寒冬己至，大雪纷飞，峨眉山顶银装素裹.成实外教育集团的5位学生相约一起爬山观景.其中位女生，位男生，在到达零公里时，为了安全起见，他们排队前进，为了照顾大家安全，位男生不能相邻，且女生甲怕猴子，不能排在最后一个，则不同的排法种数共有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】种类一：一位男生在最后，此时有种情况， 位女生全排列有种情况， 最后将剩余一位男生插入女生所形成的个空中，且不在女生最后，共种情况， 所以共种情况； 种类二： 男生不相邻，可先排女生，又女生甲不在最后， 所以女生甲有种排法， 其他为女生有种排法， 最后男生插入女生所形成的个空中，且不在女生最后，共种情况， 共种情况； 综上所述，共种情况， 故选：A. 考点八：相邻与不相邻的综合问题 例8.7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（    ）种站排方式． A．672 B．864 C．936 D．1056 【答案】D 【分析】分甲站在每一排的两端和甲不站在每一排的两端这两种情况解答即可. 【详解】当甲站在每一排的两端时，有4种站法，此时乙的位置确定，剩下的人随便排，有种站排方式；    当甲不站在每一排的两端时，有3种站法，此时乙和甲相邻有两个位置可选，丙和甲不相邻有四个位置可选，剩下的人随便站，有种站排方式；    故总共有种站排方式. 故选：D． 【变式8-1】“雍容华贵冠群芳，百卉争妍独占王．”牡丹花在很早之前就遍布世界各地，具有极高的观赏价值．某花房拟在一侧种植红、紫、白、蓝、黄、黑6色牡丹，种植时，黑牡丹与紫牡丹分别种在两端，白牡丹和蓝牡丹相邻．若白牡丹与黑牡丹不相邻，则不同的种植方法共有（    ） A．24种 B．20种 C．12种 D．22种 【答案】B 【分析】利用分步乘法计数原理，排列应用问题列式计算即得. 【详解】求不同的种植方法需要两步，第一步：将黑牡丹与紫牡丹分别种在两端，共（种）方法； 第二步：将相邻的白牡丹和蓝牡丹看作一个整体，与红牡丹、黄牡丹一起排在黑牡丹与紫牡丹中间， 共（种）方法，其中，白牡丹与黑牡丹不相邻的排法有（种）， 所以不同的种植方法共有（种）． 另解：求不同的种植方法需要3步，第一步：将黑牡丹与紫牡丹分别种在两端，共（种）方法； 第二步：在黑牡丹和紫牡丹中间种植红牡丹和黄牡丹，共（种）方法； 第三步：将相邻的白牡丹和蓝牡丹看作一个整体，在红牡丹和黄牡丹的前、中、后三个空位种植，且白牡丹与黑牡丹不相邻，共（种）方法， 所以不同的种植方法共有（种）． 故选：B 【变式8-2】甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中甲家庭有2个大人和2个小孩，乙家庭有2个大人和3个小孩，他们9人在景区门口站成一排照相，要求每个家庭的成员要站在一起，且同一家庭的大人不能相邻，则所有不同站法的种数为（    ） A．144 B．864 C．1728 D．2880 【答案】C 【分析】利用捆绑以及插空法求得正确答案. 【详解】甲家庭的站法有种，乙家庭的站法有种， 最后将两个家庭的整体全排列，有种站法， 则所有不同站法的种数为． 故选：C 【变式8-3】若某展览馆要把6件艺术品在展位上摆放成一排，要求其中的艺术品A和B必须相邻，且都不能与C相邻，则这样不同的排列方法数为（    ）． A．72 B．120 C．144 D．288 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法，列式求解作答. 【详解】依题意，先排除A、B、C外的另3件艺术品，有种方法， 再把A和B视为一个整体，与C插入4个间隙中，有种方法，而A和B间的排列有种方法， 由分步乘法计数原理得：， 所以不同的排列方法数为144. 故选：C 考点九：定序问题的处理 例9.某次演出有6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有____种． 【答案】 【解析】演出中的6个节目全排列有, 甲、乙、丙3个节目全排列有, 所以演出中的6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有， 故答案为：. 【变式9-1】将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为A，B，C或C，B，A（可以不相邻），这样的排列方法有______种.（用数字作答） 【答案】40 【解析】5个元素无约束条件的全排列有种排法， 由于字母A，B，C的排列顺序为A，B，C或C，B，A， 因此，在上述的全排列中恰好符合A，B，C或C，B，A的排列方法 有（种）. 故答案为：40 【变式9-2】在8所高水平的高校代表队中，选择5所高校进行航模表演.如果、为必选的高校，并且在航模表演过程中必须按先后的次序（、两高校的次序可以不相邻），则可选择的不同航模表演顺序有_______. 【答案】1200. 【解析】从8所高校中选出5所，除去、还需要选3所，选法是种，当、两高校不相邻时，不同的表演顺序有，当、两高校相邻时，不同的表演顺序有，因此可选择的不同航模表演顺序有种. 故答案为：1200. 【变式9-3】期中安排考试科目9门，语文，数学，英语三门课的前后顺序已经确定，则期中考试不同的安排顺序有______种． 【答案】60480 【解析】解法一：空位法．语文，数学，英语的前后顺序已经确定，先排除了语文，数学，英语之外 的6科，总共有种排法，剩下三个位置给语文，数学，英语，因为它们的顺序 确定，只有一种方法，故共有60480种排法． 解法二：插空法．语文，数学，英语的前后顺序已经确定，先排语文，数学，英语，只有 一种排法，然后再让剩下6科逐个插空，总共有种排法． 解法三：除法．9门课程任意排，总共有种排法．语文，数学，英语有种排法．因 为语文，数学，英语的前后顺序已经确定，所以总共有种排法． 故答案为：60480 【变式9-4】如图所示，某货场有三堆集装箱，每堆2个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是____________（用数字作答）. 【答案】 【解析】因为有六个集装箱，需要全部装运，共有种取法， 又因为每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱， 由排列中的定序问题，可知不同的取法有种. 故答案为：90. 考点十：间接法 例10.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”，合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每次讲一艺.讲座次序要求“数”不在第一次也不在第六次，“礼”和“乐”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（    ） A．480种 B．336种 C．144种 D．96种 【答案】B 【解析】依题意，“数”不在第一次也不在第六次的不同次序数有：， “数”不在第一次也不在第六次时，“礼”和“乐”相邻的不同次序数有：， 所以所求“六艺”讲座不同的次序数共有：. 故选：B 【变式10-1】某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求体育不排在第一节，则该班周一上午不同的排课方案共有（    ） A．24种 B．18种 C．12种 D．6种 【答案】B 【解析】语文、数学、美术、体育4门学科的全排列数为种，其中体育排在第一节的有种， 所以该班周一上午不同的排课方案共有（种）. 故选：B 【变式10-2】某班在一次班团活动中，安排2名男生和4名女生讲演，为安排这六名学生讲演的顺序，要求两名男生之间不超过1人讲演，且第一位和最后一位出场讲演的是女生．则不同的安排方法总数为（　　） A．168 B．192 C．240 D．336 【答案】C 【分析】先安排第一位和最后一位出场讲演的女生，再对中间4人，为2男2女全排列，减去中间2名女生情况，然后利用分步计数原理求解. 【详解】第一位和最后一位出场讲演的是女生，有种， 中间4人，为2男2女，任意排列有种， 若中间2名女生，则有种，则满足条件的有种， 则共有种不同的安排方法． 故选：C． 【变式10-3】某人根据自己爱好，希望从中选2个不同字母，从中选3个不同数字编拟车牌号，要求前3位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有（    ） A．198个 B．180个 C．216个 D．234个 【答案】A 【解析】当2在首位时，在任选两个数在余下两个数字位上全排有，从任选两个字母在字母位上全排有； 当2与Z相邻时，即2在数字位的最后，Z在字母位的最前面，再从任选两个数在余下两个数字位上全排有，从任选一个字母放在字母位的最后有； 所以当2在首位和2与Z相邻的情况共有种， 而任选3个数字在数字位全排，任选2个字母在字母位全排共有种， 所以满足要求的车牌号有种. 故选：A 一、单选题 1．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）计算 （    ） A．9×3 B． C．9×8×7 D．9×8×3 【答案】C 【分析】利用排列数公式列式得解. 【详解】. 故选：C 2．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】由排列数公式2）， 可知. 故选：B. 3．（24-25高二上·山东东营·阶段练习）（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据排列数的计算即可求解. 【详解】. 故选：B 4．（2025高三·全国·专题练习）现需将编号分别为1，2，3，4，5的五人每人安排一天值班，则编号恰好奇偶相间的排班方法数共有（   ） A．8 B．12 C．24 D．36 【答案】B 【分析】根据插空法即可求解. 【详解】先将3个奇数编号排好，有种方法， 然后将2，4插入到排好的奇数的中间可得， 故共有种． 故选：B． 5．（24-25高二上·辽宁·期末）国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可•波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变，则不同的方法种数为（   ） A．84 B．120 C．504 D．720 【答案】C 【分析】不相邻问题插空法，8个同学一排有9个空，把甲、乙、丙插在9个空即可. 【详解】8个同学站成一排有9个空，甲、乙、丙在9个空中任意排列，则不同的方法种数为. 故选：C. 6．（24-25高二下·全国·课后作业）从2，3，5，7，11，13中取2个不同的数，其商的个数是（    ） A．18 B．21 C．30 D．36 【答案】C 【分析】依题意可得这6个数两两互质，由排列数的定义计算可得结果. 【详解】因为这6个数两两互质，从中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其结果互不相等； 所以其商的个数共有． 故选：C 7．（24-25高二下·全国·课后作业）为了丰富学生的课余生活，某校拟开展课外实践活动，有6种实践活动可供选择．若甲、乙、丙三名学生每人从中选择1种，且3人选择的实践活动不同，则不同的选法共有（    ） A．60种 B．80种 C．120种 D．150种 【答案】C 【分析】由排列的概念求解即可. 【详解】甲、乙、丙三名学生每人从6种实践活动中选择1种，3人选择的实践活动不同， 则选法共有种． 故选：C 8．（23-24高二下·新疆阿克苏·阶段练习）现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有（ ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】C 【分析】根据捆绑法和插入法即可得到答案. 【详解】甲、乙相邻捆绑作为一全元素，丙、丁不相邻用插入法． 由题意不同站法数为：． 故选：C. 9．（24-25高二上·河南驻马店·期末）某校A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，则不同的出场次序有（    ） A．18种 B．36种 C．60种 D．72种 【答案】C 【分析】利用定序倍缩法即可得解. 【详解】因为A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，且A须在B前面出场， 所以有种出场顺序. 故选：C 10．（2024高三·全国·专题练习）某中学举行第四届校运会，高二10班的甲、乙、丙三名同学将参加四个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至多只有一人参加，则不同安排方法数为（    ） A．48 B．24 C．12 D．4 【答案】B 【分析】由条件，结合排列，排列数的定义求解. 【详解】由题意三人参加四个项目对应四个元素取出三个元素且有顺序， 故排列数为， 故选：B． 11．（2025高三·全国·专题练习）5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（    ） A．18 B．36 C．48 D．60 【答案】B 【分析】先考虑特殊位置，再利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】甲在排头或排尾站法有种，再让乙在中间3个位置选一个，有种站法，其余3人有种站法， 所以共有种站法， 故选：B 12．（2025高三·全国·专题练习）某班一天上午有4节课，下午有3节课，现在安排该班一天中语文、英语、物理、政治、体育各1节，数学2节，要求2节数学课都排在上午或下午且连续，体育课排在下午，则不同的排法种数是（    ） A．624 B．528 C．312 D．264 【答案】D 【分析】利用分类计数原理，结合排列思想即可求解. 【详解】如果2节数学课排在上午，则数学课的安排情况为，，，共3种排法， 此时体育课排在下午，有3种排法，剩下的4节课有种排法， 所以数学课排在上午共有种排法. 如果2节数学课排在下午，则数学课的安排情况为，，共2种排法， 此时体育课排在下午，有1种排法，剩下的4节课有种排法， 所以数学课排在下午共有种排法. 综上，不同的排法种数为， 故选：D. 13．（24-25高二上·辽宁·期末）某校要从校广播站3名男同学和2名女同学中选出两人，分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同安排方法有（    ） A．14种 B．16种 C．18种 D．20种 【答案】A 【分析】根据全部情况去掉两名均为男生的情况即可求解. 【详解】从3名男同学和2名女同学中选出两人分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，共有种情况， 若从3名男生选出两人分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，共有种情况， 故至少有1名女同学被选中的不同安排方法有种， 故选：A 14．（24-25高三上·湖北·阶段练习）甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有（    ） A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种 【答案】B 【分析】依题意环排问题转换为线排问题，再根据插空法求解. 【详解】环排问题线排策略，增加一个凳子． 九个凳子排一排，甲放一号和九号，中间剩余七个位置可选，再将其他五人放入中间有种． 甲、乙、丙两两不相邻．乙、丙只能放中间四空中共有种， 由分步计数原理得总数种． 故选：B. 15．（24-25高二上·河南·阶段练习）在一次文物展览中，要将5件不同的文物从左到右摆成一排进行展示，其中有2件特殊的文物需要相邻摆放，则不同的排列方法有（    ） A．24种 B．48种 C．96种 D．120种 【答案】B 【分析】2个特殊的文物利用捆绑法，再与其他文物全排列即可. 【详解】先把2件特殊的文物放一起，看做一个整体与其余3个全排列， 共有种不同的排法， 故选：B 16．（24-25高三上·河北唐山·期末）甲、乙等5人站成一排，要求甲在中间，乙不在两端，则不同的排列方式共有（   ） A．12种 B．6种 C．24种 D．60种 【答案】A 【分析】先排甲，确定乙的排法种数，剩下的3人全排列可得结果. 【详解】∵甲在中间，乙不在两端， ∴先排甲，则乙有2种排法，剩下的3人任意排列，故有种. 故选：A. 17．（24-25高三上·湖北随州·期末）在某次太空游行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中，两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（   ） A．18种 B．36种 C．72种 D．108种 【答案】B 【分析】先排，两道程序，再排剩余的3道程序，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】先排，两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后， 则在第2，3，4道程序中选两个放，，共有种安排方法； 再排剩余的3道程序，共有种安排方法， 所以一共有种不同的顺序安排方法. 故选：B. 二、多选题 18．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（    ） A．任意站成一排，有120种排法 B．学生不相邻，有24种排法 C．教师相邻，有48种排法 D．教师不站在两边，有72种排法 【答案】AC 【分析】根据全排列可求得A，根据不相邻问题用插空法可求得B，根据相邻问题用捆绑法可求得C，根据特殊位置优先排可求得D. 【详解】对于A，任意站成一排，是全排列，所以有种排法，故A正确； 对于B，学生不相邻，所以先排老师，然后插空，即种排法，故B错误； 对于C，教师相邻用捆绑，即种排法，故C正确； 对于D，教师不站两边，先将两边排上学生，剩下的人全排列，即种排法，故D错误； 故选：AC. 19．（23-24高二下·江苏·阶段练习）下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据阶乘和排列数的运算公式，进行推理与判断选项中的运算是否正确即可． 【详解】对于A，，选项A正确； 对于B，，所以选项B正确； 对于C，，选项C正确； 对于D，，选项D错误． 故选：ABC． 20．（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）下列各式中，等于的等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用排列数计算公式及阶乘公式，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果. 【详解】对于选项A，因为，所以选项A正确， 对于选项B，因为，所以选项B正确， 对于选项C，因为，所以选项C错误， 对于选项D，因为，所以选项D正确， 故选：ABD. 21．（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）满足不等式的的值可为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】AB 【分析】利用排列数公式和一元二次不等式的解法求解. 【详解】解：由， 得，，即， 解得，又， 所以或， 故选：AB 22．（24-25高二上·河南驻马店·期末）甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（   ） A．甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法 B．5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法 C．5人站成一排，甲不在两端，共有144种排法 D．5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法 【答案】BD 【分析】对A：根据分步计数原理：先排前排，再排后排；对B：甲、乙看作一个元素排列即可；对C：根据分步计数原理：先排两端，再排中间；对D：利用间接法：先将5人排队，再排除不符合题意的情况. 【详解】对A：甲、乙、丙站前排，有种排法，丁、戌站后排，有种排法，共有种排法，故A错误； 对B：甲、乙看作一个元素，则5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有种排法，故B正确； 对C：5人站成一排，甲不在两端，共有种排法，故C错误； 对D：5人站成一排，有种排法， 则甲在最左端，乙不在最右端，共有种排法； 甲不在最左端，乙在最右端，共有种排法； 甲在最左端，乙在最右端，共有种排法； 则甲不在最左端，乙不在最右端，共有种排法，故D正确. 故选：BD. 23．（24-25高二上·甘肃白银·期末）“六艺”即“礼､乐､射､御､书､数”，为春秋战国时期读书人必须学习的六种技艺，分别为礼法､乐舞､射箭､驾车､书法和算术，其中射箭､驾车（御战车､驾车）为军事技能．某国学馆开设“传承优秀文化”专题培训班，对这六种技艺要逐项培训，下列叙述正确的是（    ） A．“礼”与“射”必须相邻的培训方法有种 B．先培训“数”后培训“乐”的培训方法种数为 C．“御､书､数”相邻的培训方法种数为 D．“射”排在最后的培训方法种数为 【答案】BCD 【分析】利用捆绑法可判断AC；定序问题使用除法可判断B；先排“射”，然后全排可判断D. 【详解】对于A，先排“礼、射”有种，然后将“礼、射”看作一个元素，与其余4个全排有， 所以满足条件的培训方法种数为，故A项错误； 对于B，先全排有种，“数”和“乐”的顺序有2种，满足顺序排法相同， 所以满足条件的排法有种，故B项正确； 对于C，先排“御、书、数”有种，然后将“御、书、数”看作一个元素，与其余3个全排有， 所以满足条件的培训方法种数为，故C项正确； 对于D，先排“射”，然后其他5种全排，共有培训方法种数为，故D项正确． 故选：BCD 三、填空题 24．（2024·上海闵行·一模）从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为 ． 【答案】144 【分析】利用分步乘法计数原理及排列应用问题列式计算得解. 【详解】依题意，安排老师甲有种，从除甲外的9名老师中任选2人并安排值班有种， 所以不同的值班安排方法种数为（种）. 故答案为：144 25．（24-25高三上·广东·阶段练习）甲、乙、丙等人站成一排，要求甲、乙不站在丙的同一侧，则不同的站法共有 种． 【答案】 【分析】根据分步乘法计数原理可得解. 【详解】先站甲、乙、丙人，共有种不同的站法， 再站剩余人，先将1人排到甲、乙、丙3人之间的空位中， 最后将剩余的1人排到前面4人之间的空位中， 共有种不同的站法， 根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种． 故答案为：40 26．（2024高三·全国·专题练习）在如下的正方形“九空格”中，分别填入，并使得每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数字之和都相等的概率为，则 ．（参考数据：）    【答案】 【分析】用列举法写出每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数字之和都相等“九空格”填写情形并计数，再用排列知识求得所有“九空格”填写的个数，然后由概率公式计算概率． 【详解】依题意，得出每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数字之和都相等的情况如图． 将数字填入“九空格”中，共有9！种不同方法，其中满足题意的有8种， 则．    故答案为：． 27．（24-25高二上·辽宁·期末）有一种运算，三个互异的数，，运算时可以有不同的运算方法，如，，，，，就是其中6种不同的运算方法.设个互异的数的不同运算方法共有种，则 ， （用数字作答）. 【答案】 12 120 【分析】利用排列知识与此运算的定义可求得的值. 【详解】此种运算方法是在排列的基础上加上括号的选择（括号内至少两个数）. 首先，（对一个排列，括号只有2种乘法）， 对于，考查一个给定的排列如，共有如下几种此种运算方法， ，，，，， 共5种相乘方法， 又4个数的排列有，所以. 故答案为：12；120. 【点睛】关键点点睛：理解新定义，弄清题意，本质是在排列的基础上的两个数的此种运算的结合情况，故利用分步计数原理可求得结论. 28．（22-23高二上·甘肃酒泉·期末）名男生、名女生站成一排，至少有两个女生相邻的站法种数为 （用数字作答）． 【答案】 【分析】分两种情况讨论：只有两个女生相邻、三个女生都相邻，利用捆绑法与插空法可求得结果. 【详解】分以下两种情况讨论： 若只有两个女生相邻，将三个女生分为两组，然后插入名男生所形成的空位中， 此时，不同的站法种数为种； 若三个女生都相邻，将这三个女生视为一个整体，然后插入名男生所形成的空位中， 此时，不同的站法种数为种. 综上所述，至少有两个女生相邻的站法种数为种. 故答案为：. 29．（24-25高三上·湖北十堰·期末）由数字1，2构成一个9位的数字序列，含有连续子序列1221的数字序列有 个.（例如122122211，212112211符合题意） 【答案】174 【分析】考虑子序列1221可能出现的位置，再将其中重复的去掉，即可得答案. 【详解】考虑出现子序列1221时，可能出现的位置有6个， 依次对应的序列放入集合，中， 记为集合中元素的个数，则， 再考虑重复的序列， ， 又注意到任意多于2个集合的交集均为空集，所以含有连续子序列1221的数学序列有个. 故答案为： 四、解答题 30．（24-25高二下·全国·课后作业）计算下列各式． (1)； (2)． 【答案】(1)480 (2)16 【分析】（1）（2）利用排列数的计算公式直接计算即可得结果. 【详解】（1）； （2）. 31．（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】根据题意，结合排列数公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 32．（24-25高二上·河南·期中）5名工作人员在社区开展交通安全宣讲活动，活动结束后，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念. (1)要求小王与工作人员甲､乙都相邻，有多少种不同的站法？ (2)若这5名工作人员中，甲､乙､丙的身高互不相等，拍照时甲､乙､丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻），有多少种不同的站法？ (3)若工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端，有多少种不同的站法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 【答案】(1)48 (2)120 (3)504 【分析】（1）利用捆绑法，把小王与工作人员甲、乙捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外的3名工作人员全排列，即可得出结论； （2）根据题意，分2步进行分析:①在6个位置中任选3个，安排甲乙丙之外的3人，②将甲乙丙3人按从左到右的顺序安排在剩余的3个位置，由分步计数原理计算可得答案； （3）根据题意，分2种情况讨论:①甲站在最右端，②甲不站在最右端，由分类计数原理计算可得答案. 【详解】（1）由题意，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念， 小王与工作人员甲､乙都相邻， ∴把小王与工作人员甲、乙捆绑在一起看作一个复合元素，有种方法（甲、小王、乙，乙、小王、甲）， 然后总体与其余3名工作人员全排列，共有种方法， ∴小王与工作人员甲､乙都相邻，方法共有种； （2）由题意， 甲､乙､丙的身高互不相等，拍照时甲､乙､丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻）， ①在6个位置中任选3个,安排甲乙丙之外的3人,有种情况, ②将甲乙丙3人按从左到右的顺序安排在剩余的3个位置,有1种情况, ∴有种不同的站法； （3）由题意， 工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端， ∴①甲站在最右端,其余5人全排列,有种站法, ②甲不站在最右端,甲有4种站法,乙有4种站法, 剩下4人全排列,有种站法, ∴共有 种不同的站法 33．（24-25高二上·北京·阶段练习）有四个数字， (1)可以组成多少个四位数？ (2)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？ (3)若将由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，则第10个四位数是多少？（直接写出答案即可） 【答案】(1)192 (2)10 (3)2130 【分析】（1）依次考虑千位、百位、十位、个位的数字，根据分步乘法计数原理可得答案； （2）分个位是0、2两种情况计算可得答案； （3）分千位数字是1、2两种情况计算可得答案. 【详解】（1）依次考虑千位、百位、十位、个位的数字，根据分步乘法计数原理， 共有个； （2）当个位是0时，共有个无重复数字的四位偶数； 当个位是2时，千位是1或3，共有个无重复数字的四位偶数， 因此，共有个； （3）当千位数字是1时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个； 当千位数字是2百位数字是0时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个， 当千位数字是2百位数字是1时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个， 所以由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列， 则第10个四位数是2130． 34．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）求下列问题的排列数： (1)4名男生3名女生排成一排，3名女生相邻； (2)4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相邻； (3)4名男生3名女生排成一排，女生不能排在两端. 【答案】(1)720(种) (2)1440(种) (3)1440(种) 【分析】（1）利用捆绑法进行排列计算可得结果； （2）利用插空法先排男生，再将女生插空排列计算可得结果； （3）根据特殊元素排法将两端排上男生再进行全排列即可得结果. 【详解】（1）根据相邻问题捆绑法得，先将3名女生全排列，并作为一个元素，再和其余4名男生一起排列， 共有(种)不同的安排方法. （2）根据不相邻问题插空法得，先将4名男生进行全排列，再将3名女生插在5个空位上， 共有(种)不同的排列方法. （3）先从4名男生中取2人排在两端，再将其余5人排在中间5个位置上， 共有(种)不同的排列方法. 35．（23-24高二下·全国·课后作业）用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（列式并计算） (1)六位数； (2)六位奇数； (3)能被5整除的六位数； (4)组成的六位数按从小到大顺序排列，第265个数是多少？ 【答案】(1)600； (2)288； (3)216； (4)310245. 【分析】（1）先排首位，再排其它位的数字，再利用分步乘法计数原理可求得结果. （2）先排个位，然后排首位，再利用分步乘法计数原理可求得结果. （3）按个位数是0或5分类，结合两个原理列式计算即可. （4）讨论首位是1，首位是2和首位是3时的不同个数，再求出第264个数即可得解. 【详解】（1）先排首数，有种，最后排其它有种， 根据分步计数原理得，六位数有种. （2）先排个位数，有种， 由0不能在首位，则排首位有4种，最后排其它有种， 根据分步计数原理得，六位奇数有个. （3）能被5整除的六位数，则个位数是0或5， 个位数是0，则有种， 个位数是5，先排首位，0不作为首位，则有种排法，其余位置有种排法， 所以共有个. （4）首位数字不能为0，首位数字为1有种， 首位数字为2，有种， 首位数字为3，万位数字上为0，有种，此时所有6位数有个， 所以第264个数是，第265个数是. 36．（24-25高二上·上海浦东新·期中）3名男生和4名女生站成一排拍照，在下列要求下分别求不同排列方法的数目. (1)学生甲不在最左边； (2)3名男生必须排在一起. 【答案】(1)4320 (2)720 【分析】（1）特殊位置用优先法，先排最左边，再排余下位置． （2）相邻问题用捆绑法，将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列 【详解】（1）先排最左边，除去甲外有种排法，余下的6个位置全排列有种排法， 则符合条件的排法共有种. （2）将男生看成一个整体，进行全排列，有种排法，与其他元素进行全排列，有种排法， 则符合条件的排法共有种. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习第05讲 排列10种常见考法归类 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解并掌握排列的概念. 2.能应用排列知识解决简单的实际问题． 3.能用排列数公式进行化简与证明． 知识点1．排列的定义 排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 (1)一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列． (2)特别地，m＝n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列． 注；两个排列相同则应具备排列的对象及排列的顺序均相同． (3)对排列概念的两个关注点： ①顺序性：每一个排列不仅与选取的元素有关，而且还与元素的排列顺序有关，选取的元素不同或虽元素相同但元素的排列顺序不同时叫做不同的排列，只有当两个排列的元素完全相同且元素的顺序完全一样时才是相同的排列。 ②选排列与全排列：在定义中规定，如果，一般称为选排列；如果，则称为全排列。 知识点2．排列数及排列数公式 排列数的定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数 排列数的表示 A(n，m∈N，m≤n) 排列 数公式 乘积式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 阶乘式 A＝ 阶乘 A＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝n！ 规定 0！＝1，A＝1 性质 A＋mA＝A 拓展：排列与排列数的区别 “排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是指“从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，它不是数，而是具体的一件事；而“排列数”是上述完成这件事所有不同的排列个数，它是一个数． 考点一：排列的概念及判断 例1．下面问题中，是排列问题的是（ ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合 【变式1-1】从集合中任取两个元素，①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？④作为双曲线中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？ 上面四个问题属于排列问题的是（    ） A．①②③④ B．②④ C．②③ D．①④ 【变式1-2】判断下列问题是否为排列问题： (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互打电话． 【变式1-3】已知下列问题: ①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组; ②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动; ③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母; ④从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数. 其中是排列问题的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-4】给出下列问题： ①从2、3、5、7、11中任取两数相乘，可得多少个不同的积？ ②从2、3、5、7、11中任取两数相除，可得多少个不同的商？ ③从2、3、5、7、11中任取两数相加，可得多少个不同的和？ 以上问题中，属于排列问题的是______．（写出所有满足要求的问题序号） 考点二：画树形图写排列 例2.北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有 种机票． 【变式2-1】写出从a、b、c、d四个元素中任取两个不同元素的所有排列． 【变式2-2】写出下列问题的所有排列： (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出. 【变式2-3】求从A，B，C这3个对象中取出3个对象的所有排列的个数，并写出所有的排列. 【变式2-4】从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来． 考点三：简单的排列问题 例3.写出从a、b、c、d、e这五个不同元素中任意取出两个元素的所有排列． 【变式3-1】将A、B、C、D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四．试写出他们四人所有不同的排法． 【变式3-2】从、、、这个数字中选出个不同的数字组成个三位数，试写出所有满足条件的三位数． 【变式3-3】请列出下列排列： (1)从4个不同元素中任取3个元素的所有排列； (2)从7个不同元素中任取2个元素的所有排列． 考点四：排列数公式的应用 例4.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4-1】 ． 【变式4-2】，则等于 ． 【变式4-3】已知，则 ． 【变式4-4】（1）已知，那么 ； （2）已知，那么 ； （3）已知，那么 ． 【变式4-5】若，则的个位数字是（ ） A．3 B．8 C．0 D．5 【变式4-6】求证：. 【变式4-7】证明： ． 考点五：元素(位置)有限的排列 例5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（    ） A．20种 B．16种 C．12种 D．8种 【变式5-1】亚运会火炬传递，假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（    ） A．288种 B．360种 C．480种 D．504种 【变式5-2】如果自然数是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数叫做“集中数”．那么，“集中数”一共有（ ）个． A．65 B．70 C．75 D．80 【变式5-3】某停车场行两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有（ ） A．288种 B．336种 C．384种 D．672种 【变式5-4】今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（    ） A．18 B．24 C．32 D．64 考点六：相邻问题的排列 例6.某人将用“”进行排列设置6位数字密码，其中两个“1”相邻的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】，，，，五人站成一排，如果，必须相邻，那么排法种数共有（    ） A．24 B．120 C．48 D．60 【变式6-2】由3个2,1个0,2个3组成的六位数中,满足有相邻4位恰好是2023的六位数个数为（ ） A．3 B．6 C．9 D．24 【变式6-3】在某个单位迎新晚会上有A、B、C、D、E、F6个节目，单位为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下具体要求，节目C必须安排在第三位，节目D、F必须安排连在一起，则该单位迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）种 A．36 B．48 C．60 D．72 【变式6-4】市内某公共汽车站有6个候车位（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是（    ） A．48 B．54 C．72 D．84 考点七：不相邻问题 例7.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任意两人不相邻的坐法种数为（    ） A．14 B．120 C．72 D．24 【变式7-1】5个人排成一列，已知甲排在乙的前面，则甲、乙两人不相邻的概率为（ ） A． B． C． D． 【变式7-2】某选拔性考试需要考查4个学科（语文、数学、物理、政治），则这4个学科不同的考试顺序中物理考试与数学考试不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（ ） A． B． C． D． 【变式7-4】寒冬己至，大雪纷飞，峨眉山顶银装素裹.成实外教育集团的5位学生相约一起爬山观景.其中位女生，位男生，在到达零公里时，为了安全起见，他们排队前进，为了照顾大家安全，位男生不能相邻，且女生甲怕猴子，不能排在最后一个，则不同的排法种数共有（    ） A． B． C． D． 考点八：相邻与不相邻的综合问题 例8.7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（    ）种站排方式． A．672 B．864 C．936 D．1056 【变式8-1】“雍容华贵冠群芳，百卉争妍独占王．”牡丹花在很早之前就遍布世界各地，具有极高的观赏价值．某花房拟在一侧种植红、紫、白、蓝、黄、黑6色牡丹，种植时，黑牡丹与紫牡丹分别种在两端，白牡丹和蓝牡丹相邻．若白牡丹与黑牡丹不相邻，则不同的种植方法共有（    ） A．24种 B．20种 C．12种 D．22种 【变式8-2】甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中甲家庭有2个大人和2个小孩，乙家庭有2个大人和3个小孩，他们9人在景区门口站成一排照相，要求每个家庭的成员要站在一起，且同一家庭的大人不能相邻，则所有不同站法的种数为（    ） A．144 B．864 C．1728 D．2880 【变式8-3】若某展览馆要把6件艺术品在展位上摆放成一排，要求其中的艺术品A和B必须相邻，且都不能与C相邻，则这样不同的排列方法数为（    ）． A．72 B．120 C．144 D．288 考点九：定序问题的处理 例9.某次演出有6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有____种． 【变式9-1】将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为A，B，C或C，B，A（可以不相邻），这样的排列方法有______种.（用数字作答） 【变式9-2】在8所高水平的高校代表队中，选择5所高校进行航模表演.如果、为必选的高校，并且在航模表演过程中必须按先后的次序（、两高校的次序可以不相邻），则可选择的不同航模表演顺序有_______. 【变式9-3】期中安排考试科目9门，语文，数学，英语三门课的前后顺序已经确定，则期中考试不同的安排顺序有______种． 【变式9-4】如图所示，某货场有三堆集装箱，每堆2个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是____________（用数字作答）. 考点十：间接法 例10.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”，合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每次讲一艺.讲座次序要求“数”不在第一次也不在第六次，“礼”和“乐”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（    ） A．480种 B．336种 C．144种 D．96种 【变式10-1】某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求体育不排在第一节，则该班周一上午不同的排课方案共有（    ） A．24种 B．18种 C．12种 D．6种 【变式10-2】某班在一次班团活动中，安排2名男生和4名女生讲演，为安排这六名学生讲演的顺序，要求两名男生之间不超过1人讲演，且第一位和最后一位出场讲演的是女生．则不同的安排方法总数为（　　） A．168 B．192 C．240 D．336 【变式10-3】某人根据自己爱好，希望从中选2个不同字母，从中选3个不同数字编拟车牌号，要求前3位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有（    ） A．198个 B．180个 C．216个 D．234个 一、单选题 1．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）计算 （    ） A．9×3 B． C．9×8×7 D．9×8×3 2．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东东营·阶段练习）（    ） A． B．3 C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）现需将编号分别为1，2，3，4，5的五人每人安排一天值班，则编号恰好奇偶相间的排班方法数共有（   ） A．8 B．12 C．24 D．36 5．（24-25高二上·辽宁·期末）国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可•波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变，则不同的方法种数为（   ） A．84 B．120 C．504 D．720 6．（24-25高二下·全国·课后作业）从2，3，5，7，11，13中取2个不同的数，其商的个数是（    ） A．18 B．21 C．30 D．36 7．（24-25高二下·全国·课后作业）为了丰富学生的课余生活，某校拟开展课外实践活动，有6种实践活动可供选择．若甲、乙、丙三名学生每人从中选择1种，且3人选择的实践活动不同，则不同的选法共有（    ） A．60种 B．80种 C．120种 D．150种 8．（23-24高二下·新疆阿克苏·阶段练习）现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有（ ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 9．（24-25高二上·河南驻马店·期末）某校A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，则不同的出场次序有（    ） A．18种 B．36种 C．60种 D．72种 10．（2024高三·全国·专题练习）某中学举行第四届校运会，高二10班的甲、乙、丙三名同学将参加四个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至多只有一人参加，则不同安排方法数为（    ） A．48 B．24 C．12 D．4 11．（2025高三·全国·专题练习）5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（    ） A．18 B．36 C．48 D．60 12．（2025高三·全国·专题练习）某班一天上午有4节课，下午有3节课，现在安排该班一天中语文、英语、物理、政治、体育各1节，数学2节，要求2节数学课都排在上午或下午且连续，体育课排在下午，则不同的排法种数是（    ） A．624 B．528 C．312 D．264 13．（24-25高二上·辽宁·期末）某校要从校广播站3名男同学和2名女同学中选出两人，分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同安排方法有（    ） A．14种 B．16种 C．18种 D．20种 14．（24-25高三上·湖北·阶段练习）甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有（    ） A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种 15．（24-25高二上·河南·阶段练习）在一次文物展览中，要将5件不同的文物从左到右摆成一排进行展示，其中有2件特殊的文物需要相邻摆放，则不同的排列方法有（    ） A．24种 B．48种 C．96种 D．120种 16．（24-25高三上·河北唐山·期末）甲、乙等5人站成一排，要求甲在中间，乙不在两端，则不同的排列方式共有（   ） A．12种 B．6种 C．24种 D．60种 17．（24-25高三上·湖北随州·期末）在某次太空游行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中，两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（   ） A．18种 B．36种 C．72种 D．108种 二、多选题 18．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（    ） A．任意站成一排，有120种排法 B．学生不相邻，有24种排法 C．教师相邻，有48种排法 D．教师不站在两边，有72种排法 19．（23-24高二下·江苏·阶段练习）下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）下列各式中，等于的等式正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）满足不等式的的值可为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 22．（24-25高二上·河南驻马店·期末）甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（   ） A．甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法 B．5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法 C．5人站成一排，甲不在两端，共有144种排法 D．5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法 23．（24-25高二上·甘肃白银·期末）“六艺”即“礼､乐､射､御､书､数”，为春秋战国时期读书人必须学习的六种技艺，分别为礼法､乐舞､射箭､驾车､书法和算术，其中射箭､驾车（御战车､驾车）为军事技能．某国学馆开设“传承优秀文化”专题培训班，对这六种技艺要逐项培训，下列叙述正确的是（    ） A．“礼”与“射”必须相邻的培训方法有种 B．先培训“数”后培训“乐”的培训方法种数为 C．“御､书､数”相邻的培训方法种数为 D．“射”排在最后的培训方法种数为 三、填空题 24．（2024·上海闵行·一模）从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为 ． 25．（24-25高三上·广东·阶段练习）甲、乙、丙等人站成一排，要求甲、乙不站在丙的同一侧，则不同的站法共有 种． 26．（2024高三·全国·专题练习）在如下的正方形“九空格”中，分别填入，并使得每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数字之和都相等的概率为，则 ．（参考数据：）    27．（24-25高二上·辽宁·期末）有一种运算，三个互异的数，，运算时可以有不同的运算方法，如，，，，，就是其中6种不同的运算方法.设个互异的数的不同运算方法共有种，则 ， （用数字作答）. 28．（22-23高二上·甘肃酒泉·期末）名男生、名女生站成一排，至少有两个女生相邻的站法种数为 （用数字作答）． 29．（24-25高三上·湖北十堰·期末）由数字1，2构成一个9位的数字序列，含有连续子序列1221的数字序列有 个.（例如122122211，212112211符合题意） 四、解答题 30．（24-25高二下·全国·课后作业）计算下列各式． (1)； (2)． 31．（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 32．（24-25高二上·河南·期中）5名工作人员在社区开展交通安全宣讲活动，活动结束后，5名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念. (1)要求小王与工作人员甲､乙都相邻，有多少种不同的站法？ (2)若这5名工作人员中，甲､乙､丙的身高互不相等，拍照时甲､乙､丙三人按从高到低的顺序从左到右排列（不一定相邻），有多少种不同的站法？ (3)若工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端，有多少种不同的站法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 33．（24-25高二上·北京·阶段练习）有四个数字， (1)可以组成多少个四位数？ (2)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？ (3)若将由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，则第10个四位数是多少？（直接写出答案即可） 34．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）求下列问题的排列数： (1)4名男生3名女生排成一排，3名女生相邻； (2)4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相邻； (3)4名男生3名女生排成一排，女生不能排在两端. 35．（23-24高二下·全国·课后作业）用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（列式并计算） (1)六位数； (2)六位奇数； (3)能被5整除的六位数； (4)组成的六位数按从小到大顺序排列，第265个数是多少？ 36．（24-25高二上·上海浦东新·期中）3名男生和4名女生站成一排拍照，在下列要求下分别求不同排列方法的数目. (1)学生甲不在最左边； (2)3名男生必须排在一起. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$