专题16 组合7种常见考法归类-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（苏教版2019）

专题16 组合7种常见考法归类 思维导图 核心考点聚焦 考点一、组合的概念及判断 考点二、组合数公式的应用 考点三、分组分配问题 考点四、隔板法的应用 考点五、实际问题中的组合计数问题 考点六、代数中的组合计数问题 考点七、几何组合计数问题 一、组合 1、定义：一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做个不同元素中取出个元素的一个组合。 2、两个组合相同的条件：两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的。 3、对组合概念的两点说明： （1）组合的特点：组合要求个元素是不同的，被取出的个元素也是不同的，即从个不同元素中进行次不放回地取出； （2）组合的特性：元素是无序的，即取出的个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求。 二、组合数与组合数公式 1、组合数：从个不同元素中取出个元素所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示。 2、组合数公式：（，且） 注：组合数公式的推导： （1）从4个不同元素中取出3个元素的组合数是多少呢？． （2）推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；② 求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：＝． 3、组合数的性质： （1）； （2）； （3）规定 三、排列与组合的相同点与不同点 1、相同点：组合与排列都是“从不同的元素中取出个元素” 2、不同点：组合中要求元素“不管元素的顺序合成一组”，而排雷中要求元素“按照一定的顺序排成一列”，因此区分某一个问题是组合问题还是排列问题，关键是看选出的元素是否与顺序有关，即交换某两个元素的位置对结果没有影响，若有影响，则是排雷问题，若无影响，则是组合问题。 1、组合问题的2类题型及求解方法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． 2、分组、分配问题的求解策略 （1）对不同元素的分配问题 ①对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． ②对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． ③对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． （2）对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”． 考点剖析 考点一、组合的概念及判断 1．（2023下·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 2．（2023下·山西晋中·高二校考期中）下列问题中不是组合问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线 C．集合的含有三个元素的子集有多少个 D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 3．（2023上·高二课时练习）判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）两个组合相同的充要条件是组成组合的元素完全相同．( ) （2）从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为.( ) （3）从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，求有多少种不同的选法是组合问题．( ) （4）把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且必须分完，求有多少种分法是排列问题.( ) 考点二、组合数公式的应用 4．（2024上·辽宁·高二校联考期末）（    ） A．120 B．119 C．110 D．109 5．（2024上·吉林·高二校联考期末）计算的值是（    ） A．62 B．102 C．152 D．540 6．（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末）（1）已知，计算：； （2）解方程：． 7．（2023上·高二课时练习）解关于正整数x的方程： (1)； (2)． 8．（2023上·高二课时练习）