6.2.3 向量的数乘运算 （教学课件）-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

第 6 章 平面向量及其应用 高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019） 6.2.3 向量的数乘运算 学习目标 了解向量数乘的概念. 理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算. 理解并掌握向量共线定理及其判定方法． 目录 CATALOG 01.向量数乘运算的定义 03.题型强化训练 02.向量数乘运算的运算律 04.小结及随堂练习 01 向量数乘运算的定义 6.2.3 向量的数乘运算 学习新知 了解向量数乘的概念. 理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算. 理解并掌握向量共线定理及其判定方法． 学习新知 探究 O A B C N M Q P 图6.2-14 学习新知 探究 O A B C N M Q P 图6.2-14 学习新知 你对零向量、相反向量有什么新的认识？ 02 向量数乘运算的运算律 6.2.3 向量的数乘运算 学习新知 学习新知 学习新知 根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律是成立的． 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量． 学习新知 学习新知 学习新知 向量线性运算的方法 学习新知 A B C D M 图6.2-15 学习新知 学习新知 用已知向量表示其他向量的两种方法 学习新知 可以发现，实数与向量的积与原向量共线． 引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 探究 学习新知 学习新知 图6.2-16 学习新知 图6.2-16 O A B C 图6.2-17 学习新知 学习新知 学习新知 学习新知 用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路 学习新知 重要结论 证明 03 题型强化训练 6.2.3 向量的数乘运算 能力提升 题型一：向量的数乘运算 能力提升 题型一：向量的数乘运算 能力提升 题型二：向量的线性运算 能力提升 题型二：向量的线性运算 能力提升 题型三：用已知向量表示其他向量 能力提升 题型三：用已知向量表示其他向量 能力提升 题型四：向量共线定理 能力提升 题型四：向量共线定理 能力提升 题型四：向量共线定理 04 小结及随堂练习 6.2.3 向量的数乘运算 课堂总结1 课堂总结2 作业 教材第15页练习第1~3题. 习题6.2 8.(2)(3)(4),9题 6.2.3 向量的数乘运算 练习（第15页） 练习（第15页） A B C 练习（第15页） 练习（第16页） 练习（第16页） 练习（第16页） 练习（补充练习） A B C B 练习（补充练习） 练习（补充练习） 练习（补充练习） A B C D 练习（补充练习） A B D C C 练习（补充练习） A B C D M N 练习（补充练习） A B C D N M O THANKS 感谢您的聆听 高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019） 【详解】因为 与 是共线向量，所以存在实数 ，使得 ， 所以 ，即 ， 又因为 是两个不共线的向量， 所以 ，解得 . 故答案为：- 4. 【变式】已知 是两个不共线的向量， ， 若 与 是共线向量，则实数 . (1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数是向量的系数； (2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．　　　　 【详解】如图， . 故选：C 【变式】在△ABC中,点D满足 ,点E满足 ,则 =（    ） A． B． C． D． (1)直接法 (2)方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．　　　　 【详解】(1) ,又 , , ,又 , A,B,D三点共线； 向量 和 共线, 存在实数k使 ， 又 , 是不共线, ,解得 . 【变式】已知 , 是两个不共线的向量. (1)若 , , ,求证：A,B,D三点共线； (2)若 和 共线,求实数 的值． 【详解】向量 ， 共线，所以存在实数 ， 使得 ， 由于 , 是两个不共线的向量， 所以 且 ，所以 ， 故答案为：2 【变式】已知 , 是两个不共线的向量， 向量 ， 共线，则实数t的值为 . (1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行； (2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重 合．例如，若向量eq \o(AB,\s\up17(―→))＝λeq \o(AC,\s\up17(―→))，则eq \o(AB,\s\up17(―→))，eq \o(AC,\s\up17(―→))共线，又eq \o(AB,\s\up17(―→))与eq \o(AC,\s\up17(―→))有 公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．　　　　 【练习1】（多选）下列结论中正确的有 （    ） A．对于实数m和向量 ， ，恒有 B．对于实数m，n和向量 ，恒有 C．对于实数m和向量 ， ，若 ，则 D．对于实数m，n和向量 ，若 ，则 【答案】AB 【详解】由数乘向量运算律，得A，B均正确； 对于C，若m＝0，则 ，未必一定有 ，错误； 对于D，若 ，由 ，未必一定有 ，错误．故选：AB． 用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路 (1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行； (2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合． 例如，若向量eq \o(AB,\s\up7(―→))＝λeq \o(AC,\s\up7(―→))，则eq \o(AB,\s\up7(―→))，eq \o(AC,\s\up7(―→))共线， 又eq \o(AB,\s\up7(―→))与eq \o(AC,\s\up7(―→))有公共点A，从而A，B，C三点共线， 这是证明三点共线的重要方法．　　　　 (3)λ的正负决定向量 λa(a≠0) 的方向，λ的大小决定 λa的模． 【练习2】已知平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，AC与BE相交 于点F，若 ，则( ) A． B． C． D． 【详解】 为边 的中点， ， ，又 ， . 故选：A. 【反思感悟】向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中 的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积 中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的 系数． (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解 方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简 化运算． (3)向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则，实数 运算中去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中均可使 用． 【练习3】已知在 中，D为AC的中点，点E满足 ，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图， ． 故选：D 【反思感悟】用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中，然后利 用向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量． (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法 则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量 的方程． 【答案】B 【详解】因为 ，则N为AB的中点， 可得 ， 注意到C，P，N三点共线，可得 ，又因为A，P，M 三点共线，则 ，则存在实数k，使得 ， 【练习4】在 中， ， ，AM与CN 交于点P，且 ，则 （    ） A． B． C． D．1 【详解】即 ，则 ， 可得 ，综上所述： ， 解得 ，可得 . 故选：B. 【练习4】在 中， ， ，AM与CN 交于点P，且 ，则 （    ） A． B． C． D．1 【反思感悟】 (1)证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ， 使得eq \o(AB,\s\up6(→))＝λeq \o(AC,\s\up6(→))(或eq \o(BC,\s\up6(→))＝λeq \o(AB,\s\up6(→))等)即可． (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数对应 相等求解． 1．知识清单： (1)向量的数乘及运算律． (2)向量共线定理． (3)三点共线的常用结论． 2．方法归纳：数形结合法、分类讨论法． 3．常见误区：忽视零向量这一个特殊向量． $$