第一章 三角函数（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记·巧练（北师大版2019必修第二册）

第一章 三角函数 （单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若扇形的面积为､半径为2，则扇形的圆心角为（    ） A． B． C． D． 2.要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有点 A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度 3.已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4.下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 5.若函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 6.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（    ） ①关于点对称； ②关于直线对称； ③在区间上单调递减； ④在区间上的值域为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7.已知函数，则结论正确的是（    ） A．的图象关于点中心对称 B．的图象关于直线对称 C．在区间内有2个零点 D．在区间上单调递增 8.在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.一个回归年定义为从某年春分到次年春分所经历的时间，也指太阳直射点回归运动的一个周期.某科技小组以某年春分为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）.设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y，该小组通过对数据的整理和分析，得到y与x近似满足，则四个回归年对应的天数约为（参考数据：，结果精确到个位）（    ） A．1461 B．1459 C．1430 D．1427 第二部分（非选择题 共92分） 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列四个命题正确的是（    ） A．若且，则为第二象限角 B．将分针拨快15分钟，则分针转过的角度为 C． D．的图象关于直线对称 10.一半径为3.6米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1.8米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每60秒转动一圈，如果当水轮上点P从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则下列判断正确的有（    ） A．点P第一次到达最高点需要20秒 B．在水轮转动的一圈内，有40秒的时间，点P在水面的上方 C．当水轮转动95秒时，点P在水面上方，点P距离水面1.8米 D．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，点P距离水面0.9米 11.已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A． B．在区间有两个零点 C．直线是曲线的对称轴 D．在区间单调递增 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.用一根长度为2的绳子围成一个扇形，当扇形面积最大时，其圆心角的弧度数为 . 13.已知，，则 ． 14.如图所示的弹簧振子在之间做简谐运动，振子向右运动时，先后以相同的速度通过两点，经历的时间为，过N点后，再经过第一次反向通过N点，振子在这内共通过了的路程，则振子的振动周期 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）求值： （1）； （2）. 16.（15分）利用弧度制证明下列关于扇形的公式：其中是圆的半径，为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积. (1)； (2)； (3). 17.（15分）已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)将函数的图像向左平移个单位长度，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，求的单调区间． 18.（17分）已知函数部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)已知，若，求的值； 19.（17分）（2024高三·全国·专题练习）某市物价局调查了某种治疗H1N1流感的常规药品在2014年每个月的批发价格和该药品在药店的销售价，调查发现，该药品的批发价格按月份以12元/盒为中心价随某一正弦型曲线上下波动，且3月份的批发价格最高，为14元/盒，7月份的批发价格最低，为10元/盒．该药品在药店按月份以14元/盒为中心价随另一正弦型曲线上下波动，且5月份的销售价格最高，为16元/盒，9月份的销售价格最低，为12元/盒． (1)求该药品每盒的批发价格和销售价格关于月份的函数解析式； (2)假设某药店每月初都购进这种药品盒，且当月售完，求该药店在2014年哪些月份是盈利的？说明你的理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角函数 （单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若扇形的面积为､半径为2，则扇形的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】根据扇形面积公式求解即可. 【详解】设扇形的圆心角为， 则，即，解得. 故选：D. 2.要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有点 A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度 【答案】A 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据图像变换：左加右减，判断出正确选项. 【详解】由变换成，根据“左加右减”可知，应向左平移个单位长度. 故选：A. 3.已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】由三角函数的符号确定角所在的象限. 【详解】由三角函数的定义可知，为第一、二象限角或终边在轴正半轴上；由为第一、四象限角或终边在轴的正半轴上， 两个条件同时成立，则为第一象限角. 故选：A. 4.下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、比较正弦值的大小、比较正切值的大小、比较对数式的大小 【分析】根据三角函数的单调性及诱导公式，判断A,D．根据指数函数及对数函数的单调性判断指数式及对数式的大小范围即可． 【详解】对于A， ， 因为在随着角的增大而增大，而， 所以，故A错误； 对于B，，所以，故B错误； 对于C，因为在R上单调递增，所以， 又因为在上单调递增，所以，所以，C错误； 对于D: 在单调递增，， 所以，D正确； 故选：D. 5.若函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】求sinx的函数的单调性、利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】首先求出函数的单调区间，再根据题意求出的取值范围，即可得解. 【详解】对于函数，令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，， 当时函数的一个单调递增区间为， 又函数在上单调递增，所以， 则的最大值为. 故选：B 6.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（    ） ①关于点对称； ②关于直线对称； ③在区间上单调递减； ④在区间上的值域为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】先根据函数的图象得出函数的解析式，再应用代入检验得出对称性判断①②，再根据单调性判断③，计算值域判断④. 【详解】由函数图象可知， ， 由图象可知，即 当时，，不关于点对称,①错误； 为，关于直线对称,②正确； 当时，单调递减，③正确； 当时，，，④错误. 故选：B. 7.已知函数，则结论正确的是（    ） A．的图象关于点中心对称 B．的图象关于直线对称 C．在区间内有2个零点 D．在区间上单调递增 【答案】D 【知识点】求函数零点或方程根的个数、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】A、B应用代入法判断对称轴和对称中心；C、D根据给定区间求的范围，结合正弦型函数的性质求零点和单调性. 【详解】A：，故不是对称中心，错误； B：，故不是对称轴，错误； C：在，则，故，可得，所以为在内的唯一零点，错误； D：在，则，故递增，正确. 故选：D 8.在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.一个回归年定义为从某年春分到次年春分所经历的时间，也指太阳直射点回归运动的一个周期.某科技小组以某年春分为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）.设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y，该小组通过对数据的整理和分析，得到y与x近似满足，则四个回归年对应的天数约为（参考数据：，结果精确到个位）（    ） A．1461 B．1459 C．1430 D．1427 【答案】A 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用周期公式求出一个回归年对应的天数，即可得到四个回归年的天数 【详解】解：因为最小正周期， 所以一个回归年对应的天数约为365.248，则四个回归年对应的天数为， 故选：A 第二部分（非选择题 共92分） 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列四个命题正确的是（    ） A．若且，则为第二象限角 B．将分针拨快15分钟，则分针转过的角度为 C． D．的图象关于直线对称 【答案】ACD 【知识点】判断或证明函数的对称性、任意角的概念、由三角函数式的符号确定角的范围或象限、比较余弦值的大小 【分析】利用三角函数值符号判断A；利用任意角的意义判断B；利用余弦函数的性质判断C；利用轴对称的性质判断D. 【详解】对于A，由，为第二、四象限角， 由，得为第一、二象限角，或终边在轴的正半轴， 因此为第二象限角，A正确； 对于B，将分针拨快15分钟，则分针转过的角度为，B错误； 对于C，， 因为，得，所以，C正确； 对于D，， 因此的图象关于直线对称，D正确. 故选：ACD. 10.一半径为3.6米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1.8米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每60秒转动一圈，如果当水轮上点P从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则下列判断正确的有（    ） A．点P第一次到达最高点需要20秒 B．在水轮转动的一圈内，有40秒的时间，点P在水面的上方 C．当水轮转动95秒时，点P在水面上方，点P距离水面1.8米 D．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，点P距离水面0.9米 【答案】ABC 【知识点】周期现象、三角函数在生活中的应用 【分析】结合周期性以及角度判断出正确答案. 【详解】设水面为， 过作直径，垂足为， 依题意米，所以，， 第一次到达最高点需要的时间为秒，A选项正确. 根据对称性可知，由运动到，需要时间秒，B选项正确. 当水轮转动秒时，位置与秒时相同， 秒转过的角度为， 如图中的位置，其中，故此时在水面上方，距离水面的距离等于米，C选项正确. 当水轮转动秒时，位于的位置，距离水面米，D选项错误. 故选：ABC 11.已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A． B．在区间有两个零点 C．直线是曲线的对称轴 D．在区间单调递增 【答案】ABD 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据正弦型函数的对称性、单调性，结合函数零点的定义逐一判断即可. 【详解】对于A,代入点，得, ,,,故A正确; 对于B,由， ，所以或，所以该函数在区间有两个零点，故B正确； 对于C,代入，，故C错误; 对于D, 处于正弦函数的递增区间内，故D正确． 故选：ABD 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.用一根长度为2的绳子围成一个扇形，当扇形面积最大时，其圆心角的弧度数为 . 【答案】 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用、基本不等式求积的最大值 【分析】根据已知条件及基本不等式，利用弧长公式及扇形的面积公式即可求解. 【详解】设扇形的弧长为，半径为，则，， 则，当且仅当时，等号成立， 所以扇形面积， 当时，扇形面积取得最大为. 所以圆心角的弧度数为. 故答案为:. 13.已知，，则 ． 【答案】 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用三角函数的基本关系式结合即可求得和的具体值，则可求. 【详解】因为， 由 解得或 又， 所以，， 所以． 故答案为：. 14.如图所示的弹簧振子在之间做简谐运动，振子向右运动时，先后以相同的速度通过两点，经历的时间为，过N点后，再经过第一次反向通过N点，振子在这内共通过了的路程，则振子的振动周期 ． 【答案】4 【知识点】周期现象 【分析】分析运动的过程，先求出半个周期，即可求出整个周期. 【详解】简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过M、N两点，则可判定这两点关于平衡位置O点对称，所以质点由M到O时间与由O到N的时间相等.那么平衡位置O到N点的时间t1=0.5，因过N点后再经过t2=1质点以方向相反、大小相同的速度再次通过N点，所以振子从O点经过N点到最大位置，再返回平衡位置O点的时间是0.5+1+0.5=2，为半个周期，因此，质点振动的周期是T=2×2=4. 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）求值： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用诱导公式化简 【详解】（1） （2）原式 16.（15分）利用弧度制证明下列关于扇形的公式：其中是圆的半径，为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】（1）利用弧度的定义证明即可； （2）利用扇形的面积公式化简即可; （3）利用和进行代换即可. 【详解】（1）由公式可得：. （2）半径为，圆心角为的扇形的面积公式是：, 将转换为弧度制，得：， 于是. （3）将代入，即得. 17.（15分）已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)将函数的图像向左平移个单位长度，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，求的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为． 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】（1）利用三角函数的周期公式可得答案； （2）利用三角函数图像平移规律、伸缩变换得到函数的图像的解析式，再利用正弦函数的单调性可得答案. 【详解】（1）由题意，知，所以； （2）由（1），知， 将函数的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像， 再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图像， 由，得； 由，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 18.（17分）已知函数部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)已知，若，求的值； 【答案】(1) (2) 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据最大值和最小值先求出和，根据图象与轴的交点求出，再利用对称轴即可求出，进而求解解析式； （2）先利用诱导公式将化简，利用求出，然后再由齐次式即可求解. 【详解】（1）由图象可知：，，由正弦函数的性质可知：，则，所以，又因为为函数的一条对称轴，所以，解得：，又， 所以，所以函数的解析式为. （2） 因为，所以， 则. 19.（17分）（2024高三·全国·专题练习）某市物价局调查了某种治疗H1N1流感的常规药品在2014年每个月的批发价格和该药品在药店的销售价，调查发现，该药品的批发价格按月份以12元/盒为中心价随某一正弦型曲线上下波动，且3月份的批发价格最高，为14元/盒，7月份的批发价格最低，为10元/盒．该药品在药店按月份以14元/盒为中心价随另一正弦型曲线上下波动，且5月份的销售价格最高，为16元/盒，9月份的销售价格最低，为12元/盒． (1)求该药品每盒的批发价格和销售价格关于月份的函数解析式； (2)假设某药店每月初都购进这种药品盒，且当月售完，求该药店在2014年哪些月份是盈利的？说明你的理由． 【答案】(1)，； (2)在2014年4月、5月、6月、7月、8月、12月是盈利的，理由见解析． 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）设，根据价格最高和最低可求得振幅，根据月份求得周期，进而可求得，把代入函数式求得，则函数的解析式可得，同理可求得该药品每件的销售价格函数解析式； （2）设该药店第月购进这种药品盒所获利润为元，则根据把（1）中求得和代入整理，根据，求得的范围，进而得解. 【详解】（1）由题意， 设，由已知，，． 又周期，则． 从而． 因为，则，即，可取． 故该药品每盒的批发价格函数解析式为． 同理，该药品每盒的销售价格函数解析式为． （2）设该药店第月购进这种药品盒所获利润为元，则 ， 由，得，即， 所以，， 即，， 因为且，则， 故该药店在2014年4月、5月、6月、7月、8月、12月是盈利的． / 学科网（北京）股份有限公司 $$