4.3.2等比数列的前n项和公式教学设计-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.2《等比数列的前n项和公式》教学设计 一、教学目标 1. 新课标要求： 0. 理解等比数列前项和公式的推导方法，掌握公式的应用。 0. 能运用等比数列前项和公式解决一些简单的实际问题，体会数学的应用价值。 1. 核心素养： 1. 数学抽象：通过对麦粒问题的分析，抽象出等比数列的求和模型，培养学生的数学抽象能力。 1. 逻辑推理：在公式推导过程中，引导学生运用错位相减法进行推理，锻炼逻辑思维能力。 1. 数学运算：通过例题和练习，让学生熟练运用等比数列前项和公式进行计算，提高运算能力。 1. 数学建模：利用实际问题（如正方形面积问题、垃圾处理问题等）建立等比数列模型，培养学生的数学建模意识和能力。 二、教学重难点 1. 教学重点： 2. 等比数列前项和公式的推导及应用。 2. 运用等比数列前项和公式解决实际问题。 1. 教学难点： 3. 等比数列前项和公式推导过程中错位相减法的理解和运用。 3. 实际问题中如何建立等比数列模型并运用公式求解。 三、教学方法 讲授法、启发式教学法、讨论法、练习法 四、教学过程 （一）导入（5分钟） 1. 展示教材图片（国际象棋棋盘与麦粒）： 同学们，今天我们先来看一个有趣的故事。相传国际象棋起源于古印度，国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么。发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。请给我足够的麦粒以实现上述要求。”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了。 1. 提问引导：同学们，你们觉得国王能满足他的要求吗？我们一起来分析一下。如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2。那求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和。 （二）新课讲授（20分钟） 1. 等比数列前项和公式推导： 3. 设等比数列的首项为，公比为，则其前项和根据等比数列的通项公式，上式可写成 ①. 3. 我们发现，如果用公比乘①的两边，可得 ② 3. ①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，可得，即. 3. 因此，当时，我们就得到了等比数列的前项和公式 ().因为，所以公式还可以写成 (). 3. 当时，等比数列的每一项都相等，所以前项和. 3. 结合刚才的麦粒问题，由，，，可得. 3. 这个数很大，超过了，如果一千颗麦粒的质量约为40g，那么这些麦粒的总质量超过了7000亿吨，约是2016 - 2017年度世界小麦产量的981倍，所以国王根本不可能实现他的诺言。通过这个实例，让学生深刻体会等比数列前(n)项和公式的威力以及数学在实际问题中的应用。 1. 例题讲解（结合教材例7）： 3. 例7（1）：已知数列是等比数列，若求； 3. （2）：若求； 3. （3）：若求. （三）课堂活动（10分钟） 1. 小组讨论（结合教材例10）： 3. 展示教材图4.3 - 2（正方形ABCD及后续作的正方形）， 3. 提出问题：如图4.3 - 2，正方形ABCD的边长为5cm， 3. 取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH， 3. 然后再取正方形EFGH)边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL， 3. 依此方法一直继续下去。 3. 问题（1）：求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和； 3. 问题（2）：如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 3. 让学生分组讨论，分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列。设正方形ABCD的面积为，后续各正方形的面积依次为则.由于第k + 1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以，因此，是以25为首项，为公比的等比数列。设的前项和为. 3. 每个小组讨论出解题思路和方法，然后派代表上台展示，教师进行点评和总结。 （四）课堂练习（8分钟） 1. 学生独立完成教材练习中的题目（如第37页练习1）： 3. （1）已知数列是等比数列，若求； 3. （2）若求； 3. （3）若求与. 1. 教师巡视，个别指导。 （五）课堂小结（2分钟） 1. 引导学生回顾本节课的主要内容： 3. 等比数列前项和公式的推导方法（错位相减法）及公式的两种形式时，和；时， 3. 等比数列前项和公式在实际问题（如麦粒问题、正方形面积问题等）中的应用，强调建立数学模型的重要性。 1. 提问学生：在本节课的学习中，你遇到了哪些困难？是如何解决的？还有哪些疑问？ 五、作业布置 1. 书面作业：教材第37页练习剩余题目，第41页综合运用第5 - 9题。 1. 拓展作业：查阅资料，寻找生活中其他可以用等比数列前项和公式解决的实际问题，并尝试解决，下节课进行分享。 六、教学反思 在教学过程中，要关注学生对公式推导过程的理解，尤其是错位相减法，对于部分学生可能会有困难，需要在课堂上给予更多的时间和指导。在例题和练习的选择上，要注意难度的梯度，让不同层次的学生都能有所收获。同时，通过实际问题的引入和解决，让学生感受到数学与生活的紧密联系，提高学生学习数学的兴趣和积极性。在今后的教学中，要进一步加强对学生数学思维和应用能力的培养，提高课堂教学效率。 学科网（北京）股份有限公司 $$