第03讲二项式定理（2大知识点+11大题型+分层练习）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2019选修三）

第03讲 二项式定理 目录 题型归纳 1 题型01 求二项展开式和二项展开式的应用 3 题型02 求指定项的二项式系数和求指定项的系数 3 题型03 二项式系数的增减性和最值 4 题型04 二项式的系数和 5 题型05 求有理项或其系数 5 题型06 二项展开式各项的系数和 6 题型07 奇次项与偶次项的系数和 7 题型08 三项展开式的系数问题 7 题型09 两个二项式乘积展开式的系数问题 8 题型10 由二项展开式各项系数和求参数 8 题型11 杨辉三角 9 分层练习 11 夯实基础 11 能力提升 14 知识点01 二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 =++++++.(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, ,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：=. (2)二项展开式的规律 ①二项展开式一共有(n+1)项. ②(n+1)项按a的降幂b的升幂排列. ③每一项中a和b的幂指数之和为n. 知识点02 二项式系数的性质 1．二项式系数的性质 (1)杨辉三角——二项式系数表 当n依次取1,2,3,时，观察的展开式的二项式系数： 从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结 果，由此我们可以发现以下性质： ①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的 二项式系数相等. ②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. ③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大. ④第一行的两个数之和为2=，第二行的三个数之和为4=，，第六行的各数之和为，， 第n行的(n+1)个数之和为. (2)二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 题型01求二项展开式和二项展开式的应用 【例1】（21-22高二·江苏南京·期中）化简的结果为（    ） A．x4 B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知(均为有理数),则的值为（    ） A．90 B．91 C．98 D．99 【变式2】（20-21高二·全国·课后作业）二项式的展开式中为常数项的是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【变式3】（23-24高二上·江西赣州·期末）展开式中的常数项为 ． 题型02 求指定项的二项式系数和求指定项的系数 【例2】（23-24高二上·北京西城·期末）在的展开式中，的系数为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式1】（20-21高二上·北京·期末）已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，则的系数为（    ） A．14 B． C．240 D． 【变式2】（23-24高二上·浙江杭州·期末）的展开式中的系数为 ． 【变式3】（23-24高二上·辽宁·期末）已知在（）的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比值为2. (1)求的值； (2)求展开式中含的项. 题型03 二项式系数的增减性和最值 【例3】（23-24高二上·辽宁大连·期末）的展开式中，二项式系数最大的是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【变式1】（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式的项数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式2】（22-23高二上·山东潍坊·期末）若的展开式中第5项的二项式系数最大,则自然数n的值可以为 (只写一个即可). 【变式3】（23-24高二上·江西宜春·期末）（1）若，求的值； （2） 在的展开式中，求二项式系数最大的项 题型04 二项式的系数和 【例4】（23-24高二上·辽宁·期末）已知的展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中第4项的系数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高二上·辽宁大连·期末）二项式的展开式中，各项二项式系数的和是（    ） A．2 B．8 C．16 D．32 【变式2】（24-25高二上·辽宁锦州·期末）若的展开式中二项式系数和为32，则展开式中最高次项的系数为 ． 【变式3】（23-24高二上·福建漳州·期末）已知的展开式中，所有二项式系数的和为32． (1)求的值； (2)若展开式中的系数为，求的值． 题型05 求有理项或其系数 【例5】（22-23高二上·甘肃庆阳·期末）在的展开式中，系数为有理数的项是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【变式1】（20-21高二上·辽宁沈阳·期末）在的展开式中有理项的项数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式2】（23-24高二上·甘肃白银·期末）的展开式中有理项的个数为 . 【变式3】（21-22高二上·湖南长沙·期末）的展开式的常数项是 ． 题型06 二项展开式各项的系数和 【例6】（23-24高二上·北京昌平·期末）若，则（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【变式1】（23-24高二上·山东潍坊·期末）则（ ） A．0 B．1 C．2 D． 【变式2】（24-25高二上·北京·期末）设，则 . 【变式3】（24-25高二上·辽宁·期末）若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且. (1)求的系数； (2)求的值. 题型07 奇次项与偶次项的系数和 【例7】（23-24高二上·湖南长沙·期末），则（    ） A． B．0 C．32 D．64 【变式1】（22-23高二上·河南驻马店·期末）已知，记，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高二上·福建福州·期末）若，则 . 【变式3】（23-24高二上·山东德州·期末）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 题型08 三项展开式的系数问题 【例8】（24-25高二上·辽宁·期末）的展开式中，含的项的系数为（    ） A．240 B． C．560 D．360 【变式1】（22-23高二上·辽宁沈阳·期末）展开式中，的系数为（　　） A． B．320 C． D．240 【变式2】（22-23高二上·江西吉安·期末）在的展开式中，项的系数为 . 【变式3】（21-22高二上·江西上饶·期末）展开式中的系数是 . 题型09 两个二项式乘积展开式的系数问题 【例9】（24-25高二上·甘肃白银·期末）若的展开式中含的系数为15，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式1】（23-24高二上·湖北武汉·期中）展开式中的系数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·湖南长沙·期末）在展开式中，的系数为 . 【变式3】（23-24高二上·上海·期末）把称为的二项展开式所有项的二项式系数之和，其中是正整数． (1)若的所有项的二项式系数的和为，求展开式的常数项； (2)若展开式中第项系数为，求的展开式中的系数． 题型10 由二项展开式各项系数和求参数 【例10】（23-24高二上·黑龙江·期末）在的二项展开式中，各二项式系数之和为，各项系数之和为，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中各项的系数和为64，则正数的值为 . 【变式2】（23-24高二上·上海·期末）已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则展开式中的常数项为 . 【变式3】（23-24高二上·江西·期末）的展开式中，二项式系数之和为a，各项系数之和为b，且． (1)求n的值； (2)求的展开式中的常数项． 题型11 杨辉三角 【例11】（23-24高二上·江西·期末）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·山东德州·期末）将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（为正整数），则下列结论中正确的是（   ） 第0行                  第1行                   第2行                      第3行                       ……             …… A．当时中间的两项相等，且同时取得最大值 B．当时中间一项为 C．第6行第5个数是 D． 【变式2】（21-22高二上·辽宁大连·期末）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．如图所示的杨辉三角中，第8行，第3个数是（    ） 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 A．21 B．28 C．36 D．56 【变式3】（21-22高二上·辽宁沈阳·期末）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算术》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，若用表示三角形数阵中的第m行第n个数，则 （结果用数字作答）． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·辽宁·期末），则（    ） A．31 B．1023 C．1024 D．32 2．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知的展开式共有项，则该展开式中含的项的系数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁·期末）已知的展开式中，常数项为135，则的值为（    ） A．2 B．2或 C．3 D．3或 4．（24-25高二上·广西·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·山东潍坊·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·福建宁德·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．展开式中二项式系数最大的项为第项 三、填空题 7．（24-25高二上·辽宁·期末）的展开式中，的系数是 .（用数字作答） 8．（24-25高二上·上海奉贤·期中）在的展开式中，只有第4项的系数最大，则等于 ． 四、解答题 9．（23-24高二上·山东东营·期末）已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和分别为和，且. (1)求正整数的值； (2)求其展开式中所有的有理项. 10．（23-24高二上·福建宁德·期末）已知的展开式中的所有二项式系数之和为． (1)求的值； (2)求展开式中的常数项． 11．（23-24高二上·福建龙岩·期末）在①各项系数之和为；②常数项为；③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题. 在的展开式中， . (1)求n； (2)证明：能被6整除. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 12．（24-25高二上·甘肃白银·期末）已知的展开式中共有9项. (1)求的值； (2)求展开式中的系数； (3)求二项式系数最大的项. 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二上·江西南昌·期末）的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为256，则中的系数为（    ） A．1 B．4或1 C．4或0 D．6或0 2．（23-24高二上·天津滨海新·期中）已知二项式的第4项二项式系数最大，则此二项式展开式中的常数项为（   ） A．40 B．120 C．180 D．240 3．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知的展开式中所有奇数项的二项式系数的和为，则展开式中有理项共有（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 4．（23-24高二上·甘肃白银·期末）的展开式中，含的项的系数是（    ） A． B．5 C．15 D．35 二、多选题 5．（23-24高二上·广东茂名·期中）已知的展开式共有13项，则下列说法正确的有（    ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．二项式系数最大的项为第7项 C．所有项的系数和为 D．有理项共有5项 6．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高二上·上海·期末）设，则 . 8．（22-23高二上·辽宁丹东·期末）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在年中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．如图所示的杨辉三角中，从第行开始，每一行除外，其他每一个数字都是其上一行的左右两个数字之和，若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为，则这一行是第 行． 四、解答题 9．（22-23高二上·河南南阳·期末）已知展开式的二项式系数和为512，． (1)求的值； (2)求系数绝对值最大的项. 10．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）在的展开式中，______. 给出下列条件：①二项式系数和为64；②各项系数之和为729；③第三项的二项式系数为15.试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求的值并求展开式中的常数项； (2)求展开式中的系数. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 11．（24-25高二上·甘肃·期末）在的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ (3)求系数最大的项． 12．（23-24高二上·江西新余·期末）已知二项式． (1)若，，求二项式的值被7除的余数； (2)若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二项式定理 目录 题型归纳 1 题型01 求二项展开式和二项展开式的应用 3 题型02 求指定项的二项式系数和求指定项的系数 5 题型03 二项式系数的增减性和最值 7 题型04 二项式的系数和 9 题型05 求有理项或其系数 11 题型06 二项展开式各项的系数和 13 题型07 奇次项与偶次项的系数和 15 题型08 三项展开式的系数问题 17 题型09 两个二项式乘积展开式的系数问题 19 题型10 由二项展开式各项系数和求参数 22 题型11 杨辉三角 24 分层练习 28 夯实基础 28 能力提升 35 知识点01 二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 =++++++.(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, ,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：=. (2)二项展开式的规律 ①二项展开式一共有(n+1)项. ②(n+1)项按a的降幂b的升幂排列. ③每一项中a和b的幂指数之和为n. 知识点02 二项式系数的性质 1．二项式系数的性质 (1)杨辉三角——二项式系数表 当n依次取1,2,3,时，观察的展开式的二项式系数： 从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结 果，由此我们可以发现以下性质： ①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的 二项式系数相等. ②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. ③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大. ④第一行的两个数之和为2=，第二行的三个数之和为4=，，第六行的各数之和为，， 第n行的(n+1)个数之和为. (2)二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 题型01求二项展开式和二项展开式的应用 【例1】（21-22高二·江苏南京·期中）化简的结果为（    ） A．x4 B． C． D． 【答案】A 【知识点】求二项展开式 【分析】逆用二项展开式定理即可得答案. 【详解】 故选：A. 【变式1】（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知(均为有理数),则的值为（    ） A．90 B．91 C．98 D．99 【答案】D 【知识点】二项展开式的应用 【分析】根据二项式的展开式通项公式代入运算即可. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以． 故选：D 【变式2】（20-21高二·全国·课后作业）二项式的展开式中为常数项的是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【知识点】求二项展开式 【分析】根据给定二项式求出其展开式的通项，再求出通项中x的幂指数为0所对项数即可. 【详解】依题意，的展开式的通项为，， 令，得，即是二项式的展开式的常数项， 所以展开式中的常数项是第5项. 故选：C 【变式3】（23-24高二上·江西赣州·期末）展开式中的常数项为 ． 【答案】15 【知识点】二项展开式的应用 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为，求出的值，从而可得展开式中的常数项. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，得， 所以展开式中的常数项为. 故答案为：15 题型02 求指定项的二项式系数和求指定项的系数 【例2】（23-24高二上·北京西城·期末）在的展开式中，的系数为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【知识点】求指定项的系数、求指定项的二项式系数 【分析】写出每一项的表达式，即可得出的系数. 【详解】由题意， 在中，每一项为， 当即时，， 故选：D. 【变式1】（20-21高二上·北京·期末）已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，则的系数为（    ） A．14 B． C．240 D． 【答案】C 【知识点】求指定项的二项式系数、求指定项的系数 【解析】先写二项展开式的通项公式及展开式中第2项与第3项的二项式系数，利用已知条件求得n值，再令展开式通项中的指数为，求得，计算该项的系数即可． 【详解】二项展开式的第项的通项公式为， 由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5， 可得：，即，故，解得：. 所以中， 令，解得：， 所以的系数为， 故选：C. 【点睛】易错点点睛： 二项式的展开式中，学生容易混淆二项式系数和项的系数，而出现答题失误.二项式系数是指展开式中每一项的组合数，而项的系数是指前面乘的全部常数（包括符号），因此做题时一定要看清楚题中条件和要求. 【变式2】（23-24高二上·浙江杭州·期末）的展开式中的系数为 ． 【答案】 【知识点】二项展开式的应用、求指定项的二项式系数、求指定项的系数 【分析】写出展开式第项通式即可求解. 【详解】因为展开式第项通式为， 所以当时的系数为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·辽宁·期末）已知在（）的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比值为2. (1)求的值； (2)求展开式中含的项. 【答案】(1) (2) 【知识点】求指定项的系数、求指定项的二项式系数、求二项展开式的第k项 【分析】（1）由二项式定理的展开式通项和二项式系数得出. （2）写出通项，令的指数为4，求出结果即可. 【详解】（1）由题知：，解得. （2），，， 令，得，所以展开式中含有的项为： 题型03 二项式系数的增减性和最值 【例3】（23-24高二上·辽宁大连·期末）的展开式中，二项式系数最大的是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】根据二项展开式的二项式系数的性质，即可求解. 【详解】由二项式，可得其展开式共有9项， 根据二项式系数的性质，可得中间项第5项的二项式系数最大. 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式的项数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】先由二项式系数最大项求出，再由二项式展开式的性质即得. 【详解】在二项式的展开式中，当为偶数时，中间一项的二项式系数最大； 当为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大. 因为在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大， 所以为偶数，且中间项为第项，即，解得. 因二项式展开式的项数为，则展开式的项数是项. 故选：A. 【变式2】（22-23高二上·山东潍坊·期末）若的展开式中第5项的二项式系数最大,则自然数n的值可以为 (只写一个即可). 【答案】7(7,8,9填一个即可) 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】分只有第5项的二项式系数最大，第4项和第5项的二项式系数相等且最大，第5项和第6项的二项式系数相等且最大，三种情况讨论即可. 【详解】若只有第5项的二项式系数最大,则展开共有9项,所以 若第4项和第5项的二项式系数相等且最大,则展开共有8项,所以 若第5项和第6项的二项式系数相等且最大,则展开共有10项,所以 故答案为：7(7,8,9填一个即可) 【变式3】（23-24高二上·江西宜春·期末）（1）若，求的值； （2）在的展开式中，求二项式系数最大的项 【答案】（1）；（2）. 【知识点】求指定项的系数、二项式系数的增减性和最值 【分析】（1）利用赋值法，分别令，求解； （2）利用二项展开式的通项公式求解. 【详解】（1）由， 令，得； 令，得， 所以； （2）在的展开式中，二项式系数最大的项是第5项， 则 题型04 二项式的系数和 【例4】（23-24高二上·辽宁·期末）已知的展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中第4项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求指定项的系数、二项式的系数和、求二项展开式的第k项 【分析】由二项式系数之和求出n，根据二项式展开式的通项公式，即可求解. 【详解】因为二项式系数之和为256，所以，得， 的展开式的通项， 令，得. 故选：A 【变式1】（21-22高二上·辽宁大连·期末）二项式的展开式中，各项二项式系数的和是（    ） A．2 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【知识点】二项式的系数和 【分析】根据给定条件利用二项式系数的性质直接计算作答. 【详解】二项式的展开式的各项二项式系数的和是. 故选：D 【变式2】（24-25高二上·辽宁锦州·期末）若的展开式中二项式系数和为32，则展开式中最高次项的系数为 ． 【答案】 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数 【分析】首先根据二项式系数和的性质求出的值，然后写出二项式展开式的通项公式，再根据通项公式求出最高次项的系数. 【详解】已知的展开式中二项式系数和为32，则，即. 二项式展开式的通项公式为. 对于，则其通项公式为. 化简得. 因为，所以最高次项为时的项. 当时，该项的系数为. 所以最高次项的系数为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·福建漳州·期末）已知的展开式中，所有二项式系数的和为32． (1)求的值； (2)若展开式中的系数为，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求指定项的系数、二项式的系数和 【分析】（1）根据所有二项式系数的和为列式求解； （2）写出通项，令指数等于即可求得答案. 【详解】（1）∵所有二项式系数的和为32， ∴， ∴． （2）二项式展开式的通项公式为， 令， ∴展开式中的系数为， ∴解得． 题型05 求有理项或其系数 【例5】（22-23高二上·甘肃庆阳·期末）在的展开式中，系数为有理数的项是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【知识点】求有理项或其系数 【分析】根据二项式定理展开式的通项可确定系数为有理数时的取值，即可得出结果. 【详解】在的展开式中，根据通项可知， 时系数为有理数，即第五项为． 故选：C 【变式1】（20-21高二上·辽宁沈阳·期末）在的展开式中有理项的项数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【知识点】求有理项或其系数 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，可得当为偶数，且能被3整除时，展开式为有理项，从而得出结论． 【详解】解：的展开式的通项公式为， 故当为偶数，且能被3整除时， 即，6，12，18，24，30，36，42，48时，展开式为有理项， 故选：A． 【变式2】（23-24高二上·甘肃白银·期末）的展开式中有理项的个数为 . 【答案】3 【知识点】求有理项或其系数 【分析】先化简二项式展开式的通项公式，由此求得正确答案. 【详解】展开式的通项为， 要为有理项，则为整数，故可取，共有3项有理项. 故答案为： 【变式3】（21-22高二上·湖南长沙·期末）的展开式的常数项是 ． 【答案】 【知识点】求有理项或其系数 【分析】求出的通项公式，令的指数为0，即可求解. 【详解】的通项公式 是，， 依题意，令， 所以的展开式中的常数项为. 故答案为：. 题型06 二项展开式各项的系数和 【例6】（23-24高二上·北京昌平·期末）若，则（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】根据给定条件，利用赋值法计算作答. 【详解】因为， 所以当时，， 故选：C. 【变式1】（23-24高二上·山东潍坊·期末）则（ ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】给举特值，式子整体相减即可. 【详解】令，可得，令，可得， 故，即， 故选：B 【变式2】（24-25高二上·北京·期末）设，则 . 【答案】0 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】根据给定条件，利用赋值法求出值即可得解. 【详解】取，得， 取，得， 所以. 故答案为：0 【变式3】（24-25高二上·辽宁·期末）若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且. (1)求的系数； (2)求的值. 【答案】(1)180 (2) 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）应用已知条件利用二项式系数的性质求出，结合二项式定理求出. （2）由（1）的结论，利用赋值法求出所求式子的值. 【详解】（1）第3项与第9项的二项式系数相等， 则，解得，所以. 所以的展开式中项为：，所以. （2）由（1）知，的展开式中，当时，， 由二项展开式可得： 所以都是正数，都是负数， 所以 当时，， 所以. 题型07 奇次项与偶次项的系数和 【例7】（23-24高二上·湖南长沙·期末），则（    ） A． B．0 C．32 D．64 【答案】C 【知识点】奇次项与偶次项的系数和 【分析】利用赋值法即可得解. 【详解】因为， 令，可得， 令，可得， 所以. 故选：C 【变式1】（22-23高二上·河南驻马店·期末）已知，记，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】设，所以由题意可知，从而即可求解. 【详解】不妨设， 一方面注意到， 另一方面注意到， 所以. 故选：C. 【变式2】（22-23高二上·福建福州·期末）若，则 . 【答案】365 【知识点】奇次项与偶次项的系数和 【分析】分别令，，然后两式相加可得. 【详解】令得①， 令得②， ①+②得，即. 故答案为：365 【变式3】（23-24高二上·山东德州·期末）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2187 【知识点】求指定项的系数、奇次项与偶次项的系数和 【分析】（1）求即求的系数，利用通项公式求解； （2）采用赋值法，令和，可解. 【详解】（1）求即求的系数． ． 当，即项时，． （2）由展开式可知均为正值，均为负值， 故 当时，， 当时，， 所以， ， 故 题型08 三项展开式的系数问题 【例8】（24-25高二上·辽宁·期末）的展开式中，含的项的系数为（    ） A．240 B． C．560 D．360 【答案】B 【知识点】求指定项的系数、三项展开式的系数问题 【分析】根据二项式展开式的通项特征求解即可. 【详解】的通项为， 且， 令，解得，故的项的系数为. 故选：B. 【变式1】（22-23高二上·辽宁沈阳·期末）展开式中，的系数为（　　） A． B．320 C． D．240 【答案】A 【知识点】求指定项的系数、三项展开式的系数问题 【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以通项公式为：， 令，所以， 设二项式的通项公式为：， 令，所以， 因此项的系数为：， 故选：A. 【变式2】（22-23高二上·江西吉安·期末）在的展开式中，项的系数为 . 【答案】220 【知识点】求指定项的系数、三项展开式的系数问题 【分析】根据给定条件，分析展开式中项出现的情况，再列式计算作答. 【详解】的展开式通项， 当时，展开式中的最高指数小于12，而的指数小于等于， 因此中的指数是负整数，要得到项，当且仅当， 所以展开式中项的系数是展开式中项的系数. 故答案为：220 【变式3】（21-22高二上·江西上饶·期末）展开式中的系数是 . 【答案】 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】根据二项展开式的通项公式，可知展开式中含的项，以及展开式中含的项，再根据组合数的运算即可求出结果. 【详解】解：由题意可得，展开式中含的项为， 而展开式中含的项为， 所以的系数为. 故答案为：. 题型09 两个二项式乘积展开式的系数问题 【例9】（24-25高二上·甘肃白银·期末）若的展开式中含的系数为15，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】根据二项式展开式的通项公式列方程来求得的值. 【详解】的展开式的通项， 所以的展开式中含的系数为， 令，即，解得． 故选：D 【变式1】（23-24高二上·湖北武汉·期中）展开式中的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数 【分析】将原式化为，根据二项式定理，分别求出展开式中，，的系数，即可得出结果. 【详解】的展开式中通项是，， 则， 要求展开式中的系数，只需， 故展开式中的系数是. 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·湖南长沙·期末）在展开式中，的系数为 . 【答案】80 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】由二项展开式的通项求解即可； 【详解】， 二项式的展开式的第项为， 令，则，令，则， 则展开式中，的系数为. 故答案为：80. 【变式3】（23-24高二上·上海·期末）把称为的二项展开式所有项的二项式系数之和，其中是正整数． (1)若的所有项的二项式系数的和为，求展开式的常数项； (2)若展开式中第项系数为，求的展开式中的系数． 【答案】(1) (2) 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数、二项式的系数和 【分析】（1）根据有项的二项式系数的和求得，根据二项式展开式的通项公式求得常数项. （2）根据展开式中第项的系数求得，根据二项式展开式的通项公式求得的系数. 【详解】（1）若的所有项的二项式系数的和为， 则，展开式的通项公式为， 令，所以，展开式的常数项为. （2）展开式的通项公式为， 若展开式中第项系数为， 即， 则， 含的项为 ， 所以的系数为. 题型10 由二项展开式各项系数和求参数 【例10】（23-24高二上·黑龙江·期末）在的二项展开式中，各二项式系数之和为，各项系数之和为，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】由二项展开式各项系数和求参数、二项展开式各项的系数和、二项式的系数和 【分析】根据二项式系数和以及各项系数和的表达式，结合题意，解方程，即可求得答案. 【详解】由，令可得各项系数之和为， 又各二项式系数之和为，因为，则， 解得或（舍去），所以， 故选：B 【变式1】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中各项的系数和为64，则正数的值为 . 【答案】3 【知识点】由二项展开式各项系数和求参数、二项式系数的增减性和最值 【分析】根据题意得到展开式的总项数为7项，求得，再令得展开公式中各项的系数和，解方程即可求解. 【详解】因为的展开式中只有第4项的二项式系数最大， 所以展开式一共有项，即，令，得展开式中所有项的系数和为， 所以或（舍去），所以正数的值为3. 故答案为：3. 【变式2】（23-24高二上·上海·期末）已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则展开式中的常数项为 . 【答案】405 【知识点】求指定项的系数、由二项展开式各项系数和求参数 【分析】先求出和，利用二项展开式的通项公式直接求解. 【详解】因为的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等， 所以，由组合数的性质可知：. 所以. 因为展开式的各项系数之和为1024，所以在中，令，则有：. 因为，所以. 所以的展开式的通项公式为. 所以要求常数项，只需，解得：. 此时常数项为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·江西·期末）的展开式中，二项式系数之和为a，各项系数之和为b，且． (1)求n的值； (2)求的展开式中的常数项． 【答案】(1)9 (2)672 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数、由二项展开式各项系数和求参数 【分析】（1）根据，，可求解出的值； （2）写出展开式的通项公式，然后考虑的指数为，由此可求对应的值，代入可求常数项. 【详解】（1）由题意得，， 因为，所以， 所以，解得． （2）的展开式的通项， 令，得， 所以的展开式中的常数项为 题型11 杨辉三角 【例11】（23-24高二上·江西·期末）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】组合数的性质及应用、杨辉三角 【分析】由组合性质进行计算. 【详解】 , 由题意可得，第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为 , 故选：B． 【变式1】（23-24高二上·山东德州·期末）将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（为正整数），则下列结论中正确的是（   ） 第0行                  第1行                   第2行                      第3行                       ……             …… A．当时中间的两项相等，且同时取得最大值 B．当时中间一项为 C．第6行第5个数是 D． 【答案】C 【知识点】杨辉三角 【分析】根据莱布尼茨三角形的数的排列规律，明确每行的数的个数，以及数的分布规律，即可判断A，B，C；结合从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，即可判断D. 【详解】对于A，由莱布尼茨三角形知，当n为奇数时，中间两项相等，且同时取到最小值， 为奇数，故A错误； 对于B，当时，这一行有2025个数，最中间为第1013个数， 即，B错误； 对于C，第6行有7个数，第5个数是，C正确； 对于D，由于从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和， 故，D错误， 故选：C 【变式2】（21-22高二上·辽宁大连·期末）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．如图所示的杨辉三角中，第8行，第3个数是（    ） 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 A．21 B．28 C．36 D．56 【答案】B 【知识点】杨辉三角 【分析】根据杨辉三角的规律可知第行的第个数为，代入具体值根据组合数的计算公式求解即可. 【详解】根据杨辉三角的规律可知第行的第个数为， 则第8行，第3个数是， 故选：B. 【变式3】（21-22高二上·辽宁沈阳·期末）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算术》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，若用表示三角形数阵中的第m行第n个数，则 （结果用数字作答）． 【答案】4950 【知识点】杨辉三角 【分析】由二项式展开系数可知，第a行第b个数为，从而求解即可. 【详解】由二项式展开系数可知，第a行第b个数为， 故， 故答案为：4950. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·辽宁·期末），则（    ） A．31 B．1023 C．1024 D．32 【答案】B 【分析】根据二项展开式的通项，可得的，结合赋值法，即可求解. 【详解】由二项式的展开式的通项为， 所以，当时，可得为正数，当时，可得为负数， 令，可得， 令，可得， 所以 . 故选：B. 2．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知的展开式共有项，则该展开式中含的项的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式定理的展开式的性质求，再利用通项公式求结论. 【详解】因为的展开式共有项， 所以， 二项式的展开式的通项公式为，， 所以展开式中含的项为， 故这个展开式中含的项的系数为． 故选：C. 3．（24-25高二上·辽宁·期末）已知的展开式中，常数项为135，则的值为（    ） A．2 B．2或 C．3 D．3或 【答案】D 【分析】先求的展开式的通项公式，再结合式子特点令，得出，即可得到关于的方程，解出. 【详解】展开式的通项公式为， 令，可得，因此，展开式中的常数项为． 则，解得． 故选：D. 4．（24-25高二上·广西·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合二项式定理，利用赋值法逐项求解各个选项即可. 【详解】令，得，故A不正确； 令，得，所以，故B不正确； 令，得， 所以，故C正确； 令，得，所以D不正确. 故选：C 二、多选题 5．（23-24高二上·山东潍坊·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用二项式定理，结合赋值法逐项计算判断即得. 【详解】令， 对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由，得，因此，C正确； 对于D，，D错误. 故选：AC 6．（23-24高二上·福建宁德·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．展开式中二项式系数最大的项为第项 【答案】AB 【分析】设，利用赋值法可判断ABC选项，利用二项式系数的单调性可判断D选项. 【详解】设. 对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，， 所以，，C错； 对于D选项，展开式共项，展开式中二项式系数最大的项为第项，D错. 故选：AB. 三、填空题 7．（24-25高二上·辽宁·期末）的展开式中，的系数是 .（用数字作答） 【答案】 【分析】把式子整理成，根据通项整理后得 ，从而求解. 【详解】由， 而的展开式的通项为， 则在的展开式中，含的项为， 故的系数是. 故答案为：. 8．（24-25高二上·上海奉贤·期中）在的展开式中，只有第4项的系数最大，则等于 ． 【答案】 【分析】根据二项式系数的性质即可确定的值. 【详解】解：因为的展开式的通项为， 所以第4项的系数即是第4项的二项式系数， 因为只有第4项的二项式系数最大，所以. 故答案为：6 四、解答题 9．（23-24高二上·山东东营·期末）已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和分别为和，且. (1)求正整数的值； (2)求其展开式中所有的有理项. 【答案】(1)4 (2)答案见解析 【分析】（1）先利用题给条件列出关于的方程，解之即可求得的值； （2）利用二项展开式的通项公式即可求得其展开式中所有的有理项． 【详解】（1）因为，所以， 当为奇数时，此方程无解， 当为偶数时，方程可化为，解得； （2）由通项公式， 当为整数时，是有理项，则， 所以有理项为． 10．（23-24高二上·福建宁德·期末）已知的展开式中的所有二项式系数之和为． (1)求的值； (2)求展开式中的常数项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二项式系数和可求得的值； （2）写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】（1）解：展开式中所有二项式系数之和为，解得． （2）解：由（1）知 所以展开式通项为， 令，解得，则， 所以展开式中的常数项为． 11．（23-24高二上·福建龙岩·期末）在①各项系数之和为；②常数项为；③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题. 在的展开式中， . (1)求n； (2)证明：能被6整除. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由所选条件，利用展开式系数与系数和的性质，列方程求n； （2），利用二项式定理，证明数据是6的倍数. 【详解】（1）选条件①各项系数之和为，取，则，解得； 选条件②常数项为，由，则常数项为，解得； 选条件③各项系数的绝对值之和为1536，即的各项系数之和为1536，取，则，解得. （2） ， 所以能被6整除. 12．（24-25高二上·甘肃白银·期末）已知的展开式中共有9项. (1)求的值； (2)求展开式中的系数； (3)求二项式系数最大的项. 【答案】(1) (2)112 (3) 【分析】（1）利用二项式展开式中共有可求得的值； （2）求出二项展开式的通项，令的指数为4，求出参数的值，代入通项即可得出结果； （3）根据二项式系数的性质可得二项式系数最大的项的项数，再由二项式定理得结论. 【详解】（1）由题意得，解得. （2）由（1）可知展开式的通项为. 令，解得，则. 故展开式中的系数为112. （3）根据题意可得二项式系数最大的项为. 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二上·江西南昌·期末）的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为256，则中的系数为（    ） A．1 B．4或1 C．4或0 D．6或0 【答案】C 【分析】展开式中只有第5项的二项式系数最大，可以得到的值，然后再赋值法求出所有项的系数和的表达式可解出a的值，再分类求出中的系数即可得出答案. 【详解】展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以总共有9项， 令得所有项的系数和为，或 当时，展开式中的系数为：， 当时，展开式中不含项. 故选：C. 2．（23-24高二上·天津滨海新·期中）已知二项式的第4项二项式系数最大，则此二项式展开式中的常数项为（   ） A．40 B．120 C．180 D．240 【答案】D 【分析】由二项式系数的增减性可得，结合二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】由题意可得，对有， 则，即此二项式展开式中的常数项为240. 故选：D. 3．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知的展开式中所有奇数项的二项式系数的和为，则展开式中有理项共有（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由奇数项二项式系数和得，由展开通项是有理项得能被整除，由此即可得解. 【详解】由题意得，所以，解得， 所以的展开通项为， 若为有理项，则能被整除，即满足题意的可以是：共四个. 故选：C. 4．（23-24高二上·甘肃白银·期末）的展开式中，含的项的系数是（    ） A． B．5 C．15 D．35 【答案】D 【分析】 求出的展开式中的通项，再结合两个式子相乘特点求解即可. 【详解】 二项式的展开式中的通项， 则含的项的系数为. 故选：D 二、多选题 5．（23-24高二上·广东茂名·期中）已知的展开式共有13项，则下列说法正确的有（    ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．二项式系数最大的项为第7项 C．所有项的系数和为 D．有理项共有5项 【答案】ABD 【分析】先根据展开式共有13项，求出，然后根据二项式系数的性质结合二项式展开式的通项公式逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为，所以，则所有奇数项的二项式系数和为，故A正确； 对于B，由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故B正确； 对于C，令，得所有项的系数和为，故C错误； 对于D，展开式的通项为， 当为整数时，，共有5项，即有理项共有5项，故D正确． 故选：ABD． 6．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用赋值法即可求解.对于选项A，令即可求解；对于选项B，令即可求解；对于选项C，令，与时的式子作差即可求解；对于选项D，令，结合选项A即可求解. 【详解】令，得，故选项A正确； 令，得①，故选项B错误； 令，得②， 由①②得，故选项C正确； 令，得， 则， 得，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题 7．（23-24高二上·上海·期末）设，则 . 【答案】1 【分析】根据赋值法求解即可； 【详解】根据二项式性质，令解得：， 故答案为：1. 8．（22-23高二上·辽宁丹东·期末）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在年中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．如图所示的杨辉三角中，从第行开始，每一行除外，其他每一个数字都是其上一行的左右两个数字之和，若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为，则这一行是第 行． 【答案】 【分析】设这一行为第行，且这三个数分别为、、，利用组合数公式可得出关于的等式，解出的值，即可得解. 【详解】由题意可知，这一行为第行，且这三个数分别为、、， 由题意可得，解得， 因此，这一行是第行. 故答案为：. 四、解答题 9．（22-23高二上·河南南阳·期末）已知展开式的二项式系数和为512，． (1)求的值； (2)求系数绝对值最大的项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法结合二项式定理可求. （2）记，求出的解后可得系数绝对值最大的项. 【详解】（1）由二项展开式的系数和为，于是，解得， 设，于是， 二项展开式的通项，令，则. （2）展开式中第项的绝对值为，记， 则， 令，解得，即时； 令，解得，即时，. 于是，且，即最大， 故原式中最大，最大项为 10．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）在的展开式中，______. 给出下列条件：①二项式系数和为64；②各项系数之和为729；③第三项的二项式系数为15.试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求的值并求展开式中的常数项； (2)求展开式中的系数. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)，展开式常数项为 (2) 【分析】（1）若选①利用二项式系数和公式先求n，结合展开式通项公式可求常数项；若选②利用赋值法先求n，结合展开式通项公式可求常数项；若选③利用二项式定理先求n，结合展开式通项公式可求常数项； （2）利用二项式定理及其展开式通项可求指定项系数. 【详解】（1）若选①，易知，则，此时的常数项为； 若选②，令，则， 则，此时的常数项为； 若选③，易知，则，此时的常数项为； （2）由上可知不论选①②③，都有， 则问题为求展开式中的系数， 先求展开式中含的项乘以，该项为， 再求展开式中常数项乘以，知该项为， 所以展开式中含的项为，所以其系数为. 11．（24-25高二上·甘肃·期末）在的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ (3)求系数最大的项． 【答案】(1) (2)第6项和第7项 (3) 【分析】（1）由二项式系数的性质即可得到结果； （2）由展开式的通项公式列出不等式，代入计算，即可得到结果； （3）结合展开式的通项公式，由（2）中的结论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）二项式系数最大的项为中间项，即第5项，； （2）的展开式的通项为 ，，， 设第项系数的绝对值最大，显然，则， 整理得，即， 解得，而，则或， 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项； （3）由（2）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负， 第7项的系数为正，所以系数最大的项为第7项． 12．（23-24高二上·江西新余·期末）已知二项式． (1)若，，求二项式的值被7除的余数； (2)若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入，，将二项式转化为，利用二项式定理即可得解； （2）先由题意求得，再利用二项展开通项公式得到关于系数最大的项的不等式组，解之即可得解. 【详解】（1）因为，， ， 显然能被7整除，， 所以二项式的值被7除的余数为. （2）因为的二项式系数之和为128， ， 则的展开通项公式为， 假设展开式中系数最大的项为第项， 则，即， 即，解得， 所以展开式中系数最大的项为第6，7项， 即. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是熟练掌握组合数公式，从而得解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$