05二项式定理——2025年高二数学寒假自学讲义（选择性必修第三册课程）（人教2019A版专用）

05二项式定理（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 3 考点一：二项式定理 3 考点二：二项式系数的性质 3 【自学检测】 5 自学概念 1. 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*). (1)这个公式所表示的规律叫作二项式定理. (2)等号右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项. (3)各项的系数C(k＝0，1，2，…，n)叫作二项式系数. (4)二项式通项：(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项式通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 二项式定理的特例：(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn. 2. 二项式系数的性质 (1)从函数的观点分析二项式系数 对于(a＋b)n的展开式的二项式系数C，C，C，…，C，可以从函数的角度分析它们，C可看成以r为自变量的函数f(r)，其定义域是{0，1，2，…，n}. (2)二项式系数的性质 ①对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由C＝C得到. ②增减性与最大值 当k<时，C随k的增加而增大；由对称性知，当k>时，C随k的增加而减小. 当n是偶数时，中间的一项取C得最大值； 当n是奇数时，中间的两项C与C相等，且同时取得最大值. ③各二项式系数的和 C＋C＋C＋…＋C＝2n； C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 自学考点 考点一：二项式定理 一、单选题 1．（22-23高二下·江苏连云港·期中）展开式中的项数为（    ） A．11 B．12 C．22 D． 2．（22-23高三下·北京·开学考试）已知二项式的展开式中的系数是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高三上·浙江·开学考试）已知的展开式中含有常数项，则的可能取值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（2024·江西上饶·二模）若（为正整数）的展开式中存在常数项，则下列选项中的取值可能是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 三、填空题 5．（23-24高三上·山东德州·期末）在的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为 ． 6．（2024·山东·二模）已知二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， ． 考点二：二项式系数的性质 一、单选题 1．（2024·江苏无锡·模拟预测）在的展开式中，若第4项与第5项的二项式系数之和等于第10项与第11项的二项式系数之和，则（    ） A．16 B．15 C．14 D．13 2．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 3．（2024·山东·一模）在的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式的项数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25高二下·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（    ） A．31 B．30 C．29 D．28 二、多选题 7．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）下列对二项式的展开式的说法正确的是：（     ）. A．第3项的系数为40 B．第4项的二项式系数为10 C．不含常数项 D．系数和为32 8．（2024·河北·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·全国·模拟预测）设，则下列关于的计算正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（23-24高三下·吉林通化·期中）在的展开式中，有理项的个数为 ． 11．（24-25高三上·四川自贡·期中）在多项式的展开式中，的系数为16，则 ． 12．（2024高三·全国·专题练习）的展开式中，常数项为 . 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知乘积展开后共有60项，则的值为（   ） A．5 B．7 C．10 D．12 2．（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）二项式的展开式中常数项为（　　） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 3．（22-23高三上·北京通州·期末）设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）已知二项式展开式的二项式系数的和为64，则（   ） A．展开式中各项系数的和为 B．展开式中第3项的二项式系数最大 C．展开式的常数项为 D．展开式中第5项的系数最大 5．（22-23高三下·江苏连云港·阶段练习）的展开式中，二项式系数最大且系数较大的项的系数为（    ） A．40 B． C．80 D． 6．（2024高三·全国·专题练习）已知的展开式中的常数项为15，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 7．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项系数和为（   ） A．32 B．-32 C．0 D．1 8．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）的二项展开式中系数最大的项为第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．2或3 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）的展开式中（    ） A．常数项为1 B．的系数为－5 C．的系数为0 D．展开式共有6项 11．（23-24高二下·重庆巴南·期中）已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（    ） A． B．展开式中奇数项的二项式系数和为256 C．展开式中第6项的系数最大 D．展开式中第8项为常数项 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024高三·全国·专题练习）的展开式中的系数是 ． 13．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）的展开式中，项的系数是 . 14．（2023·江苏连云港·模拟预测）的展开式中项的系数为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高三·全国·专题练习）已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是. (1)求的值； (2)求展开式中的常数项，并指出是第几项； 16. (15分) （23-24高二下·江苏·阶段练习）已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1：3. (1)求n的值； (2)求展开式中所有的有理项. 17. (15分) （24-25高二上·上海浦东新·期中）已知在的二项展开式中. (1)若，求展开式中含项的系数； (2)若展开式含有常数项，求最小的正整数的值. 18. (17分) （23-24高二下·山东聊城·阶段练习）已知，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. (1)求的值； (2)求的系数； (3)求的值. 19. (17分) （23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知. (1)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求的值； (2)当时，二项式的展开式中的系数为A，常数项为，若，则求的值； (3)当时，求二项式的展开式中系数最大的项. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 05二项式定理（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 3 考点一：二项式定理 3 考点二：二项式系数的性质 5 【自学检测】 11 自学概念 1. 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*). (1)这个公式所表示的规律叫作二项式定理. (2)等号右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项. (3)各项的系数C(k＝0，1，2，…，n)叫作二项式系数. (4)二项式通项：(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项式通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 二项式定理的特例：(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn. 2. 二项式系数的性质 (1)从函数的观点分析二项式系数 对于(a＋b)n的展开式的二项式系数C，C，C，…，C，可以从函数的角度分析它们，C可看成以r为自变量的函数f(r)，其定义域是{0，1，2，…，n}. (2)二项式系数的性质 ①对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由C＝C得到. ②增减性与最大值 当k<时，C随k的增加而增大；由对称性知，当k>时，C随k的增加而减小. 当n是偶数时，中间的一项取C得最大值； 当n是奇数时，中间的两项C与C相等，且同时取得最大值. ③各二项式系数的和 C＋C＋C＋…＋C＝2n； C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 自学考点 考点一：二项式定理 一、单选题 1．（22-23高二下·江苏连云港·期中）展开式中的项数为（    ） A．11 B．12 C．22 D． 2．（22-23高三下·北京·开学考试）已知二项式的展开式中的系数是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高三上·浙江·开学考试）已知的展开式中含有常数项，则的可能取值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（2024·江西上饶·二模）若（为正整数）的展开式中存在常数项，则下列选项中的取值可能是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 三、填空题 5．（23-24高三上·山东德州·期末）在的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为 ． 6．（2024·山东·二模）已知二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 B A AC AC 1．B 【分析】，再利用二项展开式定理展开即可求解． 【详解】因为 所以 则 共有12项， 故选：B． 2．A 【分析】应用二项展开式的通项求解可得. 【详解】的展开式的通项公式 . 令，解得， 可得， 即的系数为. 故选：A. 3．AC 【分析】求出展开式的通项，再令，可得与的关系，用赋值法从而可得出结论. 【详解】展开式的通项为：，其中； 令，则，可知n为4的倍数，故B、D错误； 当 时， 最小为 4；当 时， 为8； 故选：AC. 4．AC 【分析】根据二项式定理的通项公式求解. 【详解】展开式的通项为：， 因为存在常数项，所以. 经验证，时，；时，符合条件. 故选：AC 5． 【分析】由题可得的二项展开式共有7项，通项为：，则该项系数为有理数时，为偶数，即可得答案. 【详解】的二项展开式共有7项，通项为：， 其中，要使项系数为有理数，则为偶数，即时， 项系数为有理数，则相应概率为：. 故答案为：. 6．10 【分析】借助二项式系数的性质与组合数的性质计算即可得. 【详解】因为二项式的展开式中，第4项与第8项的二项式系数相等， 所以，由组合数的性质可得． 故答案为：10. 考点二：二项式系数的性质 一、单选题 1．（2024·江苏无锡·模拟预测）在的展开式中，若第4项与第5项的二项式系数之和等于第10项与第11项的二项式系数之和，则（    ） A．16 B．15 C．14 D．13 2．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 3．（2024·山东·一模）在的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式的项数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25高二下·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（    ） A．31 B．30 C．29 D．28 二、多选题 7．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）下列对二项式的展开式的说法正确的是：（     ）. A．第3项的系数为40 B．第4项的二项式系数为10 C．不含常数项 D．系数和为32 8．（2024·河北·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·全国·模拟预测）设，则下列关于的计算正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（23-24高三下·吉林通化·期中）在的展开式中，有理项的个数为 ． 11．（24-25高三上·四川自贡·期中）在多项式的展开式中，的系数为16，则 ． 12．（2024高三·全国·专题练习）的展开式中，常数项为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D C A B D C BC AC ABD 1．D 【分析】由题意可得：，结合组合数的性质分析求解. 【详解】由题意可得：，则， 可得，所以. 故选：D． 2．C 【分析】由的展开式的二项式系数和项的系数相等，因此由题意可得，求出，即可求得展开式中系数最大的项. 【详解】由的展开式中第2项与第8项的系数相等， 由的展开式的二项式系数和项的系数相等， 所以，所以， 则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项， 故选：C． 3．A 【分析】先由二项式系数公式求出n，再由二项式展开式定理即可得解. 【详解】由题得， 所以二项式的展开式的项数是. 故选：A. 4．B 【分析】根据第4项的二项式系数最大求出，再通过通项公式得出展开式中项的系数为，接着由即可求解. 【详解】由题意二项式系数仅最大，故， 所以二项式为，其通项公式为， 设二项式展开式中第项的系数最大，则有， ，即，故，经经验符合题意， 所以展开式中系数最大的项是第3项. 故选：B. 5．D 【分析】设，利用赋值法计算与，即可得解. 【详解】， 令，则， 令，则， 则. 故选：D. 6．C 【分析】赋值法得到方程，求出，求出展开式通项公式，得到，，从而得到展开式中的系数. 【详解】中令得，解得， 展开式通项公式为，， 当时，，当时，， 故展开式中的系数为. 故选：C 7．BC 【分析】写成展开式的通项，利用通项判断A、B、C；令判断D. 【详解】二项式展开式的通项为，， 所以第3项的系数为，故A错误； 第4项的二项式系数为，故B正确； 令，解得，又，所以展开式不含常数项，故C正确； 令可得系数和为，故D错误. 故选：BC 8．AC 【分析】对于A，令代入即可求解；对于B，由二项式定理，对照系数即可得到；对于C，令，结合A即可求解；对于D，令，结合A即可求解. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，由二项式定理，则，故B错误； 对于C，令，则， 则，故C正确； 对于D，令，则，又， 所以，得，故D错误. 故选:AC. 9．ABD 【分析】根据所给式子的结构特点，利用二项式定理将表达式按不同的方式展开，即可求解. 【详解】考虑， 则，故A正确． 考虑， 则，故B正确． 考虑， 其中含有的项为， 所以，故C错误． 考虑， 其中含有的项为， 所以，故D正确． 故选:ABD． 10．7 【分析】根据二项式展开式通项公式整理，再根据指数为正数即可得出结果. 【详解】展开式中的第项为， 当时为有理项，共7项． 故答案为：7. 11．1 【分析】写出的展开式通项公式为，从而根据的系数得到方程，求出. 【详解】的展开式通项公式为， 当时，，当时，， 则的展开式中的系数为，解得. 故答案为：1 12． 【分析】根据题意，展开式中的项为或，令或，可得常数项. 【详解】根据题意，的通项为， 则展开式中的项为或， 令或，得或， 从而展开式常数项为． 故答案为： 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知乘积展开后共有60项，则的值为（   ） A．5 B．7 C．10 D．12 2．（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）二项式的展开式中常数项为（　　） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 3．（22-23高三上·北京通州·期末）设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）已知二项式展开式的二项式系数的和为64，则（   ） A．展开式中各项系数的和为 B．展开式中第3项的二项式系数最大 C．展开式的常数项为 D．展开式中第5项的系数最大 5．（22-23高三下·江苏连云港·阶段练习）的展开式中，二项式系数最大且系数较大的项的系数为（    ） A．40 B． C．80 D． 6．（2024高三·全国·专题练习）已知的展开式中的常数项为15，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 7．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项系数和为（   ） A．32 B．-32 C．0 D．1 8．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）的二项展开式中系数最大的项为第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．2或3 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）的展开式中（    ） A．常数项为1 B．的系数为－5 C．的系数为0 D．展开式共有6项 11．（23-24高二下·重庆巴南·期中）已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（    ） A． B．展开式中奇数项的二项式系数和为256 C．展开式中第6项的系数最大 D．展开式中第8项为常数项 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024高三·全国·专题练习）的展开式中的系数是 ． 13．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）的展开式中，项的系数是 . 14．（2023·江苏连云港·模拟预测）的展开式中项的系数为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高三·全国·专题练习）已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是. (1)求的值； (2)求展开式中的常数项，并指出是第几项； 16. (15分) （23-24高二下·江苏·阶段练习）已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1：3. (1)求n的值； (2)求展开式中所有的有理项. 17. (15分) （24-25高二上·上海浦东新·期中）已知在的二项展开式中. (1)若，求展开式中含项的系数； (2)若展开式含有常数项，求最小的正整数的值. 18. (17分) （23-24高二下·山东聊城·阶段练习）已知，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. (1)求的值； (2)求的系数； (3)求的值. 19. (17分) （23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知. (1)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求的值； (2)当时，二项式的展开式中的系数为A，常数项为，若，则求的值； (3)当时，求二项式的展开式中系数最大的项. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B D A C D B ABD BCD 题号 11 答案 AC 1．C 【分析】根据二项展开式定理可得展开式中共有项，即可得的值. 【详解】易知的展开式中共有6项， 则乘积展开后共有项， 因此可得，解得. 故选：C 2．C 【分析】利用二项展开式的通项公式求特定的项. 【详解】二项式展开式的通项为： ， 令，解得，， 所以二项式的展开式中常数项为第5项. 故选：C. 3．B 【分析】写出二项式展开式的通项，令的指数为0，进而可得结果. 【详解】的展开式的通项， 令得，因为，所以当时，有最小值3， 故选：B 4．D 【分析】根据二项式展开式的二项式系数的和为64得，再分别讨论各选项即可得答案. 【详解】解：因为二项式展开式的二项式系数的和为64， 所以，解得， 所以，对于A选项，令得展开式中各项系数的和为，故A选项错误； 对于B选项，由可知展开式中第4项的二项式系数最大，为，故B选项错误； 对于C选项，由展开式的通项公式为：，， 故令，即时，展开式的常数项为，故C 选项错误； 对于D选项，展开式的系数分别为， ， 所以，展开式中系数最大值为，此时，为展开式第5项，故D选项正确. 故选：D 5．A 【分析】根据二项式系数的性质可得二项式系数最大的项为第3项和第4项，然后根据二项式定理求出第3项和第4项，再比较系数即可求解. 【详解】由题意可得二项式系数最大的项为第3项和第4项， 则展开式中第3项为，系数为40， 展开式中第4项为，系数为， 所以二项式系数最大且系数较大的项的系数为40. 故选：A. 6．C 【分析】根据二项式定理，写出展开式的通项，令字母部分的指数为零，建立方程求得参数，可得答案. 【详解】的展开式的通项为，其中， 令，得，故，得，所以， 故选：C． 7．D 【分析】根据二项式的所有二项式系数之和的表达式求得的值，再对赋值1即可求得. 【详解】依题，解得， 则二项式的所有项系数之和为. 故选：D. 8．B 【分析】由通项公式列出不等式组可求答案. 【详解】的展开式通项公式为， 设第项为系数最大的项，则有，解得，即. 故选：B 9．ABD 【分析】AB选项，利用二项式定理得到通项公式，求出，；CD选项，赋值法得到，，，从而求出答案. 【详解】A选项，的通项公式为， 当时，，A正确； B选项，当时，，B正确； C选项，中， 令得， 令得， 故，C错误； D选项，中， 令得， 又， 故，D正确. 故选：ABD 10．BCD 【分析】对A，令求解即可；对BC，，再分别计算系数即可；对D，根据ABC中系数，再分别计算的系数判断即可. 【详解】， 对A，令可得常数项为，故A错误； 对B，的系数为，故B正确； 对C，的系数为，故C正确； 对D，设，由ABC，，，， 又的系数为，的系数为， 的系数为，的系数为. 故共6项，故D正确. 故选：BCD 11．AC 【分析】根据已知结合组合数的性质，得，令，即可判断A；根据二项式的性质，即可判断B；写出展开式的通项，即可判断C、D． 【详解】对于A，由已知得，，故， 令，，解得，故A正确； 对于B，由二项式定理可知，展开式中奇数项的二项式系数和为，故B错误； 对于C，根据二项式定理可知，展开式的通项为， 显然，系数最大为，即展开式中第6项的系数最大，故C正确； 对于D，当时，即时，， 所以展开式的第9项为常数项，故D错误； 故选：AC． 12．20 【分析】根据二项展开式的通项运算求解. 【详解】的展开式的通项为，， 则的展开式中， ①当时，； ②当时，， 故展开式中的系数是． 故答案为：20． 13．5040 【分析】根据计数原理确定展开式中含的项，即可得出答案. 【详解】的展开式中，含有的项是， 所以项的系数是5040， 故答案为： 14． 【分析】利用二项式定理的展开原理，写出通项，利用方程可得答案. 【详解】由题意知的通项为 ， 化简得， 令，得， 即， 所以的系数为. 故答案为： 15．(1)； (2)常数项为60，为第5项. 【分析】（1）由二项式系数之比列式求解即可； （2）求出展开式的通项，再令的指数等于零，即可得解． 【详解】（1）依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为， ∴，即，由，解得； （2）展开式的通项为 ， 令，解得， ∴， ∴常数项为60，为第5项. 16．(1) (2)，，，. 【分析】（1）根据二项式系数公式，结合组合数的计算公式进行求解即可； （2）根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】（1）因为的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1：3， 所以，即， 解得，或舍去，即； （2）因为的展开式的第项为： ， 所以当时，r=1，3，5，7， 所以的展开式中，有理项分别为： ，， ，. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由二项展开式的通项公式，即可求得展开式中含项的系数； （2）根据题意，在二项展开式的通项公式中，令的幂指数为，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）当时，展开式的通项公式为， 令，解得，所以展开式中含项的系数为. （2）展开式的通项公式为， 令，解得，因为， 所以当时，取得最小值，此时展开式含有常数项， 所以最小的正整数的值为. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）应用已知条件利用二项式系数的性质求出. （2）由（1）的结论，结合二项式定理求出. （3）由（1）的结论，利用赋值法求出所求式子的值. 【详解】（1）第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得，所以. （2）由（1）知，的展开式中项为：，所以. （3）由（1）知，的展开式中，当时，， 因为 所以 当时，， 所以. 19．(1)8 (2)2或-2 (3) 【分析】（1）根据二项定理展开式的性质可得； （2）根据二项式定理通项公式求出的系数与常数项，由条件可求的值； （3）根据二项式定理通项公式，设第r项系数最大，建立不等关系可求出的值，得系数最大的项. 【详解】（1）展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，故. （2）当时二项式为，由二项式定理通项公式得， 令，得，所以， 令，得，所以， 又，解得（舍去）或或， 所以或. （3）当 时二项式为， 由二项式定理通项公式得， 设第r项系数最大，则，即，故， 所以二项式的展开式中系数最大的项为. 学科网（北京）股份有限公司 $$