预习03 向量的数量积（八大考点）-2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习03 向量的数量积 知识点 1 ：向量的夹角 （1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角. 显然,当时,与同向;当时,与反向. （2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 知识点 2 ：向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 知识点 3 ：向量的投影向量 （1）如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. （2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. （3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 知识点 4 ：向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）；（2）；（3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）；（5）或 知识点 5 ：数量积运算的运算律 （1）；（2）；（3） 考点01 向量数量积的简单计算 【方法点拨】向量数量积的求法：（1）求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键；（2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. 【例1】已知与的夹角为，则（    ） A． B．3 C． D． 【例2】已知和的夹角为，且，则（    ） A． B． C．3 D．9 【变式1-1】已知空间向量和的夹角为，且，，则等于（    ） A．12 B．8 C．4 D．14 【变式1-2】已知向量，满足，，且与夹角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知向量和的夹角为120°，且，则（　　） A．12 B． C．4 D．13 考点02 平面几何图形中的数量积 【方法点拨】先利用已知向量表示所求向量，然后用数量积的运算律及定义计算即可 【例3】在平面四边形中，已知，则（   ） A．35 B．39 C．43 D．60 【例4】如图，在四边形中，，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图的弦图中，四边形ABCD是边长为5的正方形，四边形EFGH是边长为1的正方形，四个三角形均为直角三角形，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2-2】在中，，，，则（    ） A．3 B． C．－3 D． 【变式2-3】八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形，其中，则（    ） A．4 B． C．8 D． 考点03 向量数量积的最值范围 【例5】美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例6】在中，，，是外接圆的圆心，在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在边长为的等边中，点为中线上的动点，点为的中点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知点P是边长为1的菱形内一动点（包括边界），，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 考点04 利用数量积求向量模长 【方法点拨】求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方. 【例7】已知平面向量满足：，则（    ） A． B． C．2 D． 【例8】已知单位向量满足，则（    ） A．8 B．3 C． D． 【变式4-1】已知 和 都是单位向量，若 在 上的投影向量为 ，则 （    ） A． B． C． D．3 【变式4-2】已知向量，且，则 ． 【变式4-3】已知单位向量，的夹角为，则 ． 考点05 利用数量积求向量夹角 【方法点拨】求向量,的夹角的思路 （1）求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值；（2）在个别含有与的等量关系式中,常利用消元思想计算的值. 【例9】已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【例10】已知，为单位向量，，，若，则与的夹角为（    ） A．90° B．60° C．45° D．30° 【变式5-1】已知单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】若两个单位向量满足，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知向量满足，，则（    ） A． B． C． D． 考点06 利用数量积解决垂直问题 【方法点拨】涉及已知两向量的互相垂直问题,常转化为两向量的数量积为0求解,求解时要注意借助向量数量积的运算律. 【例11】已知单位向量与的夹角为，若，则（    ） A． B． C． D．1 【例12】已知平面向量为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-1】已知向量，是单位向量，且，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】若非零向量，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知向量，的模相等且夹角为，若向量与向量垂直，则实数（   ）. A． B． C． D．2 考点07 投影及投影向量求解 【方法点拨】将已知量代入在方向上的投影向量公式 (是与方向相同的单位向量,且)中计算即可. 【例13】已知，且在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【例14】已知向量满足在上的投影向量为，则（    ） A． B． C．12 D．6 【变式7-1】已知两个非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知向量，在方向上的投影向量为，则（   ） A． B． C．6 D．12 考点08 由数量积判断三角形形状 【例15】在中，若，则的形状一定是（   ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 【例16】若O为△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABC的形状为（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【变式8-1】若M为所在平面内一点，且满足，则的形状为 ． 【变式8-2】已知是非零向量且满足，，则的形状为（    ） A．等腰（非直角）三角形 B．等边三角形 C．直角（非等腰）三角形 D．等腰直角三角形 【变式8-3】在中，若，且，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 1．（2023-24高二上·湖南长沙·期末）已知向量，均为单位向量，且，则（   ） A．2 B． C．4 D． 2．（2023-24高三上·湖北·期末）已知单位向量满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 3．（2023-24高三上·河北邢台·期末）已知单位向量和的夹角为，且，则（   ） A．1 B． C．2 D． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2023-24高三下·北京海淀·阶段练习）设和的夹角为，是为锐角的（   ）条件 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2023-24高三上·天津红桥·期末）已知菱形的边长为，点分别在边上，，.若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023-24高三上·四川成都·阶段练习）（多选）设单位向量满足，则下列结论正确的是（    ） A．与的夹角为 B． C． D．在的方向上的投影向量为 8．（2023-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）（多选）所在平面内一点满足，则下列选项正确的是（   ） A． B．延长交于点，则 C．若，且，则 D．若，则 9．（2024·安徽·模拟预测）若向量、满足，，，则 ． 10．（2023-24高三上·江苏盐城·期中）已知点C在以为直径的圆上，点D为的中点，若，，则的值为 . 11．（2023-24高二上·上海·阶段练习）已知、是空间中两个互相垂直的单位向量，向量满足，且，当取任意实数时，的最小值为 12．（2023-24高三上·甘肃天水·阶段练习）已知与的夹角. (1)求； (2)若，求的值. 13．（2023-24高三上·江西宜春·开学考试）如图，在中，已知边上的两条中线相交于点．    (1)求中线的长； (2)求的余弦值； 14．（2024·四川德阳·一模）平面向量，满足 (1)若在上的投影向量恰为的相反向量，求实数t的值； (2)若为钝角，求实数t的取值范围． 15．（2023-24高一下·山东·阶段练习）在平行四边形ABCD中，，，若M，N分别是边BC，CD所在直线上的点，且满足，，.    (1)当，时，求向量和夹角的余弦值； (2)当时，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习03 向量的数量积 知识点 1 ：向量的夹角 （1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角. 显然,当时,与同向;当时,与反向. （2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 知识点 2 ：向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 知识点 3 ：向量的投影向量 （1）如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. （2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. （3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 知识点 4 ：向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）；（2）；（3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）；（5）或 知识点 5 ：数量积运算的运算律 （1）；（2）；（3） 考点01 向量数量积的简单计算 【方法点拨】向量数量积的求法：（1）求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键；（2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. 【例1】已知与的夹角为，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B. 【例2】已知和的夹角为，且，则（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【详解】 故选：C 【变式1-1】已知空间向量和的夹角为，且，，则等于（    ） A．12 B．8 C．4 D．14 【答案】D 【详解】, 故选：D 【变式1-2】已知向量，满足，，且与夹角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题得， 所以. 故选：. 【变式1-3】已知向量和的夹角为120°，且，则（　　） A．12 B． C．4 D．13 【答案】D 【详解】. 故选：D 考点02 平面几何图形中的数量积 【方法点拨】先利用已知向量表示所求向量，然后用数量积的运算律及定义计算即可 【例3】在平面四边形中，已知，则（   ） A．35 B．39 C．43 D．60 【答案】B 【详解】由，则， . 故选：B. 【例4】如图，在四边形中，，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由，，，得, 三角形中，, , . 故选：C. 【变式2-1】如图的弦图中，四边形ABCD是边长为5的正方形，四边形EFGH是边长为1的正方形，四个三角形均为直角三角形，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【详解】根据题意四个三角形均为全等的直角三角形，设，则，在直角三角形中，，即，    . 故选：D. 【变式2-2】在中，，，，则（    ） A．3 B． C．－3 D． 【答案】D 【详解】因为在中，，，， 所以，. 故选：D. 【变式2-3】八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形，其中，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【详解】由题知八边形为正八边形，则，， 因为，所以， 所以. 故选：C 考点03 向量数量积的最值范围 【例5】美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，作，垂足分别为，且与左半圆相切， 切点为与右半圆相切，切点为. ，其中为在上的投影， 因为，所以. 当与重合时，最大，最大值为， 此时取得最大值，最大值为； 当与重合时，最小，最小值为， 此时取得最小值，最小值为； 故的取值范围是， 故选：B 【例6】在中，，，是外接圆的圆心，在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设的中点分别为，连接，则， 可得， 同理可得， 因为在线段上，设， 则 ， 所以的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点睛：1.对于外心的数量积问题，常借助于外心的性质结合中点分析求解； 2.对于三点共线常结合结论：若三点共线，则，且，分析求解. 【变式3-1】如图，在边长为的等边中，点为中线上的动点，点为的中点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 其中为在上的投影， 又因为点为边长为的等边中线上的动点， 点为的中点，当点与点重合时，为等边三角形， 此时有最大值，所以， 当点与点重合时，此时有最小值， ， 所以，又， 所以，即． 故选：B． 【变式3-2】已知点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示： 因为点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点， 由图象知：， 所以， 故选；C 【变式3-3】已知点P是边长为1的菱形内一动点（包括边界），，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】解：在菱形中，因为边长为1，，所以，且， 如图，过P作PQ垂直于AB于Q，过C作CE垂直于AB于E， 因为点P是边长为1的菱形内一动点（包括边界）， 所以由平面向量数量积的几何意义，有, 所以当点P在C点处时最大为，即最大， 此时， 所以的最大值为， 故选：B. 考点04 利用数量积求向量模长 【方法点拨】求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方. 【例7】已知平面向量满足：，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】已知，两边同时平方可得：. 展开得到：. 因，则，上式化为：，即. . 故选：A. 【例8】已知单位向量满足，则（    ） A．8 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，即， 则，化简得， 则， 故选：D. 【变式4-1】已知 和 都是单位向量，若 在 上的投影向量为 ，则 （    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由 在 上的投影向量为 ，得：， 根据 和 都是单位向量，可得， 即， 故选： B. 【变式4-2】已知向量，且，则 ． 【答案】 【详解】由题意，所以． 故答案为：. 【变式4-3】已知单位向量，的夹角为，则 ． 【答案】 【详解】由题意得，， ∴. 故答案为：. 考点05 利用数量积求向量夹角 【方法点拨】求向量,的夹角的思路 （1）求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值；（2）在个别含有与的等量关系式中,常利用消元思想计算的值. 【例9】已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得①， 由，得②， 由②-①，得， 由，得，所以，则， 设与的夹角为，则，因为，所以. 故选：A. 【例10】已知，为单位向量，，，若，则与的夹角为（    ） A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】A 【详解】由，得， 即，因此， 所以与的夹角为. 故选：A 【变式5-1】已知单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】单位向量满足，则， ，， 所以. 故选：A 【变式5-2】若两个单位向量满足，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得． 因为为单位向量，所以化简可得：，解得， 则与夹角的余弦值为． 故选：D. 【变式5-3】已知向量满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解法一：因为，，所以， 故．所以， 故选：B． 解法二：依题意，，可得， 构造如图所示的图形，观察可知， 故选：B． 考点06 利用数量积解决垂直问题 【方法点拨】涉及已知两向量的互相垂直问题,常转化为两向量的数量积为0求解,求解时要注意借助向量数量积的运算律. 【例11】已知单位向量与的夹角为，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】由，则， 解得，则 . 故选：A. 【例12】已知平面向量为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由平面向量为两两不共线的单位向量， 设，，，如下图，为边长为1的菱形， 若，即与垂直，， 即，而，且， 所以共线，即与共线； 若与共线，即且，而，即， 所以与垂直，故. 所以“”是“与共线”的充要条件. 故选：C 【变式6-1】已知向量，是单位向量，且，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设向量，的夹角为，，由，为单位向量，得， 由，得，解得， 所以. 故选：C 【变式6-2】若非零向量，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 即，又， . 故选：D. 【变式6-3】已知向量，的模相等且夹角为，若向量与向量垂直，则实数（   ）. A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】由，则， 即，即. 解得. 故选：D. 考点07 投影及投影向量求解 【方法点拨】将已知量代入在方向上的投影向量公式 (是与方向相同的单位向量,且)中计算即可. 【例13】已知，且在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，将等式两边同时平方可得. 根据向量平方的展开式,所以， 化简可得，即，这表明. 根据向量投影向量的定义， 所以在上的投影向量为. 因为，所以. 则在上的投影向量为. 故在上的投影向量为. 故选：A. 【例14】已知向量满足在上的投影向量为，则（    ） A． B． C．12 D．6 【答案】A 【详解】因为在上的投影向量为，所以. 故选：A. 【变式7-1】已知两个非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以，所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 【变式7-2】已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为向量满足， 所以，解得， 所以在方向上的投影向量是， 故选：D. 【变式7-3】已知向量，在方向上的投影向量为，则（   ） A． B． C．6 D．12 【答案】A 【详解】依题意，在方向上的投影向量为，则，而， 所以. 故选：A 考点08 由数量积判断三角形形状 【例15】在中，若，则的形状一定是（   ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【详解】在中，由，得，则， 因此，所以是直角三角形. 故选：D 【例16】若O为△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABC的形状为（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】B 【详解】在中，， 所以， 所以，即， 即， 可得，因与均为非零向量， 则，即，是直角三角形. 故选：. 【变式8-1】若M为所在平面内一点，且满足，则的形状为 ． 【答案】等腰三角形 【详解】由，可得． 又因为，所以． 即，由此可得是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形. 【变式8-2】已知是非零向量且满足，，则的形状为（    ） A．等腰（非直角）三角形 B．等边三角形 C．直角（非等腰）三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】是非零向量且满足，， ，， 即，， ， ，且，又， 所以， ∴是等边三角形. 故选：B． 【变式8-3】在中，若，且，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】因为，所以， 若，则，所以， 即，所以是等腰三角形． 故选：C． 1．（2023-24高二上·湖南长沙·期末）已知向量，均为单位向量，且，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】因为向量，均为单位向量，且，所以，， 所以， 故选：B. 2．（2023-24高三上·湖北·期末）已知单位向量满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 所以，则. 故选：C 3．（2023-24高三上·河北邢台·期末）已知单位向量和的夹角为，且，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】，即. 故选：D. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法1、因为，所以， 因为，，所以，解得， 则或，解得，则的取值范围为． ［易错］容易忽略作为分式的分母不能为0以及，从而导致取值范围错误． 方法2、 如图，设，则，， 因为，则， 当时，，且； 当时，，所以的取值范围为． 故选：C 5．（2023-24高三下·北京海淀·阶段练习）设和的夹角为，是为锐角的（   ）条件 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题得， 所以. 所以 所以向量和的夹角为锐角或者零度角. 所以是为锐角的非充分条件. 当为锐角时， 可以得到. 所以是为锐角的必要条件. 故选：B 6．（2023-24高三上·天津红桥·期末）已知菱形的边长为，点分别在边上，，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以 ①， 又，②， 由①②解得． 故选：C. 【点睛】方法点睛：利用向量的数量积的运算律计算可得的方程组，解方程组可求解. 7．（2023-24高三上·四川成都·阶段练习）（多选）设单位向量满足，则下列结论正确的是（    ） A．与的夹角为 B． C． D．在的方向上的投影向量为 【答案】BCD 【详解】由于， 又因为，所以，故，故B正确，A错误； 因为，故， 又，故，所以，C正确； 在的方向上的投影向量为，故D正确. 故选：BCD 8．（2023-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）（多选）所在平面内一点满足，则下列选项正确的是（   ） A． B．延长交于点，则 C．若，且，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】选项A：因为， 所以，故A错； 选项B：延长交于点，设，， 所以， 由，得， 所以， 即，解得：，则，故B正确； 选项C：∵，∴，延长交于点， ∴，∵，由B选项知，∴， 故C正确； 选项D：由，， 两边平方得，∴， ∴ ，故D正确. 故选：BCD. 9．（2024·安徽·模拟预测）若向量、满足，，，则 ． 【答案】 【详解】因为，，， 则，所以，， 所以，因此，. 故答案为：. 10．（2023-24高三上·江苏盐城·期中）已知点C在以为直径的圆上，点D为的中点，若，，则的值为 . 【答案】 【详解】由， 由题意且，则.    故答案为： 11．（2023-24高二上·上海·阶段练习）已知、是空间中两个互相垂直的单位向量，向量满足，且，当取任意实数时，的最小值为 【答案】 【详解】因为，，，， 所以 ， 所以当时，的最小值为， 故答案为：. 12．（2023-24高三上·甘肃天水·阶段练习）已知与的夹角. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）， . （2）由，得0， 解得. 13．（2023-24高三上·江西宜春·开学考试）如图，在中，已知边上的两条中线相交于点．    (1)求中线的长； (2)求的余弦值； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为为的中点，， （2）   ， ， . . 14．（2024·四川德阳·一模）平面向量，满足 (1)若在上的投影向量恰为的相反向量，求实数t的值； (2)若为钝角，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得， 则，即， 因为，则， 所以， ， 所以，解得. （2）由（1）知，， 因为为钝角，所以，即， 若共线，设，即 则，解得或， 要使为钝角，则且， 即实数t的取值范围为． 15．（2023-24高一下·山东·阶段练习）在平行四边形ABCD中，，，若M，N分别是边BC，CD所在直线上的点，且满足，，.    (1)当，时，求向量和夹角的余弦值； (2)当时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，同理， 而，故， 故， 而，， 故. （2）,, 故 ， 因为，故， 故的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$