28.1.2 余弦和正切-（配套课件）【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（人教版）

第二十八章 锐角三角函数 九年级数学人教版·下册 28.1.2余弦和正切 授课人：XXXX 1 教学目标 1.理解余弦、正切的概念,并会求锐角的余弦值、正切值；（重点） 2.类比正弦的概念,探索余弦、正切的概念．（难点） 新课导入 A B C 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定. 此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ 能确定 问题思考 观察两个大小不同的三角板，当角是30°，45°，60°时，它们的邻边与斜边、对边与邻边的比有什么规律?谈谈你的看法. 新知探究 思考　在不同的直角三角形中，当锐角A的度数相同时，它们的邻边与斜边的比、对边与邻边的比是同一个固定值吗? 已知:如图所示，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α. 证明:由于∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'， 锐角A的度数一定时，∠A的邻边与斜边、∠A的对边与邻边的比是不是一个固定值呢? 新知探究 A B' C' A' B C 1.在直角三角形中，当锐角的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角的邻边与斜边的比都是一个固定值. 2.在直角三角形中，当锐角的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与邻边的比都是一个固定值. 新知探究 如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即 A B C ∠A的邻边 斜边 cos A = 从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有 cos α = sin (90°－α) 从而有 sin α = cos (90°－α) 新知探究 1. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cosA＝ . 2. 求 cos30°，cos60°，cos45°的值． 解：cos30°= sin (90°－30°) = sin60° = ； cos60°= sin (90°－60°) = sin30°= cos45°= sin (90°－45°) = sin45°= 新知探究 新知探究 如图所示， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°， 则 成立吗？为什么？ A B C D E F ∴ Rt△ABC ∽ Rt△DEF. 即 BC · DF = AC · EF ， ∠A=∠D ，∠C =∠F = 90°， ∵ ∴ ∴ 成立. 证明： 　　如下图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即 ∠A的对边 ∠A的邻边 tan A = A B C 邻边 对边 　　∠A的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数. 新知探究 新知探究 A B C 6 例 如图，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，AB=10,BC = 6， 求 sinA,cosA,tanA的值． 解：由勾股定理得 ∴ 在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求出其它的所有锐角三角函数值.   10 如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？ 想一想： 互为倒数. A B C 邻边 对边   新知探究 (4)当用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如tan∠ABC. [知识拓展]　 (1)余弦和正切都是一个比值，没有单位. (2)余弦值和正切值只与角的大小有关，而与三角形的大小无关. (3)cos A，tan A都是一个整体符号，不能写成cos·A，tan·A. 新知探究 课堂小结 余弦、正切 ∠A的邻边 斜边 cos A = ∠A的对边 ∠A的邻边 tan A = . 课堂小测 1.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则cos A的值是　　(　　) 　A. 　　 B. 　　 C.　　 D.4 B 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则下列选项正确的是　(　　) A.sin A=　　B.cos A= C.tan A=　　D.以上都不对 B 课堂小测 3.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出∠A和∠B的对边、邻边. A B C D (1) tanA = = AC ( ) CD ( ) (2) tanB= = BC ( ) CD ( ) BC AD AC BD 课堂小测 4. 已知 ∠A，∠B 为锐角， (1) 若∠A =∠B，则 cosA cosB； (2) 若 tanA = tanB，则∠A ∠B; (3) 若 tanA · tanB = 1，则 ∠A 与 ∠B 的关系为： . = = 5. tan30°= ，tan60°= . ∠A +∠B = 90° 课堂小测 6. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB， 垂足为 D. 若 AD = 6，CD = 8. 求 tanB 的值. 解: ∵ ∠ACB＝ ∠ADC =90°， ∴∠B+ ∠A=90°， ∠ACD+ ∠A =90°， ∴∠B = ∠ACD， ∴ tan∠B = tan∠ACD = 7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA = ， 求 sinA,tanA 的值． 解： A B C 设 AC = 15k，则 AB = 17k. ∴ ∴ 课堂小测 $$