24.7.1 弧长与扇形面积-（配套课件）【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（沪科版）

第24章 圆 九年级数学沪科版·下册 24.7.1 弧长与扇形面积 授课人：XXXX 1 教学目标 1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点) 2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.(重点) 情景导入 情境引入 新知探究 问题1 如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？ 问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？ 因为这些弯道的“展直长度”是一样的. 甲 乙 1 2 问题引入 新知探究 与弧长相关的计算 一 问题1 半径为R的圆,周长是多少？ O R 问题2 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几? O R 180° O R 90° O R 45° O R n° C=2πR 6 新知探究 用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的. 注意 算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧长为____. 知识要点 弧长公式 新知探究 典例精析 · O A 解：设半径OA绕轴心O按逆时针 方向旋转的度数为n°. 解得 n≈90. 因此，滑轮旋转的角度约为90°. 例1 一滑轮起重机装置如图，滑轮的半径R=10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14）？ 新知探究 例2 古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法.如图，点S和点A分别表示埃及的赛伊尼和亚历山大两地，亚历山大在赛伊尼的北方，两地的经度大致相同，两地的实际距离为5000希腊里(1 希腊里≈158.5 m).当太阳光线在赛伊尼直射时，同一时刻在亚历山大测量太阳光线偏离直射方向的角为α.实际测得α是7.2°，由此估算出了地球的周长，你能进行计算吗？ O α A S 新知探究 解：∵太阳光线可看作平行的，∴圆心角∠AOS=α=7.2°. 设地球的周长为C1，则 答：地球的周长约为39625km. O α A S 新知探究 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的“展直长度”l(单位：mm，π取3.14). 解：由弧长公式，可得弧AB的长 因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970(mm). 答：管道的“展直长度”为2970mm． 700mm 700mm R=900mm ( 100 ° A C B D O 练一练 新知探究 两条半径与所夹弧围成的图形，叫作扇形. 半径 半径 O B A 圆心角 弧 O B A 扇形 与扇形面积相关的计算 二 新知学习 新知探究 下列图形是扇形吗？ 判一判 √ × × × √ 新知探究 问题1 半径为R的圆,面积是多少？ O R 问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几? O R 180° O R 90° O R 45° 想一想 S=πR² O R n° 新知探究 (1) 圆心角是180°，占整个周角的 ，因此圆心角是180°的扇形面积是圆面积的__________. (2) 圆心角是90°，占整个周角的 ，因此圆心角是90°的扇形面积是圆面积的__________. (3) 圆心角是45°，占整个周角的 ，因此圆心角是45°的扇形面积是圆面积的__________. (4) 圆心角是n°，占整个周角的 ，因此圆心角是n°的扇形面积是圆面积的__________. 新知探究 若设☉O半径为R，求圆心角为n°的扇形的面积 ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不 带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）. 注意 A B O 知识要点 扇形的面积公式 新知探究 问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？ A B O O 类比学习 新知探究 1.扇形的弧长和面积都由 决定. 扇形的半径与扇形的圆心角 2.已知半径为2cm的扇形，其弧长为 π cm，则这个扇形的面积S扇= ． 3.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇= . 试一试 新知探究 典例精析 例3 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长（精确到0.01cm2和0.01cm）. O R 60° 解：∵n=60，R=10cm， ∴扇形的面积为 扇形的周长为 新知探究 例4 如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积． （1）证明：连接OC． ∵AC=CD，∠ACD=120°， ∴∠A=∠D=30°． ∵OA=OC， ∴∠ACO=∠A=30°． ∴∠OCD=180°-∠A-∠D-∠ACO=90°， 即OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线． 新知探究 (2) ∵∠A=30°， ∴∠COB=2∠A=60°． 在Rt△OCD中， 新知探究 例5 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积（精确到0.01cm）. (1) O B A C 讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？ 阴影部分. 新知探究 O. B A C D (2) O. B A C D (3) (2)水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？ 线段DC.过点O作OD垂直符号于AB并延长交圆O于C. (3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？ 阴影部分面积=扇形AOB的面积- △OAB的面积 新知探究 解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C. ∵ OC＝0.6， DC＝0.3， ∴ OD＝OC- DC＝0.3. 又 AD ⊥DC，OA＝0.6， ∴∠AOD＝60˚, ∠AOB=120˚. O B A C D (3) 　　有水部分的面积： 　　S＝S扇形AOB - S△OAB 新知探究 O O 弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积 S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形 知识要点 弓形的面积公式 课堂小结 弧长 计算公式： 扇形 定义 公式 阴影部分面积 求法：整体思想 弓形 公式 S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形 割补法 26 课堂小测 C B． C. D. 1.已知弧所对的圆周角为90°,半径是4,则弧长为 . 2.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∠A=30°，BC=2，O，H分别为AB，AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为 （ ） A B C O H C1 A1 H1 O1 4π 课堂小测 3.如图，☉A，☉B， ☉C， ☉D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是 . A B C D 课堂小测 4.（例题变式题）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积. O A B D C E 解： $$