24.5 三角形的内切圆-（配套课件）【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（沪科版）

第24章 圆 九年级数学沪科版·下册 24.5 三角形的内切圆 授课人：XXXX 1 教学目标 1.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念. 2.掌握三角形内心的性质并能加以应用.(重点) 3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想. (难点) 复习导入 问题引入 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 新知探究 三角形的内切圆及作法 一 问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？ 互动探究 O O O O 最大的圆与三角形三边都相切 新知探究 三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？ 问题2 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？ (1) 如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？ (2) 在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？ 圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r. 三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等. 圆心I应是三角形的三条角平分线的交点. 为什么呢？ 新知探究 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆. M N D 作法： 1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O. 2.过点O作OD⊥BC.垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O， 则☉O就是所求的圆. 做一做 C B A O 新知探究 1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. B A C I ☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形. 知识要点 新知探究 三角形的内心的性质 二 B A C I 问题1 如图，☉I是△ABC的内切圆，那么线段OA，OB ,OC有什么特点？ 互动探究 线段OA，OB ,OC 分别是∠A，∠B，∠C的平分线. 新知探究 B A C I 问题2 如图，分别过点I作AB，AC，BC的垂线，垂足分别为E，F，G，那么线段IE，IF，IG之间有什么关系？ E F G IE=IF=IG 新知探究 知识要点 三角形内心的性质 三角形的内心在三角形的角平分线上. 三角形的内心到三角形的三边距离相等. B A C I E F G IA，IB，IC是△ABC的角平分线，IE=IF=IG. 新知探究 例1 如图，△ABC中，∠ B=43°，∠C=61 °，点I是△ABC的内心，求∠ BIC的度数. 解：连接IB，IC. A B C I ∵点I是△ABC的内心， ∴IB，IC分别是∠ B，∠C的平分线， 在△IBC中， 新知探究 例2 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径. 该木模可以抽象为如下几何图形. 新知探究 C A B r O D 解： 如图，设圆O切AB于点D，连接OA，OB，OD. ∵圆O是△ABC的内切圆, ∴AO，BO是∠BAC，∠ABC的角平分线， △ABC是等边三角形, ∴ ∠OAB=∠OBA=30°. ∵OD⊥AB，AB=3cm， ∴AD=BD= AB=1.5(cm) ∴OD=AD· tan30°= (cm) 答:圆柱底面圆的半径为 cm. 新知探究 例3 △ABC的内切圆☉O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF，BD，CE的长. 想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？ A C B E D F O 新知探究 解: 设AF=xcm，则AE=xcm. ∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)， BF=BD=AB-AF=13-x(cm). 由 BD+CD=BC，可得 (13-x)+(9-x)=14， ∴ AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm). 方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程. 解得 x=4. 新知探究 比一比 名称 确定方法 图形 性质 外心：三角形外接圆的圆心 内心：三角形内切圆的圆心 三角形三边 中垂线的交 点 1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三角形的内部． 三角形三条 角平分线的 交点 1.到三边的距离相等； 2.OA，OB，OC分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB 3.内心在三角形内部． A B O A B C O 新知探究 解析：先画草图，由等腰三角形底边上的中垂 线与顶角平分线重合的性质知，等边三角形 的内切圆与外接圆是两个同心圆. C A B O D 求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径. 解：如图，由题意可知BC=6cm，∠ABC=60°， OD⊥BC，OB平分∠ABC. ∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形. 内切圆半径 外接圆半径 新知探究 变式： 求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比. sin∠OBD = sin30°= C A B R r O D 新知探究 A B C O D E F A B C D E F O 设△ABC的面积为S，周长为L， △ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？ 想一想： 要求出三角形的面积 需要哪些量? 根据三角形内心的性质, 可以如何添加辅助线? 新知探究 A B C O b D E r 如图，直角三角形的两直角边分别是a，b,斜边为c，则其内切圆的半径r为___________（用含a，b，c的代数式表示r）. 解析：过点O分别作AC，BC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F. F 则AD=AC-DC=b-r, BE=BC-CE=a-r, 因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c, 所以b-r+a-r=c, 所以 c a 课堂小结 三角形内切圆 运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程. 有关概念 内心概念及性质 应用 课堂小测 （2）若∠A=80 °，则∠BIC = 度. 130 20 1.如图，在△ABC中，点I是内心. （1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，∠BIC=_____. A B C I （3）若∠BIC=100 °，则∠A = 度. （4）试探索： ∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？ 120° 课堂小测 2.《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是____步． 6 解析：先由勾股定理得出斜边的长，再根据公式 求出该直角三角形内切圆的半径，即可得出直径的长度. 课堂小测 3.如图，⊙O与△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是（　　） A．点O是△ABC的内心 B．点O是△ABC的外心 C．△ABC是正三角形 D．△ABC是等腰三角形 解析：过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK，OD，OF，根据垂径定理和已知求出DM=KQ=FN，根据勾股定理求出OM=ON=OQ，即点O是△ABC的内心. Ａ 课堂小测 4.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D. 求证：DI＝DB. 证明：连接BI. ∵I是△ABC的内心， ∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI. ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠BAD=∠CBD. ∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD， ∴∠BID=∠IBD， ∴BD=ID． 课堂小测 拓展提升： 直角三角形的两直角边分别是3cm ,4cm,试问： （1）它的外接圆半径是 cm;内切圆半径是 cm？ （2）若移动点O的位置，使☉O保持与△ABC的边AC，BC都相切，求☉O的半径r的取值范围. · A B C E D F O 2.5 1 课堂小测 解：如图所示，设与BC，AC相切的最大圆与BC，AC的切点分别为B，D,连接OB，OD,则四边形BODC为正方形. · A B O D C ∴OB＝BC＝3， ∴半径r的取值范围为0＜r≤3. $$