24.4.3 切线长定理-（配套课件）【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（沪科版）

第24章 圆 九年级数学沪科版·下册 24.4.3 切线长定理 授课人：XXXX 1 教学目标 1.掌握切线长的定义及切线长定理.（重点） 2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（难点） 复习导入 情境引入 同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？ 新知探究 切线长定理及应用 一 互动探究 问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ P O B A O. P A B 新知探究 P 1.切线长的定义： 切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长． A O ①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 2.切线长与切线的区别在哪里？ 知识要点 新知探究 问题2 PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B． OB是☉O的一条半径吗？ PB是☉O的切线吗？ （利用图形轴对称性解释） PA，PB有何关系？ ∠APO和∠BPO有何关系？ O. P A B 新知探究 B P O A 切线长定理: 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. PA，PB分别切☉O于A，B PA = PB ∠OPA=∠OPB 几何语言: 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 注意 知识要点 新知探究 O. P 已知，如图PA，PB是☉O的两条切线，A，B为切点. 求证：PA=PB，∠APO=∠BPO. 证明：∵PA切☉O于点A， ∴ OA⊥PA. 同理可得OB⊥PB. ∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. 推理验证 A B 新知探究 想一想：若连接两切点A，B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB. 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB. O. P A B M 新知探究 想一想：若延长PO交⊙O于点C，连接CA，CB，你又能得出什么新的结论?请给出证明. 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点， ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB. PC=PC. ∴ △PCA ≌ △PCB， ∴AC=BC. AC=BC O. P A B C 新知探究 典例精析 例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD， DA与⊙O分别相切于点E，F，G，H. 求证：AB+CD=DA+BC. · A B C D O 证明：∵AB，BC，CD，DA与⊙O相切，E，F，G，H是切点， E F G H ∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH. ∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH， 即AB+CD=DA+BC. 新知探究 例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径.若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径． 解析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA，OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径． O B C 新知探究 在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°， O Q 解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP，OA. ∵AP，AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO. 又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°. 故铁环的半径为 B C ∴ 新知探究 1.PA，PB是☉O的两条切线，A，B为切点，直线OP交☉O于点D，E，交AB于C. （1）写出图中所有的垂直关系； OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. （3）写出图中所有的全等三角形； △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP. （4）写出图中所有的等腰三角形. △ABP ， △AOB. （2）写出图中与∠OAC相等的角； ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. B P O A C E D 练一练 新知探究 B P O A 2.PA，PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP= ; （2）若∠BPA=60 °,则OP= . 5 6 新知探究 3.如图，PA，PB是☉O的两条切线，点A，B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作☉O的切线，分别交PA，PB于点D，E.已知PA=7，∠P=40°.求： ⑵ ∠DOE的度数. ⑴ △PDE的周长； O P A B C E D 解：⑴连接OA，OB，OC，OD和OE. ∵PA，PB是☉O的两条切线，点A，B是切点， ∴PA=PB=7. 又∵DC，DA是☉O的两条切线，点C，A是切点， ∴DC=DA.同理可得CE=EB. 新知探究 ⑵∵D，E是切线PA，PB上的点， ∠PAO=∠PBO=90°， ∴∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=140°. ∴∠DOC=∠DOA= ∠AOC. ∠DOE=∠DOC+∠COE= (∠AOC+∠BOC)=70°. ∴∠COE=∠BOE= ∠BOC. ∴S△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14. 新知探究 切线长问题辅助线添加方法： （1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和圆外一点. 方法归纳 课堂小结 切线长 切线长定理 作用 图形的轴对称性 原理 提供了证线段和 角相等的新方法 辅助线 分别连接圆心和切点； 连接两切点； 连接圆心和圆外一点. 课堂小测 20 ° 4 120 ° A 1.如图，PA，PB是☉O的两条切线，切点分别是A，B.若AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= . B P O A 第1题图 2.如图，已知点O是△ABC 的外心，且∠ABC= 50 °, ∠ACB= 70 °,则∠BOC= . B C O 第2题图 课堂小测 3.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC相切于点D. 求证：DE∥OC. 方法一： 证明：连接OD. ∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC， ∴∠ODC=∠B=90°. 在Rt△OCD和Rt△OCB中， OD＝OB ，OC＝OC ∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL）， ∴∠DOC=∠BOC. ∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED. ∵∠DOB=∠ODE+∠OED， ∴∠BOC=∠OED，∴DE∥OC． 课堂小测 方法二： 证明：连接BD. ∵AC切⊙O于点D，BC切⊙O于点B，∴DC=BC，OC平分∠DCB， ∴OC⊥BD. ∵BE为⊙O的直径，∴DE⊥BD， ∴DE∥OC． $$