24.4.2 切线的性质与判定-（配套课件）【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（沪科版）

第24章 圆 九年级数学沪科版·下册 24.4.2 切线的性质与判定 授课人：XXXX 1 教学目标 1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线. 2.理解并掌握圆的切线的性质定理及判定定理.（重点） 3.能运用圆的切线的性质定理和判定定理解决问题.（难点） 复习导入 情境引入 砂轮上打磨工件时飞出的火星 右图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？ 新知探究 切线的性质 一 问题1 直线与圆有哪些位置关系？ 温故知新 r d ∟ r d ∟ r d 相交 相切 相离 我们学习过哪些判断切线的方法？ 两个交点 一个交点 没有交点 d＜r d=r d＞r 新知探究 问题2 如图，若直线AT是 ⊙O 的切线，A 为切点，那么 AT和半径OA是不是一定垂直？请说明理由. ∟ r d A T O 反证法：假设AT与OA不垂直， 则过点O作OM⊥AT,垂足为M. 根据垂线段最短，得OM＜OA， 即圆心O到直线AT的距离d＜r， ∴直线AT与⊙O 相交， 这与已知“AT是⊙O 的切线”矛盾 ∴假设不成立，即AT⊥OA. M 新知探究 知识要点 A l O ∵直线l是☉O的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA. 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径． 应用格式 新知探究 例1 如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O相交于B，C两点，∠P＝30°，连接AO，AB，AC. (1)求证：△ACB≌△APO； (2)若AP＝ ，求⊙O的半径． 解析：(1)根据已知条件我们易得∠CAB=∠PAO=90°，由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，即AC=AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO； O A B P C (2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长. 新知探究 在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，∴△ACB≌△APO. ∴AO＝1，∴CB＝OP＝2，∴OB＝1，即⊙O的半径为1. (2)在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝ ， 解：(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP＝90°. ∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°.∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴AB＝AO，∠ABO＝60°. 又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°. 新知探究 切线的判定 二 O A B C 问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？ 观察：（1） 圆心O到直线AB的距离 和圆的半径有什么数量关系? （2）二者位置有什么关系？为什么？ 观察与思考 相等 互相垂直，平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直. 新知探究 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. OA为☉O的半径 BC⊥OA于点A BC为☉O的切线. O A B C 切线判定定理 应用格式 知识要点 新知探究 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ O. A O. A B A O (1) (2) (3) (1)不是，因为没有垂直. (2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A. 在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 注意 判一判 新知探究 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线. 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切. 3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. l A l O l r d 要点归纳 新知探究 例2 如图,∠ABC=45°，AB是☉O的直径，AB=AC. 求证：AC是☉O的切线. 解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可. 证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°. ∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°. ∵AB是☉O的直径， ∴ AC是☉O的切线. A O C B 新知探究 例3 如图，AB经过☉O上的点C，并且OA=OB，CA=CB. 求证：AB是☉O的切线. O B A C 分析：由于AB过☉O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可. 证明：连接OC(如图). ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰△OAB底边AB上的中线.　 ∴ AB⊥OC. ∵ OC是☉O的半径, ∴ AB是☉O的切线. 新知探究 例4 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，☉O与AB 相切于E.求证：AC 是☉O 的切线． B O C E A 分析：根据切线的判定定理，要证明AC是☉O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是☉O的半径就可以了，而OE是☉O的半径，因此只需要证明OF=OE. F 新知探究 证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC. ∵☉O 与AB 相切于E ， ∴OE ⊥ AB. 又∵△ABC 中，AB ＝AC ， 　　O 是BC 中点． ∴AO 平分∠BAC， F B O C E A ∴OE＝OF. ∵OE 是☉O 半径， OF ＝OE，OF ⊥ AC. ∴AC 是☉O的切线． 又OE⊥AB ，OF⊥AC. 新知探究 (1) 有交点，连半径,证垂直; (2) 无交点，作垂直,证半径. 证切线时辅助线的添加方法 例1 例2 有切线时常用辅助线添加方法 (1) 见切点，连切点，得垂直. 切线的其它重要结论 (1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; (2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 方法归纳 证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径. 课堂小结 切线的 判定方法 定义法 数量关系法 判定定理 1个公共点，则相切 d=r，则相切 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的 性质 有1个公共点 d=r 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 有切线时常用辅助线 添加方法： 见切线，连切点，得垂直. 课堂小测 1.判断下列命题是否正确. ⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线. （ ） ⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ） ⑶ 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. ( ) ⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ） ⑸ 过半径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ） × × √ √ × 课堂小测 3.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ） A．40° B．35° C．30° D．45° 2.如图所示，A是☉O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与☉O的位置关系是 . A P O 第2题图 P O 第3题图 D A B C 相切 C 课堂小测 4.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径是多少？ O P B A 解：连接OB，则∠OBP=90°. 设⊙O的半径为r,则OA=OB=r, OP=OA+PA=2+r. 在Rt△OBP中， OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2. 解得 r=3， 即⊙O的半径为3. 课堂小测 证明：连接OP. ∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB， ∴∠OBP=∠C. ∴OP∥AC. ∵PE⊥AC， ∴PE⊥OP. ∴PE为☉O的切线. 5.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O交边BC于P， PE⊥AC于E. 求证:PE是☉O的切线. O A B C E P 课堂小测 拓展提升： 已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF. （1）如图①，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是 （只需写出两种情况）： ① _________ ；② _____________ . （2）如图②，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线. BA⊥EF ∠CAE=∠B A F E O A F E O B C B C 图 图 ① ② 课堂小测 证明：连接AO并延长交☉O于D,连接CD,则AD为☉O的直径，∠D+ ∠DAC=90 °. ∵ ∠D与∠B同对 , ∴ ∠D= ∠B. 又∵ ∠CAE= ∠B, ∴ ∠D= ∠CAE, ∴∠DAE= ∠DAC+ ∠EAC=90°, ∴DA⊥EF ∴EF是☉O的切线. D $$