3.6.2 切线的判定-（配套课件）【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

第三章 圆 3.6.2 切线的判定 授课人：XXXX 九年级数学北师版·下册 1 教学目标 1.通过学习判定一条直线是否为圆的切线,训练学生的推理判断能力． 2.会过圆上一点画圆的切线,训练学生的作图能力． 3.会作三角形的内切圆． 新课导入 情境引入 d r d r 直线和圆相切 直线和圆相离 d r 相交 相切 　相离 < = > 直线和圆相交 新课导入 B ●O A l ┓ d α ┏ d α d ┓ 你能写出一个命题来表述这个事实吗? 如图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A,l与AB的夹角为∠α,当l绕点A顺时针旋转时, 圆心O到直线l的距离d如何变化？ 随着∠α的增大而逐渐增大，当∠α=90°时，距离达到最大值. 若一条直线经过圆上的一点，则圆心到这条直线的距离，会随着这条直线与经过这一点的直径所形成的夹角的增大而增大.当夹角呈直角时，圆心到这条直线的距离最大. 过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线. C D B ●O A ∵ AB是⊙O的直径,直线CD经过A点,且CD⊥AB, ∴ CD是⊙O的切线. 这个定理实际上就是 d=r 直线和圆相切 的另一种说法. 探究新知： 新知探究 新知探究 例1.如图,AB是⊙O的直径, ∠ABT=45°,AT=BA． 求证 : AT是⊙O的切线. A T B O 证明：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT=AB，所以∠ABT＝∠ATB，又由∠ABT＝45°，所以∠ATB=45°.由三角形内角和定理可证∠TAB=90°，即AT⊥AB，故AT是⊙O的切线． 新知探究 1.如图,已知直线AB 经过⊙O上的点C, 并且AO=OB,CA=CB, 那么直线 AB是⊙O的切线吗? 解：连接OC，C为半径的外端，因此只要证OC垂直于AB即可，而由已知条件AO=OB，所以∠A＝∠B，又由AC＝BC，所以OC⊥AB．∴直线AB是⊙O的切线. 【跟踪训练】 新知探究 Ｏ Ａ Ｂ 2．如图,已知OA=OB＝5 , AB＝8，以O为圆心，以3为半径的圆与直线AB相切吗？为什么？ 解：过O作OC⊥AB ，因此只 要证OC=3即可,而由已知条件 可知AO=OB=5，AB=8，所以 AC＝BC=4，据勾股定理得 OC= 3 . ∴ ⊙O与直线AB相切. C 新知探究 从一块三角形材料中,能否剪下一个圆,使其与各边都相切? A B C A B C ● ┓ ┗ ┗ I ┓ ● D M N 探究新知： 新知探究 三角形的内切圆作法： （1）作∠ABC,∠ACB的平分线BM和CN，交点为I. （2）过点I作ID⊥BC，垂足为D. （3）以I为圆心，ID为半径作⊙I， ⊙I 就是所求的圆. A B C I ┓ ● D M N 新知探究 ∵BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等, 因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个. A B C I● ┓ ● E F 定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点. 这样的圆可以作出几个呢?为什么? 新知探究 分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆 , 并说明它们内心的位置情况. 内心均在三角形内部 . A B C A B C ● ● ● C A B ┐ 做一做 : 新知探究 1.三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ ） 2.三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ ） 3.等边三角形的内心和外心重合（ ） 4.三角形的内心一定在三角形的内部（ ） × × √ √ 巩固练习 : 新知探究 例2.如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°， 则∠BOC 的度数是 . A B C O （2）若∠A=80°，则∠BOC= . （3）若∠BOC=110°，则∠A= . 130° 40° 120° 新知探究 ● A B C ┏ 解：由Rt△ABC的三边长与其内切圆半径间 的关系得 A B C ● ┏ O b a c ┗ ┓ O D E F ┗ ● 【跟踪训练】 1.已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆, ∠C是直角, AC=3,BC=4.求⊙O的半径r. 新知探究 ● ● A B C ● O ┓ E D ┗ ┗ F 2 . 已知:如图,△ABC的面积S=4cm2,周长等于10cm. 求内切圆⊙O的半径r.     (cm). 新知探究 3.如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象.已知雕塑中心M到道路三边AC，BC，AB的距离相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米. 求镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远？ A C B 古镇区 镇商业区 镇工业区 M E D F 解：AC⊥BC，BC=30米，AC=40米,得AB=50米. 由 得M离道路三边的距离为10米.   课堂小结 本节课学习了以下内容： 1．探索切线的判定条件． 2．作三角形的内切圆． 3．了解三角形的内切圆、三角形的内心的概念． 证明直线是否是圆的切线有两种辅助线的作法： （1）过圆心作已知直线的垂线，判定距离等于半径； （2）连接圆心与圆上的点，证垂直. 规律方法 : 课堂小测 1.如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD2＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 课堂小测 证明：连接DC，DO，并延长DO交⊙O于F，连接AF. ∵AD2＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE， ∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E.　 又∵∠ADB＝∠ACB， ∴∠ACB＝∠E，∴BC∥DE， ∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC. 又∵∠CAF＝∠CDF， ∴∠FDE＝∠CDE+∠CDF＝∠DAC+∠CAF＝∠DAF＝90°， 故DE是⊙O的切线. F 课堂小测   tan 课堂小测 解 : （1）直线CE与⊙O相切. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC ， 又 ∵∠ACB=∠DCE， ∴∠DAC=∠DCE,连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE. ∵∠DCE+∠DEC=90°， ∴∠AEO+∠DEC=90°， ∴∠OEC=90 °， ∴直线CE与⊙O相切. 课堂小测   得 ， 由   tan   tan   tan ∴DE=DC•tan∠DCE=1， tan   Rt 设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中， Rt 课堂小测   课堂小测 解 : （1）PD是⊙O的切线 .理由如下： 连接OD , ∵OB=OD , ∴∠ODB=∠PBD . 又∵∠PDA=∠PBD . ∴∠ODB=∠PDA . 又∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°. 即∠ODB+∠ODA=90° . ∴∠ODA+∠PDA=90°, 即OD⊥PD . ∴PD是⊙O的切线 . 课堂小测   Rt $$