2.5.1 二次函数与一元二次方程之间的关系-（配套课件）【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

第二章 二次函数 2.5.1 二次函数与一元二次方程之间的关系 授课人：XXXX 九年级数学北师版·下册 1 教学目标 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系. 2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根. 3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标. 新课导入 情境引入 1.一元二次方程ax2+bx+c=0 的求根公式是什么？ 当b2－4ac≥0时， 当b2-4ac<0时，方程无实数根. 新课导入 2 . 求出下列一元二次方程的根： （1）x2+2x=0 （2）x2－2x+1=0 （3）x2-2x+2=0 . 解：（1）x1=0, x2=-2. （2）x1=x2=1. （3）没有实数根. 我们已经知道，竖直上抛物体的高度 h (m) 与运动时间t (s)的关系可以近似地用公式h=－5t2+v0t +h0 表示，其中h0 (m)是抛出点距地面的高度，v0 (m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，那么 （1）h与t 的关系式是什么？ （2）小球经过多少秒后落地？ h/m t/s 新知探究 新知探究 解：（1）由图象知函数过点（0，0）与点（8，0） 代入关系式h=-5t2+v0t+h0得h0=0, 由已知可知v0=40， 得h=-5t2+40t. （2）由图象可知小球经过8秒后落地.可以令h=0， 得t=0s（舍去）或t=8s. 新知探究 二次函数①y=x2+2x，②y=x2-2x+1，③y=x2-2x+2的图象如图所示. -1 1 -3 -2 -1 O x y -1 1 2 3 y x O -1 1 2 3 O y x 新知探究 （1）每个图象与x轴有几个交点？ （2）一元二次方程x2+2x=0，x2-2x+1=0有几个实数根？ 用判别式验证一下，一元二次方程x2-2x+2=0有实数根吗？ （3）二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？ 新知探究 （2）①x1=0, x2=-2,两个不相等实数根. ②x1=x2=1,两个相等实数根. ③没有实数根. 解:（1）每个图象与x轴的交点个数分别是2个，1个，0个. （3）二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点的横坐 标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 新知探究 例题：已知关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+ (m2+1)=0有实数根. (1)求m的值. (2)先作y=x2-(m+1)x+ (m2+1)的图象关于x轴的对称图形,然后将所作图形向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,写出变化后图象的解析式. (3)在(2)的条件下,当直线y=2x+n(n≥m)与变化后的图象有公共点时,求n2-4n的最大值和最小值. 新知探究 思路点拨： (1)由题意Δ≥0,列出不等式,解不等式即可. (2)画出翻折、平移后的图象,根据顶点坐标即可写出函数的解析式. (3)首先确定n的取值范围,利用二次函数的性质即可解决问题. 新知探究   x 新知探究 (2)由(1)可知y=x2-2x+1=(x-1)2, 图象如图所示: 平移后的解析式为y=-(x+2)2+2=-x2-4x-2. 新知探究 (3)由 消去y得到x2+6x+n+2=0, 由题意Δ≥0, ∴36-4n-8≥0,∴n≤7, ∵n≥m,m=1, ∴1≤n≤7, y=2x+n, y=-x2-4x-2, 令y′=n2-4n=(n-2)2-4, ∴当n=2时,y′的值最小,最小值为-4, 当n=7时,y′的值最大,最大值为21, ∴n2-4n的最大值为21,最小值为-4. 新知探究 点拨 : 1.b2-4ac>0⇔抛物线与x轴有2个交点⇔方程有两个不相等的实数根. 2.b2-4ac=0⇔抛物线与x轴有1个交点⇔方程有两个相等的实数根. 3.b2-4ac<0⇔抛物线与x轴没有交点⇔方程没有实数根. 二次函数y=ax2+bx+c与方程ax2+bx+c=0之间的关系： 新知探究 1.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴的交点情况是( ) A.无交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.不能确定 C 【跟踪训练】 2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是 . x y 0 5 x1=0，x2=5 新知探究 1 1 16   （-2，0）   x 课堂小结 1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是 一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 2.b2-4ac>0⇔抛物线与x轴有2个交点⇔方程有两个不相等的实数根. 3.b2-4ac=0⇔抛物线与x轴有1个交点⇔方程有两个相等的实数根. 4.b2-4ac<0⇔抛物线与x轴没有交点⇔方程没有实数根. 二次函数y=ax2+bx+c与方程ax2+bx+c=0之间的关系： 课堂小测 1. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A， B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（ ） A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3） D O x y A x = 2 B 课堂小测 2.已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）． （1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式. （2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围． 课堂小测 故所求解析式为 y=-x2+2x+3 . 解得x1=-1, x2=3, ∴由图象可知，函数值y为正数时，自变量x的取值范围 是－1＜x＜3． （2）令y=0,得-x2+2x+3=0, ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3 , 0) , 解：（1）由题意得 解得 -1-b+c=0, c=3, b=2, c=3, 课堂小测 3.已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m，0），(-3m,0)(m≠0). （1）证明:4c=3b2. （2）若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值． ∴二次函数的最小值为-4. 解 :（1）证明：依题意知m,-3m是一元二次方程x2+bx-c=0的两个根． 根据一元二次方程根与系数的关系， 得m+(-3m)=-b , m·(-3m)=-c , b=2m , c=3m2 , ∴4c=12m2=3b2 .   课堂小测 $$