2.4.2 应用二次函数解决实际问题-（配套课件）【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

第二章 二次函数 2.4.2 应用二次函数解决实际问题 授课人：XXXX 九年级数学北师版·下册 1 教学目标 1.经历探索销售过程中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值. 2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值． 新课导入 情境引入 顶点坐标为(h,k) ①当a>0时，y有最小值k , ②当a<0时，y有最大值k . 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0) 新知探究 【例1】服装厂生产某品牌的T 恤衫成本是每件10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经销5000件,并且表示单价每降价0.1元,愿意多经销500件. 请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多? 新知探究 解 : 设批发单价为x (x≤13)元 , 那么 经销量可以表示为5000+5000(13-x)件 ; 每件T恤衫的利润为 元 ; 所获总利润可以表示为(x-10)[5000+5000(13-x)]元 ; ∴当批发单价为12元时,可以获得最大利润 , 即y=-5000x2+120000x-700000=-5000(x-12)2+20000 , （x-10） 最大利润是20000元 . 新知探究 1.某商店经营衬衫,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间满足关系式y=–x2+24x+2956，则获利最多为______元. 2. 某旅行社要组团去外地旅游,经计算所获利润y(元)与旅行团人员x(人)满足关系式y=–2x2+80x+28400，要使所获的营业额最大,则此旅行团有_______人. 20 3100 【跟踪训练】 新知探究 【例2】桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在距离OA1m处达到最大高度2.25m. 如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外？ 新知探究 解： 当y=0时,得点C(2.5,0);同理,点D(-2.5,0). 根据对称性,那么水池的半径至少要2.5m, 才能使喷出的水流不致落到池外. 设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为y=-(x-1)2+2.25. 数学化 (0,1.25) (1,2.25) (2.5,0) 建立如图所示的坐标系,根据题意得， 点A(0,1.25),顶点B(1,2.25). (-2.5,0) C x y O ● ● ● ● D B A 新知探究 3 . 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千. 拴绳子的地方距地面高度是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵 树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子 的最低点距地面的距离为 米. 0.5 【跟踪训练】 新知探究 4.某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克. （1）现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？ 新知探究 解：（1）设每千克应涨价x元，列方程得 (5+x)(200－10x)=1500， 解得x1=10， x2=5.因为要顾客得到实惠，5＜10 所以x=5. 答：每千克应涨价5元. （2）设商场每天获得的利润为y元，则根据题意，得 y=( x +5)(200－10x)= －10x2+150x+1000， 当x= 时,y有最大值. 因此，这种水果每千克涨价7.5元，能使商场获利最多 . 新知探究 5．某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：y=-10x+500 . （1）设李明每月获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？ （3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？ （成本＝进价×销售量） 新知探究 （1）由题意，得 w = (x－20)·y =(x－20)·(-10x+500) =-10x2+700x-10000 答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润． （2）由题意，得-10x²+700x-10000=2000, 解这个方程,得x1 = 30，x2 = 40． 答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元. 解: 当 时，w有最大值. 新知探究 ∴抛物线开口向下. ∴当30≤x≤40时，w≥2000． ∵x≤32， ∴当30≤x≤32时，w≥2000． 设成本为P（元），由题意得P=20（-10x+500)=-200x+10000, ∵k=-200＜0，∴P随x的增大而减小. ∴当x = 32时，P最小＝3600. 答：想要每月获得利润不低于2000元，每月的成本最少需要3600元． （3） ∵ 新知探究 【例3】某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚．到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示． (1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？ (3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由． 新知探究 解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b， 将(10，200)、(15，150)代入，得 解得 ∴y与x的函数关系式为y＝-10x＋300(8≤x≤30) . 10k+b=200, 15k+b=150, k=-10, b=300, 新知探究 (2)设每天销售获得的利润为w， 则w=(x-8)y=(x-8)(-10x+300)=-10(x-19)2+1210， ∵8≤x≤30，∴当x=19时，w取得最大值，最大值为1210 . (3)由(2)知，当获得最大利润时，定价为19元/千克， 则每天的销售量为y=-10×19+300=110千克， ∵保质期为40天，∴总销售量为40×110=4400， 又∵4400＜4800，∴不能销售完这批蜜柚． 课堂小结 “何时获得最大利润” 问题解决的基本思路： 1.根据实际问题列出二次函数关系式. 2.根据二次函数的最值问题求出最大利润. 【规律方法】 课堂小结 先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关 系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时 必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值. 课堂小测 1 . 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-（x-2）2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( ) A.4米 B.3米 C.2米 D.1米 x (米) y (米) 【解析】抛物线的顶点坐标为（2,4）， 所以水喷出的最大高度是4米. A 课堂小测 2 . 为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次性购买100个以上，则购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙商家一律按原价的80%销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元. （1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式. （2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？ 课堂小测 当x>100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元但售价不得低于3500元/个，所以x≤ , 即100<x≤250时，购买一个需5000-10(x-100)元， 故y1=-10x2+6000x， 解 :（1）由题意可知， 当x≤100时，购买一个需5000元，故y1=5000x , 当x>250时，购买一个需3500元，故y1=3500x， 5000x -10x2+6000x 3500x 0≤x≤100, 100<x≤250 , x>250, 所以y1= 5000-3500 5000 4000 课堂小测 (2) 当0≤x≤100时，y1=5000x≤500000<1400000； 当100<x≤250时， y1=6000x-10x2=-10(x-300)2+900000<1400000； 故选择甲商家，最多能购买400个太阳能路灯． 由4000x=1400000得 所以，由3500x=1400000得x=400. $$