2.4.1 应用二次函数求几何图形最值-（配套课件）【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

第二章 二次函数 2.4.1 应用二次函数求几何图形最值 授课人：XXXX 九年级数学北师版·下册 1 教学目标 1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．（重点） 2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．（难点） 新课导入 情境引入 二次函数的最值求法： ①当a>0时,y有最小值＝ ②当a<0时,y有最大值＝   二次函数 顶点坐标为 新课导入 (1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大？最大值是多少? 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上. M N 40m 30m A B C D ┐ 例题1： 新课导入 解析：         新知探究 某建筑物的窗户如图所示,它的上半部分是半圆,下半部分是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少(结果精确到0.01m²)? 跟踪训练： 新知探究 解：         因此，当x≈1.07m时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积约是 4.02m2. 新知探究 例题2 : 在美化城市的建设中,某街道想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设BC=xm. (1)若花园的面积为195m2,求x的值. (2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是6m和8m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S(m2)的最大值. 新知探究 (1)根据题意,BC=xm,则AB=(28-x)m,故x(28-x)=195, 解得x=13或x=15. 解 : (2)∵P与墙CD,AD的距离分别是6m和8m, ∴x≥6且28-x≥8,解得6≤x≤20, 由题意可得S=x(28-x)=-x²+28x =-(x-14)2+196, ∴当x=14时,S取得最大值,最大值为196. 答:花园面积S的最大值为196m2. 课堂小结 “最大面积” 问题解决的基本思路: 1.阅读题目，理解问题. 2.分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系. 3.用数量关系式表示出它们之间的关系. 4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值. 5.检验结果的合理性. 规律方法： 课堂小结 先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值. 课堂小测 1.用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积． 课堂小测   解：   根据题意，可得 m, m   m   m   m 课堂小测 2．学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖． （1）要使铺设白色地面砖的面积为5200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？ （2）如图铺设白色地面砖的费用为每平方米30元，铺设绿 色地面砖的费用为每平方米20元.当广场四角小正方形的边 长为多少米时，铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多 少？ 课堂小测 (1)、设矩形广场四角的小正方形的边长为x米. 根据题意,得4x2＋（100－2x）（80－2x）＝5200， 整理得x2－45x＋350＝0， 解得x1＝35，x2＝10，经检验x1＝35，x2＝10均适合题意， 所以要使铺设白色地面砖的面积为5200平方米， 则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米． 解 ： 课堂小测 （2）设铺设矩形广场地面的总费用为y元， 广场四角的小正方形的边长为x米，则 y＝30[4x2＋(100－2x)(80－2x)]＋20[2x(100－2x)＋2x(80－2x)] 即y＝80x2－3600x＋240000，配方得 y＝80（x－22.5）2＋199500， 当x＝22.5时，y的值最小，最小值为199500， 所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22.5米时， 铺设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为199500元． 课堂小测   课堂小测 (1)在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°， ∴在Rt△BFE中， ∠1+∠BFE=90°， 又∵EF⊥DE， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠2=∠BFE， ∴Rt△BFE∽Rt△CED， 解: 课堂小测 ∵△DEF中∠FED是直角， ∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，此时，Rt△BFE≌Rt△CED， （2）当m=8时， ∴当x=4时，y的值最大，最大值是2. 即△DEF为等腰三角形，m的值应为6或2. 当EC=6时, m=CD=BE=2, m=CD=BE=6; ∴当EC=2时， 化成顶点式: ，得   x 得关于x的方程: （3）由 ，及 x 课堂小测 4.如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为y． （1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围. （2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由． 课堂小测 （1）依题意得y=(40-2x)x． ∴y=-2x2+40x． x的取值范围是0< x <20． （2）当y=210时，由（1）可得-2x2+40x=210． 即x2-20x+105=0． ∵ a=1，b=-20，c=105， ∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米． 解： ∴ ， $$