2.2.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质-（配套课件）【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

第二章 二次函数 2.2.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 授课人：XXXX 九年级数学北师版·下册 1 教学目标 2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决一些数学问题.（难点） 1.经历探索y=ax2+bx+c的图象特征，会用配方法求其对称轴、顶点坐标公式.（重点） 新课导入 情境引入 1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1) y=2(x－3)2 －5 (2)y=－0.5(x+1)2 (3) y = 3(x+4)2+2 2.它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎样的平移得到的？ 新课导入 解析： 1.（1）开口：向上，对称轴：直线x=3,顶点坐标（3，-5） （2）开口：向下，对称轴：直线x=-1,顶点坐标（-1，0） （3）开口：向上，对称轴：直线x=-4,顶点坐标（-4，2） 2.（1）由y=2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位. （2）由y=-0.5x2向左平移1个单位. （3）由y=3x2向左平移4个单位，再向上平移2个单位. 新课导入 我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象. 那是怎样平移的呢？ y=3x2-6x+5 =3(x-1)2+2 只要将表达式右边进行配方就可以知道了. 配方后的表达式通常称为配方式或顶点式. 新知探究 这个结果通常称为顶点坐标公式. 二次函数y=ax²+bx+c的顶点式 探究新知： 新知探究 因此 , 二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线. 结论: 顶点坐标公式 它的对称轴是直线： . 它的顶点坐标是 ， . 新知探究 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 跟踪训练：       对称轴为直线x=3,顶点坐标为（3，-5）. 对称轴为直线x=8,顶点坐标为（8，1）. 对称轴为直线x=1.25,顶点坐标为（1.25，-1.125）. 对称轴为直线x=0.75,顶点坐标为（0.75，9.375）. 新知探究 (1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ (2)两条钢缆最低点之间的距离是多少？ 你有哪些计算方法？与同伴进行交流. y/m x/m 桥面 -5 O 10 5 例题 : 新知探究   由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m. 【解析】方法一 : y/m x/m 桥面 -5 O 10 5 ∴这条抛物线的顶点坐标是（-20，1） . 解： 新知探究 y/m x/m 桥面 -5 O 10 5     且左右两条钢缆关于y轴对称， ∴右边的钢缆的表达式为   因此，其顶点坐标为（20，1） . ∴两条钢缆最低点之间的距离为|-20-20|=40（m）. 新知探究 （1）由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m. 方法二： y/m x/m 桥面 -5 O 10 5     （2）同理，右边抛物线的顶点坐标是（20，1） . ∴这条抛物线的顶点坐标是（-20，1） . ∴两条钢缆最低点之间的距离为|-20-20|=40（m）. 新知探究 确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标. 跟踪训练： （1）y=5(x-1)2 ; （2）y=2x2-4x-1 ; （3）y=3x2-6x+2 ; （4）y=(x+1)(x-2) ; （5）y=-3(x+3)(x+9). 开口向上，对称轴为直线x=1, 顶点坐标为（1，0）. 开口向上，对称轴为直线x=1, 顶点坐标为（1，-3）. 开口向上，对称轴为直线x=1, 顶点坐标为（1，-1）. 开口向上，对称轴为直线x=0.5, 顶点坐标为（0.5，-2.25）. 开口向下，对称轴为直线x=-6, 顶点坐标为（-6，27）. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 １.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 课堂小结 o o 课堂小结 ３.增减性与最值 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 由a,b和c的符号确定 由a,b和c的符号确定 向上 向下 在对称轴的左侧,y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧, y随x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧, y随x的增大而减小. 课堂小结 规律方法： 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²(a≠0)的关系 1.相同点: (1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最大(或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y随x的增大而减小；在对称轴右侧,y随 x的增大而增大.a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y随x的增大而增大；在对称轴右侧,y随 x的增大而减小 . 课堂小结 2.不同点: (1)位置不同. (2)顶点不同:分别是 和(0,0). (3)对称轴不同:分别是 和y轴. (4)最值不同:分别是 和 0.   课堂小结       课堂小测 1. 如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象,A , B, C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（ ） A.a+b=-1 B.a-b=-1 C.b<2a　　 D.ac<0 B B A O C   A C D B 课堂小测 2. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①a，b异 号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=4时，x的取值只能为0．其中正确的个数为（ ） A.1　　　 B.2　　 C.3　　 　D.4 C 3．若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=(x-2)2+k,则b,k的值分别为（ ） A. 0，5 B. 0，1 C. -4，5 D. -4，1 D 课堂小测 4．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a的图象不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 x y O D 5．已知二次函数y=(x-2a)2+a-1(a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．右图分别是当a=-1, a=0, a=1, a=2时二次函数的图象.它们的顶点在同一条直线上，这条直线的解析式是 . $$