1.5.2 仰角、俯角及坡度问题-（配套课件）【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

第一章 直角三角形的边角关系 1.5.2 仰角、俯角及坡度问题 授课人：XXXX 九年级数学北师版·下册 1 教学目标 1.正确理解方位角、仰角和坡角的概念；（重点） 2.能运用解直角三角形知识解决方位角、仰角和坡角的问题.(难点) 情境引入 新课导入 俯角与仰角 仰角: 俯角: 在进行测量时，从下向上看，视线与水平 线的夹角叫做仰角. 在进行测量时，从上向下看，视线与水平 线的夹角叫做俯角. 水平线 新知探究 例1、如图，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的仰角为30°，AC⊥BC，自B沿着BC方向向前走1000m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45°,求山高(结果保留根号)． 分析：求AC，无论是在Rt△ACD中，还是在Rt△ABC中，只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以要用方程思想，先把AC看成已知，用含AC的代数式表示BC和DC，由BD＝1000m建立关于AC的方程，从而求得AC. 新知探究 解：在Rt△ABC中， 在Rt△ACD中，   tan tan tan tan m 新知探究 例2 如图，飞机A在目标B的正上方1000m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B，C之间的距离是________m． 解析：由题意可知，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝∠CAD＝30°，AB＝1000m， 【方法总结】解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知条件解直角三角形．   tan tan m 新知探究 例3、热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）. 分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α=30°,β=60°.Rt△ABD中， α=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC． A B C D α β 仰角 水平线 俯角 新知探究 解：如图，α = 30°,β= 60°， AD＝120． 答：这栋楼高约为277.1m.     A B C D α β   tan tan   tan tan   tan tan 新知探究 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）. A B C D 40m 54° 45° 解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°， BC=DC=40m. 在Rt△ACD中， 答：旗杆的高度为15.1m. tan tan ∴AB=AC-BC=55.1-40=15.1(m). =tan54°×40≈55.1(m)， 新知探究 坡角与坡度 坡角： 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α . 坡度： 水平面（l） 坡面 铅垂 高度 （h） α 坡度与坡角的关系： 坡度等于坡角的正切值 . 坡面的铅垂高度（h）和水平面长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡 比），记作 i . 即i= . 坡度通常写成1：m，如i=1：6 . i= =tanα . 例、 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽（精确到0.1米, ）. 45° 30° 4米 12米 A B C D 利用坡角解决实际问题 新知探究 新知探究 解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F．由题意可知 　 DE＝CF＝4（米）， 　 CD＝EF＝12（米）． 在Rt△ADE中， 在Rt△BCF中，同理可得 因此AB＝AE＋EF＋BF=4＋12＋6.93≈22.93（米）． 　　答：路基下底的宽约为22.93米． 45° 30° 4米 12米 A B C E F D   tan   tan   tan 新知探究 例1、2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A，B，D在同一条直线上，则A，B两点间的距离为多少米？(结果保留根号) 综合练习： 新知探究       Rt tan Rt 新知探究 探究：为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB＝∠FED)．在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD＝1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米(结果保留整数，参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02)？ 新知探究 Rt tan · tan 课堂小结 （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： 课堂小测 1.如图①，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB等于 （根号保留）． 2.如图②，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为 （根号保留）． 图 图 米   ① ② 课堂小测 3. 由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向．如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cos37°≈ 0.80，tan37°≈0.75)． 课堂小测 解：由题意得：∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC＝80海里， 在Rt ACD中， CD＝ACcos∠ACD＝27.2海里， 在Rt BCD中， BD＝CDtan∠BCD＝20.4海里． 答：还需航行的距离BD的长为20.4海里． △ △ 4.如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB．小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E处，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB． 课堂小测 课堂小测 解析: 在Rt△AFG中， ∴ ∴ ∴ 答：这幢教学楼的高度AB为 在Rt△ACG中， m . tan tan tan tan Rt m . 课堂小测 规律方法: 当直角三角形的锐角确定后，它的对边与邻边的比值也随之确定；比值与三角形的大小无关，只与倾斜角的大小有关. $$