1.1.1 正切-（配套课件）【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

第一章 直角三角形的边角关系 1.1.1 正切 授课人：XXXX 九年级数学北师版·下册 1 教学目标 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tan A表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算. 新课导入 情境引入 新课导入 梯子、地面与墙之间形成一个直角三角形，梯子的铅直高度及梯子的水平距离可以看作是它的直角边，梯子的长可以看作是斜边. 铅直高度 水平距离 研究直角三角形的边与角的关系，让我们就从梯子与地面的夹角（倾斜角）谈起. 议一议: 探究一: 梯子在上升变陡的过程中，倾斜角的大小发生了什么变化？ 倾斜角越大——梯子越陡 铅直高度 水平距离 新知探究 新知探究 用梯子的顶端放在墙上位置的高低及梯子的底端离墙的远近来判断. 探究二: 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ EF更陡 AB更陡 新知探究 3m 3m 2m 议一议: 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当梯子的铅直高度与其水平距离的比相同时，梯子就一样陡. 比值大的梯子陡. 你能设法验证这个结论吗？ 新知探究 A B1 C1 C2 B2 ∵∠A=∠A，∠AC1B1=∠AC2B2=90°， ∴Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2， Rt△AC1B1和Rt△AC2B2有什么关系? 验证: 和 有什么关系? ∴ = . B1C1 AC1 B2C2 AC2 新知探究 C2 A B1 C1 B2 B 1.如果任意改变B2在梯子上的位置呢?你有什么想法? ∠A的大小确定, ∠A的对边与邻边的比值不变. 2.如果改变∠A 的大小, ∠A的对边与邻边的比值会随之改变吗? ∠A的大小改变, ∠A的对边与邻边的比值会随之改变. 探究三: 新知探究 在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边 与邻边的比便随之确定 , 这个比叫做∠A的正 切（tangent）.记作tanA即 B A C ∠A的邻边 ∠A的对边 tan A= ∠A的对边 ∠A的邻边 定义: 新知探究 梯子AB的倾斜程度与tan A有关吗? tan A的值越大,梯子AB越陡. A B C 议一议: 新知探究 例1：下图表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡? 解:甲梯中, β 5m ┌ 13m 4m ┐ 8m α 乙梯中, 因为tanα> tanβ , 所以甲梯更陡. 例题: (甲) (乙) tanα tanβ 新知探究 例2. 填空: (1).如图，tan = tan = (2).如图, ∠ACB=90°,CD⊥AB. tan∠ACD=_____ ┌ A C B D A B C B A tan B =_____=_____ 新知探究 正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100 m就升高60 m,那么山坡的坡度 就是 1.坡面与水平面的夹角(α)叫坡角. 2.坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度 (或坡比),即坡度等于坡角的正切. 3.坡度越大,坡面越陡. 坡度与坡角 100m 60m ┌ α tanα 新知探究 A C B 例3.如图，拦水坝的坡度为 ：1，若坝高BC=20米， 求坝面AB的长. 例题： 解析：在Rt△ABC中,BC=20米， ∵坡度为 1： ，　　 ∴ 则AC=20 米. 又∵AB2=BC2+AC2， ∴ （米）. 课堂小结 1.在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边的比便随之确定,这个比叫做∠A的正切（tangent）， 记作:tan A 即tan A= ∠A的对边 ∠A的邻边 B A C ∠A的对边 ∠A的邻边 2.tan A的值越大,梯子越陡. 对于山坡来说，正切对应的是坡度 课堂小测 1. 河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是1: (坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC 的长是（ ） A．5 米 B．10米 C．15米 D．10 米 A B C BC=5米， ∴ AC=5 米. 解析：∵BC : AC=1 : , 课堂小测   解析： 设升高了x m，由勾股定理得，x2+(2x)2=(1000)2,解得x= 课堂小测   解析：在Rt△ABC中，tanα= , 所以AB= a·tanα . B 课堂小测 4. 如图，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹 的锐角为α，tanα＝ ，求t的值． 解：作AE⊥x轴于 E，得AE＝3，OE＝t， 由tanα＝ ＝ , 得t＝2. 课堂小测 解析：设小正方形的边长为1,取AB与格点的交点 为D,AC与格点的交点为E，则 5. 如图，∠BAC位于6×6的方格纸中，则tan∠BAC＝　　　. A B C A B C D E tan∠BAC＝ . 课堂小测 6. 如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥.若天桥下底的长度AD＝23 m，斜坡CD的坡度为i＝1∶1.2(垂直高度CE与水平宽度DE的比)，上底BC＝10 m，天桥高度CE＝5 m，求天桥左边斜坡AB的坡度. 课堂小测 解：过点B作BF⊥AD于点F，则四边形BCEF为矩形， ∴BF＝CE＝5(m)，BC＝EF＝10(m)， ∵ ＝1∶1.2，得ED＝6(m)， ∴AF＝ AD－EF－ED＝7(m)， ∴tan∠BAF＝ ＝ ＝1∶1.4. $$