2024--2025学年北师大版数学九年级上册期末试卷

北师大版数学九年级上册期末试卷1 一、选择题(每题3分，共30分) 1．用配方法解方程3x2－6x＋2＝0，则方程可变形为(　　) A．(x－3)2＝ B．3(x－1)2＝ C．(3x－1)2＝1 D．(x－1)2＝ 2．关于x的一元二次方程(a－1)x2＋a2－1＝0的一个根是0，则a的值为(　　) A．1 B．－1 C．1或－1 D． 3．已知反比例函数的图象经过点P(1，－2)，则这个函数的图象位于(　　) A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 4．如图是一次数学活动课上制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数－1，0，1，2.若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数(当指针恰好指在分界线上时，不记，重转)， 则记录的两个数都是正数的概率为(　　) A． B． C． D． 5．如图是由相同的小正方体木块粘在一起的几何体，它的主视图是(　　) 6．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 7．如图，线段AB的两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为(　　) A．(3，3) B．(4，3) C．(3，1) D．(4，1) 　　　 8．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为　　(　　) A．5 B．4 C． D． 9．如图，两个反比例函数y＝和y＝－的图象分别是l1和l2.设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则△PAB的面积为(　　) A．3 B．4 C． D．5 10．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为(　　) A． B． C．1 D． 二、填空题(每题3分，共30分) 11．如图，添加一个条件：______________，使△ADE∽△ACB(写出一个即可)． 12．一个反比例函数的图象过点A(－3，2)，则这个反比例函数的表达式是____________． 13．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是___________________________． 14．从甲、乙2名医生和丙、丁2名护士中任意抽取2人参加医疗队，那么抽取的2人恰好是一名医生和一名护士的概率为________． 15．若干桶方便面摆放在桌子上，三视图如图所示，则这一堆方便面共有___桶． 16．若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为________． 17．如图，在△ABC中，M，N分别为AC，BC的中点．若S△CMN＝1，则S四边形ABNM＝________． 18．如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED＝________． 19．如图，A，B两点在函数y＝(x＞0)的图象上，分别经过A，B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1＋S2＝________． 20．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上的一点，且BE＝1，P是对角线AC上的一动点，连接PB，PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是________． 三、解答题(21～25题每题8分，其余每题10分，共60分) 21．解下列方程： (1)x2－6x－6＝0；　　　　　　　　　　　(2)(x＋2)(x＋3)＝1. 22．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD. (1)求证：四边形AODE是菱形； (2)若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是________． 23．关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0. (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 24．现有5个质地、大小完全相同的小球，上面分别标有数－1，－2，1，2，3.先将标有数－2，1，3的小球放在一个不透明的盒子里，再将其余小球放在另一个不透明的盒子里．现分别从这两个盒子里各随机取出一个小球． (1)请利用画树状图或列表的方法表示取出的两个小球上的数之和的所有可能结果； (2)求取出的两个小球上的数之和等于0的概率． 25．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售．销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出．如果这批旅游纪念品共获利1 250元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 26．如图，一次函数y1＝kx＋b和反比例函数y2＝的图象交于A，B两点． (1)求一次函数y1＝kx＋b和反比例函数y2＝的表达式； (2)观察图象，当y1＜y2时，x的取值范围为________________； (3)求△OAB的面积． 27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以5 cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以4 cm/s的速度向点B匀速运动，运动时间为t s(0＜t＜2)，连接PQ. (1)若△BPQ和△ABC相似，求t的值； (2)连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值． 答案 一、1.D　2.B　3.C　4.C　5.A　6.C 7.A　8.D　9.C　10.C 二、11.∠ADE＝∠ACB(答案不唯一) 12．y＝－　13.k＞且k≠1 14.　15.6　16.5　17.3　 18．20°　19.6　20.6　 三、21.解：(1)移项，得x2－6x＝6， 配方，得x2－6x＋9＝6＋9，即(x－3)2＝15. 两边开平方，得x－3＝±， 即x－3＝或x－3＝－. ∴x1＝3＋，x2＝3－. (2)将原方程化为一般形式，得x2＋5x＋5＝0. ∵b2－4ac＝52－4×1×5＝5，∴x＝. ∴x1＝，x2＝. 22．(1)证明：∵DE∥CA，AE∥BD， ∴四边形AODE是平行四边形． ∵矩形ABCD的对角线相交于点O， ∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD. ∴OA＝OD.∴四边形AODE是菱形． (2)矩形 23．(1)证明：∵在方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0中，Δ＝[－(k＋3)]2－4×1×(2k＋2)＝k2－2k＋1＝(k－1)2≥0， ∴方程总有两个实数根． (2)解：∵x2－(k＋3)x＋2k＋2＝(x－2)(x－k－1)＝0， ∴x1＝2，x2＝k＋1. ∵方程有一个根小于1，∴k＋1＜1，解得k＜0. 24．解：(1)画树状图如图所示． (2)因为所有等可能的结果有6种，其中和为0的有2种， 所以所求概率为＝. 25．解：由题意得出200×(10－6)＋(10－x－6)×(200＋50x)＋(4－6)[600－200－(200＋50x)]＝1 250， 即800＋(4－x)(200＋50x)－2(200－50x)＝1 250， 整理得x2－2x＋1＝0， 解得x1＝x2＝1. ∴10－1＝9(元)． 答：第二周每个旅游纪念品的销售价格为9元． 26．解：(1)由图象可知点A的坐标为(－2，－2)． ∵反比例函数y2＝的图象过点A，∴m＝4. ∴反比例函数的表达式是y2＝. 把x＝3代入y2＝，得y2＝，∴点B的坐标为. ∵直线y1＝kx＋b过A，B两点， ∴解得 ∴一次函数的表达式是y1＝x－. (2)x＜－2或0＜x＜3 (3)设直线AB与y轴的交点为C，由一次函数y1＝x－可知C， ∴S△OAB＝S△OAC＋S△OBC＝××2＋××3＝. 27．解：(1)由题易知AB＝10 cm，BP＝5t cm，CQ＝4t cm， ∴BQ＝(8－4t) cm. 当△ABC∽△PBQ时，有＝，即＝，∴t＝1； 当△ABC∽△QBP时，有＝，即＝，∴t＝. ∴若△BPQ和△ABC相似，则t＝1 或t＝ . (2)如图，过点P作PD⊥BC于点D. 由(1)知BP＝5t cm，CQ＝4t cm， 可求得PD＝3t cm，BD＝4t cm， ∴CD＝(8－4t) cm. ∵AQ⊥CP，∠ACB＝90°， ∴∠CAQ＋∠ACP＝90°，∠DCP＋∠ACP＝90°. ∴∠CAQ＝∠DCP. 又∵∠CDP＝∠ACQ＝90°，∴△CPD∽△AQC. ∴＝，即＝.∴t＝. 北师大版数学九年级上册期末试卷2 一、选择题(每题3分，共30分) 1. 下列方程中，不是一元二次方程的是(　　) A.y2＋2y＋1＝0　 B.x2＝1－3x C.a2－a＋＝0　D．x2＋x－3＝x2 2．如图放置的几何体的左视图是(　　) 3．下列命题为真命题的是(　　) A．四边相等的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是菱形 C．四个角相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 4．若反比例函数y＝的图象经过点(m，3m)，其中m≠0，则反比例函数的图象在(　　) A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 5．已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是(　　) A．k≤－2 B．k≤2 C．k≥2 D．k≤2且k≠1 6．有三张正面分别标有数－2，3，4的不透明卡片，它们除数不同外，其他全部相同．现将它们背面朝上洗匀后，从中任取两张，则抽取的两张卡片上的数之积为正偶数的概率是(　　) A. B. C. D. 7．如图，在△ABC中，已知点D，E分别是边AC，BC上的点，DE∥AB，且CE：EB＝2：3，则DE AB等于(　　) A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．4：5 8．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，P为AB的中点，折叠该纸片使点C落在点C′处，且点P在DC′上，折痕为DE，则∠CDE的度数为(　　) A．30° B．40° C．45° D．60° 9．设△ABC的一边长为x，这条边上的高为y，y与x之间的反比例函数关系如图所示．当△ABC为等腰直角三角形时，x＋y的值为(　　) A．4 B．5 C．5或3 D．4或3 10．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边上的中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，DE与BM相交于点N，EF⊥AC于点F，有以下结论： ①∠DBM＝∠CDE；②S△BDE<S四边形BMFE；③CD·EN＝BN·BD；④AC＝2DF. 其中正确结论的数量是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题(每题3分，共24分) 11．已知一元二次方程(m－2)x2－3x＋m2－4＝0的一个根为0，则m＝________. 12．如图，物理课上张明做小孔成像实验，已知蜡烛与成像板之间的距离为24 cm，要使烛焰的像A′B′是烛焰AB的2倍，则蜡烛与成像板之间带小孔的纸板应放在离蜡烛________的地方． 13．一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，其主视图与左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有________个． 14．为预防流感，某学校对教室进行“药熏消毒”．消毒期间，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)之间的函数关系如图所示．已知在药物燃烧阶段，y与x成正比例，燃烧完后y与x成反比例．现测得药物10 min燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为8 mg.当每立方米空气中含药量低于1.6 mg时，对人体无毒害作用．那么从消毒开始，经过________min后教室内的空气才能达到安全要求． 15．已知三角形纸片(△ABC)中，AB＝AC＝5，BC＝8，将三角形按照如图所示的方式折叠，使点B落在直线AC上，记为点B′，折痕为EF.若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是________． 16．为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者首先从鱼塘中捕获10条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞100条鱼．如果在这100条鱼中有2条鱼是有记号的，则可估计鱼塘中约有鱼________条． 17．如图，以▱ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A，C的坐标分别为(2，4)，(3，0)，过点A的反比例函数y＝的图象交BC于点D，连接AD，则四边形AOCD的面积是________． 18．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为________． 三、解答题(19～22题每题8分，23，24题每题11分，25题12分，共66分) 19．解方程： (1)x2－6x－6＝0; (2)(x＋2)(x＋3)＝1. 20．已知关于x的一元二次方程kx2＋x－2＝0有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足(x1＋x2)2＋x1·x2＝3，求k的值． 21．在一个不透明的布袋里装有4个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们除所标数字外其他完全相同，小明从布袋里随机取出1个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出1个小球，记下数字为y. (1)计算由x，y确定的点(x，y)在函数y＝－x＋5的图象上的概率． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x，y满足xy＞6，则小明胜，若x，y满足xy＜6，则小红胜，这个游戏公平吗？请说明理由．若不公平，请写出公平的游戏规则． 22．如图，九(1)班的小明与小艳两位同学去操场测量旗杆DE的高度，已知直立在地面上的竹竿AB的长为3 m．某一时刻，测得竹竿AB在阳光下的投影BC的长为2 m. (1)请你在图中画出此时旗杆DE在阳光下的投影，并写出画图步骤； (2)在测量竹竿AB的影长时，同时测得旗杆DE在阳光下的影长为6 m，请你计算旗杆DE的高度． 23．如图，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(0，－2)，反比例函数y＝的图象经过点C，一次函数y＝ax＋b的图象经过A，C两点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P的坐标． 24．如图①，在正方形ABCD中，P是BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F. (1)求证：PC＝PE； (2)求∠CPE的度数； (3)如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由． 25．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是AB延长线上一点，E是AC上一点，DE交BC于点F. (1)如图①，若BD＝CE，求证：DF＝EF. (2)如图②，若BD＝CE，试写出DF和EF之间的数量关系，并证明． (3)如图③，在(2)的条件下，若点E在CA的延长线上，那么(2)中的结论还成立吗？试证明． 答案 一、1.D　2.C　3.C 4．B　【点拨】把点(m，3m)的坐标代入y＝，得到k＝3m2，因为m≠0，所以k>0.所以图象在第一、三象限． 5．D　6.C　7.B　8.C 9．D　【点拨】由题意得xy＝4，当等腰直角三角形ABC的斜边长为x时，x＝2y，所以2y2＝4，解得y＝或y＝－(不合题意，舍去)，所以x＝2，所以x＋y＝3；当等腰直角三角形ABC的一条直角边长为x时，x＝y，所以y2＝4，解得y＝2或y＝－2(不合题意，舍去)，所以x＝2，所以x＋y＝4.故x＋y的值为4或3.故选D. 10．C　【点拨】设∠EDC＝x，则∠DEF＝90°－x，从而可得到∠DBE＝∠DEB＝180°－(90°－x)－45°＝45°＋x，∠DBM＝∠DBE－∠MBE＝45°＋x－45°＝x，从而可得到∠DBM＝∠CDE，所以①正确． 可证明△BDM≌△DEF，然后可证明S△DNB＝S四边形NMFE，所以S△DNB＋S△BNE＝S四边形NMFE＋S△BNE，即S△BDE＝S四边形BMFE.所以②错误． 可证明△DBC∽△NEB，所以＝，即CD·EN＝BN·BD.所以③正确． 由△BDM≌△DEF，可知DF＝BM，由直角三角形斜边上的中线的性质可知BM＝AC，所以DF＝AC，即AC＝2DF.所以④正确．故选C. 二、11.－2　12.8 cm 13．5　【点拨】综合左视图和主视图知，这个几何体有两层，底层最少有2＋1＝3(个)小正方体，第二层有2个小正方体，因此组成这个几何体的小正方体最少有3＋2＝5(个)． 14．50　【点拨】设药物燃烧完后y与x之间的函数表达式为y＝，把点(10，8)的坐标代入y＝，得8＝，解得k＝80，所以药物燃烧完后y与x之间的函数表达式为y＝.当y＝1.6时，由y＝得x＝50，所以从消毒开始，经过50 min后教室内的空气才能达到安全要求． 15．4或　16.500 17．9　【点拨】由题易知OC＝3，点B的坐标为(5，4)，▱ABCO的面积为12.设直线BC对应的函数表达式为y＝k′x＋b，则 解得 ∴直线BC对应的函数表达式为y＝2x－6.∵点A(2，4)在反比例函数y＝的图象上，∴k＝8.∴反比例函数的表达式为y＝.由 解得或(舍去)． ∴点D的坐标为(4，2)． ∴△ABD的面积为×2×3＝3. ∴四边形AOCD的面积是9. 18．12　【点拨】易知EF∥BD∥HG， 且EF＝HG＝BD＝3， EH∥AC∥GF且EH＝GF＝AC＝4. ∵AC⊥BD，∴EF⊥FG. ∴四边形EFGH是矩形． ∴四边形EFGH的面积＝EF·EH＝3×4＝12. 三、19.解：(1)x2－6x－6＝0， x2－6x＋9＝ 15， (x－3)2＝ 15， x－3＝ ±， ∴x1＝3＋，x2＝3－. (2)(x＋2)(x＋3)＝1， x2＋5x＋6＝ 1， x2＋5x＋5＝ 0， ∵a＝1，b＝5，c＝5， ∴b2－4ac＝52－4×1×5＝5. ∴x＝. ∴x1＝，x2＝. 20．解：(1)∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝12＋8k＞0， ∴k＞－. 又∵k≠0， ∴k的取值范围是k＞－且k≠0. (2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1·x2＝－. ∵(x1＋x2)2＋x1·x2＝3， ∴－＝3，即3k2＋2k－1＝0， 解得k＝或k＝－1. 由(1)得k＞－且k≠0， ∴k＝. 21．解：(1)画树状图如图． 由树状图可知共有12种等可能的结果． 其中在函数y＝－x＋5的图象上的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)， ∴点(x，y)在函数y＝－x＋5的图象上的概率为＝. (2)不公平．理由：∵x，y满足xy＞6的有(2，4)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，共4种结果，x，y满足xy＜6的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，共6种结果， ∴P(小明胜)＝＝， P(小红胜)＝＝. ∵≠，∴游戏不公平． 公平的游戏规则为：若x，y满足xy≥6，则小明胜，若x，y满足xy＜6，则小红胜．(规则不唯一) 22．解：(1)如图，线段EF就是此时旗杆DE在阳光下的投影． 作法：连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BE于点F，则线段EF即为所求． (2)∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE. 又∠ABC＝∠DEF＝90°， ∴△ABC∽△DEF.∴＝. ∵AB＝3 m，BC＝2 m，EF＝6 m， ∴＝. ∴DE＝9 m. 即旗杆DE的高度为9 m. 23．解：(1)∵点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(0，－2)， ∴AB＝1＋2＝3，即正方形ABCD的边长为3， ∴点C的坐标为(3，－2)． 将点C的坐标代入y＝可得k＝－6， ∴反比例函数的表达式为y＝－. 将C(3，－2)，A(0，1)的坐标分别代入y＝ax＋b，得 解得 ∴一次函数的表达式为y＝－x＋1. (2)设P， ∵△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积， ∴×1×|t|＝3×3，解得t＝±18. ∴点P的坐标为或. 24．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP. 又∵DP＝DP，∴△ADP≌△CDP. ∴PA＝PC. 又∵PA＝PE，∴PC＝PE. (2)解：由(1)知△ADP≌△CDP， ∴∠DAP＝∠DCP. ∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E. ∴∠FCP＝∠E. 又∵∠PFC＝∠DFE，∠EDF＝90°， ∴∠CPE＝∠EDF＝90°. (3)解：AP＝CE.理由如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP. 又∵DP＝DP，∴△ADP≌△CDP. ∴PA＝PC，∠DAP＝∠DCP. 又∵PA＝PE， ∴PC＝PE，∠DAP＝∠DEP. ∴∠DCP＝∠DEP. 又∵∠PFC＝∠DFE， ∴∠CPF＝∠EDF. ∵在菱形ABCD中，∠ABC＝120°， ∴∠ADC＝120°.∴∠EDC＝60°. ∴∠CPE＝∠EDF＝60°. 又∵PC＝PE， ∴△PCE是等边三角形． ∴PE＝CE. 又∵PA＝PE，∴AP＝CE. 25．(1)证明：在题图①中作EG∥AB交BC于点G， 则∠ABC＝∠EGC，∠D＝∠FEG. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C. ∴∠EGC＝∠C.∴EG＝EC. ∵BD＝CE，∴BD＝EG. 又∵∠D＝∠FEG，∠BFD＝∠GFE， ∴△BFD≌△GFE.∴DF＝EF. (2)解：DF＝EF. 证明：在题图②中作EG∥AB交BC于点G，则∠D＝∠FEG. 同(1)可得EG＝EC. ∵∠D＝∠FEG，∠BFD＝∠EFG， ∴△BFD∽△GFE.∴＝. ∵BD＝CE＝EG， ∴DF＝EF. (3)解：成立． 证明：在题图③中作EG∥AB交CB的延长线于点G， 则仍有EG＝EC，△BFD∽△GFE. ∴＝. ∵BD＝CE＝EG， ∴DF＝EF. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$