3.3 正态分布教案-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

课题名称：数学选择性必修第2册 第3章3.3正态分布 教学方法： “一体二化三导四学”教学模式和自主学习模式. （一体二化三导四学：以学生为主体，教学内容问题化，教学活动探究化，引导，指导，督导，自主学习，探究学习，合作学习，体验学习） 教学目标： 1.利用生活中的实际问题，引入重要的连续型随机变量--正态分布。 2.通过例题的引入增强运用概率密度函数解决问题的能力。 3.经过本节课的学习，能够求出概率密度函数解析式，并能利用正态曲线解决实际问题。 教学重点、难点： 教学重点：掌握建立概率密度函数的求解方法，理解正态曲线的涵义。 教学难点：利用正态分布概率密度函数解决实际问题。 教学过程 教学环节 教学过程 创设情境 现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量，不是离散的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续性随机变量，下面我们看一个具体问题. 对直径为1cm的圆的周长进行测量.由于多种偶然因素的影响，测量出的数据是有差异的.若记X为测量的数据，则X是一个随机变量.实际问题中需要关心X取值的概率分布.为了确定X的概率分布，我们记录了90次测量的数据（即样本点个数为90），把它们进行分组整理后得如下分组数据表： 以测量出的数据为横坐标，以组频率/组距为纵坐标，就可以得到频率分布直方图（如图）．图中每个小矩形的面积就是样本落在该分组区间内的频率． 当样本点个数越来越大，分组数越来越多时（即组距无限缩小），频率分布直方图的顶边会无限缩小乃至形成一条光滑的曲线（如图）． 随机变量 X 在每个小区间内取值的频率，接近于 X 在那个区间中取值的概率，因此，我们把这条曲线称为 X 的概率密度曲线． 深入探究 从图可以看出，曲线呈现"中间高，两边低，左右大致对称"的特点，我们把具有这种特性的曲线叫作正态分布密度曲线，简称正态曲线，它的函数表达式为 其中μ和σ 为参数，且σ >0，μ∈R．p(x)称为概率密度函数． 此时，我们称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～N(μ，σ2)． 不同的 μ 和 σ 对应着不同的正态分布密度曲线（如图） 正态分布密度曲线具有如下特点: 1.曲线位于x轴上方,与x轴不相交 2.曲线是单峰的,它关于直线对称 3.p在处达到最大值 4.当一定时,曲线随着的变化而沿轴平移 5.越大,正态曲线越扁平,越小,正态曲线越尖陡 6.曲线与x轴之间所夹区域的面积等于1 随机变量X落在区间(a，b]中的概率可以通过概率密度函数p(x)来描述，即P(a < X ≤ b)恰好是由p(x)对应的曲线和直线 x = a，x = b，以及x轴所围成的曲边梯形的面积（如图）． 概率密度曲线能反映随机变量 X 的取值规律以及它取值在某个区间的概率，它所起到的作用与离散型随机变量分布列的作用是相同的． 对于离散型随机变量，如果X是从某个总体中随机抽取的个体，则X的数学期望E(X)就是总体均值μ；如果 X的分布关于点μ对称，则μ便是X的数学期望． 现在，正态分布N(μ，σ2)的密度函数 关于点μ对称，所以μ是X的数学期望，即E(X) = μ． 随机变量X的方差 D(X) 代表了随机变量X的离散程度．当X的数学期望为μ时，D(X) =E[(X一μ)2]．如果X服从正态分布N(μ，σ2)，则可以计算出X的方差D(X) =σ2 ．于是，X的标准差为σ． 特别地，数学期望 μ = 0，方差 σ2 = 1时的正态分布称为标准正态分布，其密度函数记为 其图象如图所示,随机变量X服从标准正态分布,简记为X～N(0, 1) 标准正态分布密度曲线的特点： 1．曲线位于x轴上方，与x轴不相交； 2．曲线关于直线 x = 0（y轴）对称； 3．p(x)在x = 0处达到最大值 ； 4．曲线与x轴之间所夹区域的面积等于1． 若X～N,则随机变量X在的附近取值的概率较大,在离较远处取值的概率较小 具体地,如图所示,随机变量X取值 落在区间内的概率约为68.27 落在区间内的概率约为95.45 落在区间内的概率约为99.73 在实际应用中,通常认为服从正态分布N的随机 变最X只取之间的值,并简称为原则 课堂练习 【例1】 在某次数学考试中,假设考生的成绩服从正态分布～N(90,100) (1)求考试成绩位于区间(70,110)上的概率 (2)若这次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人 课堂小结 1.概率密度函数 2.正态分布密度曲线具有如下特点: (1).曲线位于x轴上方,与x轴不相交 (2).曲线是单峰的,它关于直线对称 (3).p在处达到最大值 (4).当一定时,曲线随着的变化而沿轴平移 (5).越大,正态曲线越扁平,越小,正态曲线越尖陡 (6).曲线与x轴之间所夹区域的面积等于1 3.标准正态分布 数学期望,方差时的正态分布称为标准正态分布,其密度函数记为 4.3σ原则 随机变量X取值 落在区间内的概率约为68.27 落在区间内的概率约为95.45 落在区间内的概率约为99.73 在实际应用中,通常认为服从正态分布N的随机 变最X只取之间的值,并简称为原则 课后作业 教材练习题1，2。 学科网（北京）股份有限公司 $$