圆的方程专项训练-2025届高三数学一轮复习

圆的方程专项训练 圆的方程专项训练 考点一 圆的定义与方程 1．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知点P在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设线段的中点， 则由题，且即， 所以即， 所以线段的中点的轨迹方程为. 故选：A. 2．（2024·吉林·三模）已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的标准方程为：， 故即或， 故选：D. 3．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）已知的斜边为，且，，则直角边中点的轨迹方程是（   ） A． B． C．（且） D．（且） 【答案】C 【详解】设， 因为，是线段的中点， 由中点坐标公式得，所以， 即，所以， 由，得， 即， 又不能与重合，所以且，解得且， 动点的轨迹方程为（且）. 故选：C 4．（24-25高三上·天津红桥·期末）已知点，则以线段为直径的圆的标准方程为 . 【答案】 【详解】根据题意，的中点即为圆心，又，所以圆心坐标为， 半径为， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 5．（24-25高三上·湖南·阶段练习）写出一个半径为，且与直线相切于点的圆的方程： ． 【答案】或（写1个即可） 【详解】设圆心坐标为，半径为，且与直线相切于点， 由直线，可得该直线斜率为， 所以，解得或， 所以所求圆的方程为或． 故答案为：或（写1个即可）. 6．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）圆过点，，且圆心在直线上，则圆的标准方程为 . 【答案】 【详解】线段的中点，直线的斜率为， 则线段的中垂线方程为，即， 由，解得，则圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 考点二 以圆为背景的位置关系问题 1．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）“”是“直线与圆有公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若直线与圆有公共点， 易知圆心，半径， 则圆心到直线的距离，解之得， 又是的真子集， 所以“”是“直线与圆有公共点”的充分不必要条件. 故选：A 2．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 【答案】C 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为M在圆内，且不为圆心，则， 则圆心到直线的距离为， 所以直线与该圆的位置关系为相离. 故选：C． 3．（24-25高三上·天津滨海新·期中）圆与圆的位置关系是（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【详解】的圆心为，半径为2， 的圆心为，半径为3， 由于，， 故两圆相交. 故选：B 4．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知圆与圆有且仅有三条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆方程知：圆心，半径； 由圆方程知：圆心，半径； 圆和圆有且仅有三条公切线，两圆外切， ，即， 设，则，， 即，，解得：， 的取值范围为. 故选：D. 5．（24-25高三上·广东广州·阶段练习·多选）已知直线：与圆：，，则下列判断正确的是（   ） A．若点在圆上，且直线与圆相切，则 B．若点在圆内，且，则直线与圆相交 C．若，，则直线与圆相交 D．若，则直线截圆所得弦长为 【答案】CD 【详解】A：点在圆上，则；又直线与圆相切， 则圆心到直线的距离为， 解得，故A错误； B：当时，直线；又点在圆内，则， 圆心到直线的距离为， 即直线与圆相离，故B错误； C：当，时，直线，圆的半径为， 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，故B正确； D：当时，直线，所以圆心到直线的距离为， 则直线过圆心，得直线截圆所得弦长为2，故D正确. 故选：CD 6．（2024·江西景德镇·一模）已知与，若存在实数的值使得两圆仅有一条公切线，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为， ∴，半径为， 因为， ∴，半径为， 若两圆仅有一条公切线，即两圆相内切， ∴， 由于，故， 解得，即的最小值为， 故答案为：. 考点三 以圆为背景的切线问题 1．（24-25高三上·广西柳州·期中）“直线与圆相切”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由题意可得圆心到直线的距离等于半径2，利用点到直线的距离公式列出方程，求得的值，然后判断充要条件即可． 【详解】由题意可得圆心到直线的距离等于半径2， 即，求得，或， 所以“直线与圆相切”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 2．（24-25高三上·浙江·开学考试）过圆上一点作圆的两条切线，切点为，当最大时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由题意确定当三点线时，最大，进而得到即可得解. 【详解】 ，当最大时，也即取最大， 因为，在直角三角形中，当最短时，最大， 又，当且仅当三点线时最小， 此时，， 所以直线的斜率为. 故选：. 3．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数（    ） A．9 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】根据两圆公切线的条数确定两圆的位置关系，再把两圆的位置关系转化为圆心距与半径和差的数量关系求参数的值. 【详解】圆可化为，圆心为，半径为. 若圆M与圆恰有三条公切线，则两圆外切. 圆可化为，圆心为，半径为，. 由，所以，解得. 故选：B 4．（24-25高三上·宁夏吴忠·期中）已知圆，直线过点且与圆相切，则直线的方程为 ． 【答案】和 【分析】根据相切，结合点到直线的距离，分类讨论即可求解. 【详解】圆的圆心和半径分别为， 当直线无斜率时，此时：，与圆相切，符合题意， 当直线有斜率时，设， 此时圆心到直线的距离为，解得， 此时直线方程为，即， 综上可得和 故答案为：和 5．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知圆 与直线 相交所得圆的弦长是 ，若过点 作圆 的切线，则切线长为 . 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，再由弦，弦心距和半径的关系列方程可求出，然后求出圆心与间的距离，再利用勾股定理可求得结果. 【详解】由，得， 则圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 因为圆与直线相交所得圆的弦长是， 所以，解得或（舍去）， 所以圆心为，半径为， 所以与间的距离为， 所以所求的切线长为， 故答案为：. 6．（2024·河北张家口·三模）圆与圆的公切线的方程为 ． 【答案】 【分析】先判断两圆位置关系，然后将圆化为一般式，两式相减可得. 【详解】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为6， 因为，所以两圆内切，只有一条公切线， 将圆化为一般式得： ，， 两式相减得，即， 所以圆的公切线的方程为. 故答案为： 7．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）在平面直角坐标系中，圆C的半径为1，其圆心在射线上，且. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线过点，且与圆C相切，求直线l的方程； (3)点Q在直线上，过点Q作圆C的两条切线，切点分别为，求四边形的面积最小值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设，根据题意求出，再根据圆的标准方程即可求解； （2）讨论直线是否存在，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解； （3）由图可知，当取最小值时四边形的面积最小，为圆心到直线的距离，设四边形的面积为，可得，把代入即可求解. 【详解】（1）设， 因为， 解得，所以， 所以圆的标准方程为. （2）若直线斜率不存在，则直线方程为， 圆心到直线的距离为，此时满足直线与圆相切； 若直线斜率存在，设直线斜率为， 则直线方程为，即， 因为圆与直线相切， 所以圆心到直线的距离， 即，平方得， 解得，此时直线方程为，即， 所以直线l的方程为或. （3）由图可知，当取最小值时四边形的面积最小， ， 设四边形的面积为， 则 ， 所以四边形面积的最小值为. 考点四 以圆为背景的弦长问题 1．（24-25高二上·福建·期中）“”是“直线与圆：相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 【答案】A 【详解】圆：的圆心为，半径为， 若直线与圆相切，则，解得或， 且是的真子集， 所以“”是“直线与圆：相切”的充分不必要条件． 故选：A. 2．（24-25高三上·河北·期末）已知圆被直线所截，则截得的弦长为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【详解】根据题意，圆，可变形为， 所以圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以弦长为. 故选：D． 3．（24-25高三上·北京朝阳·期末）已知圆，过点的直线与圆交于两点．当取最小值时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，当点为弦的中点时，即时， 取最小值，因为，所以, 此时直线方程为，即 故选：C 4．（24-25高三上·天津和平·期末）若直线：与圆：相交于，两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 令，解得， 故直线过定点， 又，故在圆内， ，故圆心，半径为4， 连接，当和垂直时，最小， 其中， 由垂径定理得. 故选：C 5．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）若圆与圆相交于、，则所在直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为圆与圆相交于、， 将这两圆方程作差可得， 因此，直线的方程为. 故选：A. 6．（24-25高三上·重庆北碚·阶段练习·多选）已知圆与圆交于两点，P是圆上的一动点，则（    ） A．直线的方程是 B．线段中垂线方程为 C．线段的长度是 D．点P到直线的距离的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于A，由， 所以直线的方程是，故A正确； 对于B，因为直线的方程是， 所以线段中垂线方程可设为，圆化为标准式为， 所以由圆的对称性可知线段中垂线过圆心，故， 所以线段中垂线方程为，故B正确； 对于C，圆心到直线的距离是， 又圆，故圆半径为， 所以线段的长度是，故C错误； 对于D，圆化为标准式得， 所以圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离是， 所以圆上的点P到到直线的距离的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 7．（24-25高三上·天津南开·期末）圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【详解】将两个圆的方程作差得：， 即公共弦所在的直线为， 又知，则到直线的距离为： ，所以公共弦长为. 故答案为：. 8．（24-25高二上·山东青岛·期中）若圆与圆相交于两点，且，则实数 ． 【答案】或 【详解】，圆心，半径 ∴直线：， 圆心到直线距离， 由垂径定理可得，∴，即， ∴或，经验证均满足题意. 故答案为：或 考点五 以圆为背景的最值问题 1．（24-25高三上·河北廊坊·期末）已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得圆的标准方程为， 设圆心为，半径为，则，， ,所以由垂径定理可得， 故点在以为圆心，为半径的圆上， 因为点到直线的距离， 所以的最小值为， 故选：B. 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知动圆的半径为，其圆心到点的距离为2，点为圆上的一点，则点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图： 点到直线的距离为：. 所以点到直线距离的最大值为：. 故选：D 3．（24-25高三上·辽宁鞍山·开学考试·多选）已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．圆心到直线的距离最大为4 D．直线与圆相切时， 【答案】BD 【详解】A:圆的方程可化为，则圆心为，半径.是圆上的点， 所以的最大值，故A错误； B：如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，故B正确； C：圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，故C错误； D：直线，即，过定点， 代入圆的方程得，则定点在圆外. 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为2， 即，解得，故D正确. 故选：BD 4．（24-25高二上·湖北荆州·阶段练习·多选）已知曲线，点为曲线上任意一点，则（   ） A．曲线的图象表示两个圆 B．的最大值是 C．的取值范围是 D．直线与曲线有且仅有2个交点 【答案】ACD 【详解】对于A，由得， 即， 所以或， 所以曲线表示以为圆心，为半径的两个圆．故A正确. 对于表示到原点距离的平方再加1，如图，根据两圆关于原点对称，故最大值考虑一种情况即可，即为.故B错误. 对于表示点与点连线的斜率.如图，设过点且与圆相切的直线为 ，由直线与圆相切得或故C正确. 对于D，由C知，时，则直线为，与圆M相切. 圆心N到直线距离，故直线为，与圆N相切. 直线与曲线有且仅有两个交点.故D正确. 故选：ACD. 5．（24-25高三上·湖北武汉·期末）若为曲线上任意两点，则两点间距离的最大值为 ． 【答案】 【详解】由题意可得曲线关于轴，轴，原点对称， 当时，曲线方程化为，圆心; 当时，曲线方程化为，圆心； 当时，曲线方程化为，圆心； 当时，曲线方程化为，圆心； 当时，；当时，. 作出曲线在平面直角坐标系下的图象如下图： 曲线上任意两点距离的最大值为， 故答案为：. 6．（2024·江苏苏州·三模）已知圆，直线，直线和圆交于A，B两点，过A，B分别做直线的垂线，垂足为C，D. (1)求实数b的取值范围; (2)若，求四边形ABDC的面积取最大值时，对应实数的值; (3)若直线AD和直线BC交于点，问是否存在实数，使得点在一条平行于轴的直线上?若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)当时四边形ABDC的面积最大 (3)，理由见解析 【详解】（1）圆的半径为2，因为直线和圆交于A，B两点， 所以圆心到直线的距离， 解得， 则实数b的取值范围为； （2）设，则， 由得， 所以，， 则， 因为四边形为直角梯形， 所以四边形的面积 ， 令， ，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时四边形ABDC的面积最大， 且最大值为；    （3），则，且直线、的斜率存在， 由（2），，， 直线，直线， 联立得， 若为常数，则，其中为常数， 可得，解得， 所以当时点在一条平行于轴的直线上.    7．（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）已知圆过点，且与圆关于直线对称． (1)判断圆与圆的位置关系，并说明理由； (2)过点作两条相异直线分别与相交于，． ①若直线和直线互相垂直，求的最大值； ②若直线和直线与轴分别交于点、，且，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由． 【答案】(1)圆与圆外切，理由见解析 (2)①最大值为；②平行，理由见解析 【详解】（1）由题可得圆圆心为，设圆心，则，解得 则圆的方程为，将点的坐标代入得，故圆的方程为 ，又两半径之和为，圆与圆外切． （2）方法一：令、即，为过点的两条弦， 设、被圆所截得弦的中点分别为、，弦长分别为，，因为四边形是矩形，    所以，即，化简得 从而，时取等号，此时直线，必有一条斜率不存在 综上：、被圆所截得弦长之和的最大值为 方法二：若直线与中有一条直线的斜率不存在， 则，此时 若直线与斜率都存在，且互为负倒数，故可设，即，， 点到的距离为，同理可得点到的距离为， ， ， 综上：、被圆所截得弦长之和的最大值为 ②直线和平行，理由如下： 由题意知，直线和直线的斜率存在，且互为相反数，故可设， ，    由，得， 因为的横坐标一定是该方程的解，故可得 ， 同理，所以， ， 所以，直线和一定平行． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$圆的方程专项训练 圆的方程专项训练 考点一 圆的定义与方程 1．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知点P在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·吉林·三模）已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）已知的斜边为，且，，则直角边中点的轨迹方程是（   ） A． B． C．（且） D．（且） 4．（24-25高三上·天津红桥·期末）已知点，则以线段为直径的圆的标准方程为 . 5．（24-25高三上·湖南·阶段练习）写出一个半径为，且与直线相切于点的圆的方程： ． 6．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）圆过点，，且圆心在直线上，则圆的标准方程为 . 考点二 以圆为背景的位置关系问题 1．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）“”是“直线与圆有公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 3．（24-25高三上·天津滨海新·期中）圆与圆的位置关系是（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 4．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知圆与圆有且仅有三条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·广东广州·阶段练习·多选）已知直线：与圆：，，则下列判断正确的是（   ） A．若点在圆上，且直线与圆相切，则 B．若点在圆内，且，则直线与圆相交 C．若，，则直线与圆相交 D．若，则直线截圆所得弦长为 6．（2024·江西景德镇·一模）已知与，若存在实数的值使得两圆仅有一条公切线，则的最小值为 . 考点三 以圆为背景的切线问题 1．（24-25高三上·广西柳州·期中）“直线与圆相切”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高三上·浙江·开学考试）过圆上一点作圆的两条切线，切点为，当最大时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D．1 3．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数（    ） A．9 B． C．8 D． 4．（24-25高三上·宁夏吴忠·期中）已知圆，直线过点且与圆相切，则直线的方程为 ． 5．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知圆 与直线 相交所得圆的弦长是 ，若过点 作圆 的切线，则切线长为 . 6．（2024·河北张家口·三模）圆与圆的公切线的方程为 ． 7．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）在平面直角坐标系中，圆C的半径为1，其圆心在射线上，且. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线过点，且与圆C相切，求直线l的方程； (3)点Q在直线上，过点Q作圆C的两条切线，切点分别为，求四边形的面积最小值. 考点四 以圆为背景的弦长问题 1．（24-25高二上·福建·期中）“”是“直线与圆：相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 2．（24-25高三上·河北·期末）已知圆被直线所截，则截得的弦长为（   ） A．2 B． C． D．4 3．（24-25高三上·北京朝阳·期末）已知圆，过点的直线与圆交于两点．当取最小值时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·天津和平·期末）若直线：与圆：相交于，两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）若圆与圆相交于、，则所在直线方程是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·重庆北碚·阶段练习·多选）已知圆与圆交于两点，P是圆上的一动点，则（    ） A．直线的方程是 B．线段中垂线方程为 C．线段的长度是 D．点P到直线的距离的最大值为 7．（24-25高三上·天津南开·期末）圆与圆的公共弦长为 . 8．（24-25高二上·山东青岛·期中）若圆与圆相交于两点，且，则实数 ． 考点五 以圆为背景的最值问题 1．（24-25高三上·河北廊坊·期末）已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知动圆的半径为，其圆心到点的距离为2，点为圆上的一点，则点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·辽宁鞍山·开学考试·多选）已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．圆心到直线的距离最大为4 D．直线与圆相切时， 4．（24-25高二上·湖北荆州·阶段练习·多选）已知曲线，点为曲线上任意一点，则（   ） A．曲线的图象表示两个圆 B．的最大值是 C．的取值范围是 D．直线与曲线有且仅有2个交点 5．（24-25高三上·湖北武汉·期末）若为曲线上任意两点，则两点间距离的最大值为 ． 6．（2024·江苏苏州·三模）已知圆，直线，直线和圆交于A，B两点，过A，B分别做直线的垂线，垂足为C，D. (1)求实数b的取值范围; (2)若，求四边形ABDC的面积取最大值时，对应实数的值; (3)若直线AD和直线BC交于点，问是否存在实数，使得点在一条平行于轴的直线上?若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由. 7．（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）已知圆过点，且与圆关于直线对称． (1)判断圆与圆的位置关系，并说明理由； (2)过点作两条相异直线分别与相交于，． ①若直线和直线互相垂直，求的最大值； ②若直线和直线与轴分别交于点、，且，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$