精品解析：湖南省长沙市望城区第一中学2025届高三上学期1月学情调研数学试卷

望城一中2025届高三年级1月学情调研 数学试卷 望城一中高三数学教研组命制 2025.1.8 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集为实数集，若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 若，，并且为锐角，为钝角，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的内切球的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的最小值是，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上有三个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数．若为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若随机变量，则 B. 数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第分位数是7 C. 若随机变量，则 D. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的相关性较强 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的最小值为 C. 方程的解有个 D. 导函数的极值点为 11. 星形线又称为四尖瓣线，是数学中的瑰宝，在生产和生活中有很大应用，便是它的一种表达式，下列有关说法正确的是（ ） A. 星形线关于对称 B. 星形线图象围成的面积小于2 C. 星形线上的点到轴，y轴距离乘积的最大值为 D. 星形线上的点到原点距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与交于两点，且，，则的离心率为__________． 13. 已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则____________． 14. 已知的三个内角的对边依次为，外接圆半径为2，且满足，则面积的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某芯片公司生产甲､乙､丙三种型号的芯片，每种芯片均需要两次光刻才能成型，甲､乙芯片第一次光刻的良品率分别为，丙芯片第一次光刻因为工艺先进成熟，其良品率为.只有第一次光刻为良品，才能进行第二次光刻，否则为废品被淘汰，而甲､乙､丙第二次光刻的良品率分别为.第二次光刻的良品才是合格品. （1）从甲､乙､丙三种芯片的第一次光刻产品中各任取一件，若恰有两件是良品，求甲芯片是良品的概率； （2）甲､乙､丙三种芯片的每件合格品可为公司赚取利润150元，每件不合格品使公司赔50元，现生产甲､乙､丙芯片各一枚，设这三枚芯片为公司赚取的利润为，求的分布列与数学期望. 16. 已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，为椭圆上的一个动点，且点到右焦点距离的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）已知过点的直线交椭圆于两点，当的面积最大时，求此时直线的方程． 17. 已知数列满足． （1）求的通项公式． （2）记，数列的前项和为，是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18. 若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，称为的偶点． （1）证明：为“缺陷偶函数”，且偶点唯一． （2）对任意，函数都满足． ①若是“缺陷偶函数”，证明：函数有2个极值点． ②若，证明：当时，． 参考数据： ． 19. 如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2． （1）当为何值时，平面平面? （2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 望城一中2025届高三年级1月学情调研 数学试卷 望城一中高三数学教研组命制 2025.1.8 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集为实数集，若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合，解根式不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 由，可得，解得， 所以， 所以. 故选：A 2. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则化简即可. 【详解】. 故选：D 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直，得向量的数量积为0，代入计算，即可得答案. 【详解】由题意，则， 得，，所以， 所以. 故选：B 4. 若，，并且为锐角，为钝角，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果. 【详解】，且， ，， ，， . ，. 故选：C 5. 某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的内切球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，利用相似即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则由题意可得，解得， 所以， 设该圆锥内切球的半径为，作出轴截面如图所示， 其中为内切球的球心，为圆锥底面的圆心，为切点， 则，则，即，解得， 所以该圆锥的内切球的体积， 故选：A. 6. 已知的最小值是，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为函数有最小值，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，再结合，即可解得结果. 【详解】因为函数的最小值是， 所以当时，函数单调递减，即，解得① 当时，函数单调递增，即② 又因最小值为，得，解得③，联立①②③可得. 故选：D 7. 已知函数在上有三个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由零点的定义可得在上有三个根，结合正弦函数性质列不等式可求的取值范围. 【详解】由，得， 由，得，由在上有三个零点， 得在上有三个根，则，解得， 所以的取值范围为. 故选：A. 8. 已知函数．若为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据条件判断函数的对称性和单调性，再根据自变量的大小，比较函数值的大小. 【详解】若函数是偶函数，所以，所以函数关于直线对称， 函数关于直线对称，所以，即， ，函数和在区间单调递减，在区间单调递增， 所以函数在区间单调递减，在区间单调递增， 因为，所以，即. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若随机变量，则 B. 数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第分位数是7 C. 若随机变量，则 D. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的相关性较强 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性，可判定A正确；根据百分位数的概念及求法，可判定B不正确；根据二项分布的方差的计算公式，可判定C正确；根据，结合相关性的含义，可判定D不正确. 【详解】对于A中，若随机变量， 根据正态分布曲线的对称性，可得， 所以，所以A正确； 对于B中，数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共有10个数据， 则，所以数据的分位数为，所以B不正确； 对于C中，若随机变量，可得，所以C正确； 对于D中，若两组成对数据的样本相关系数分别为， 因为，所以组数据比组数据的相关性较强，所以D不正确. 故选：AC. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的最小值为 C. 方程的解有个 D. 导函数的极值点为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断ABC选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断D选项. 【详解】因为，该函数的定义域为，， 令，可得，列表如下： 减 极小值 增 且当时，；当时，， 作出函数的图象如下图所示： 对于A选项，在区间上单调递增，A对； 对于B选项，的最小值为，B对； 对于C选项，方程的解只有个，C错； 对于D选项，令，该函数的定义域为， ，令，可得；令，可得. 所以，函数的单调递减区间为，递增区间为， 所以，函数的极值点为，D对. 故选：ABD. 11. 星形线又称为四尖瓣线，是数学中的瑰宝，在生产和生活中有很大应用，便是它的一种表达式，下列有关说法正确的是（ ） A. 星形线关于对称 B. 星形线图象围成的面积小于2 C. 星形线上的点到轴，y轴距离乘积的最大值为 D. 星形线上的点到原点距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】把方程中的与互换方程不变判断选项A，由星形线图象围成的区域在曲线所围成的区域内部判断选项B，利用基本不等式求最值判断C与D，即可求解. 【详解】对于A，把方程中的与互换，方程不变，所以星形线关于对称，故A正确； 对于B，曲线所围成的区域面积为2，而， 即星形线图象围成的区域在曲线所围成的区域内部， ∴星形线图象围成的面积小于2，故B正确； 对于C，由，得，当且仅当时等号成立，即星形线上的点到轴，轴距离乘积的最大值为，故C错误； 对于D ， ，当且仅当时取等号， 即星形线上的点到原点距离的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与交于两点，且，，则的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】记C的右焦点为，连接，，由双曲线的定义结合题意可得，，再由数量积的定义和余弦定理可得，即可求出答案. 【详解】记C的右焦点为，连接，，如图所示. 过坐标原点O的直线与C交于A，B两点， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为，， 所以，. 因为，所以. 在中，由余弦定理可得， 因为，所以， 即，即C的离心率为. 故答案为：. 13. 已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先利用导数的几何意义得到切线为，设的切点为，从而得到，代入切线得到切点为，再结合即可得到答案. 【详解】，，所以切点. ，，切线，即. 设的切点为， ，，所以. 所以切点为，将点代入切线得：， 又因为，解得：. 故答案为：. 14. 已知的三个内角的对边依次为，外接圆半径为2，且满足，则面积的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理可得各边长与角的关系，再由恒等变换可得，利用余弦定理计算可得，利用三角形面积公式计算可得结果. 【详解】由正弦定理及外接圆半径可得，. 因为，，所以. 所以， 即. 因为，所以，即， 所以， 即可得，所以； 当且仅当时取等号， 所以面积为， 则面积的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用外接圆半径以及切弦互化，并由三角恒等变换和余弦定理和基本不等式求出，可得面积最大值. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某芯片公司生产甲､乙､丙三种型号的芯片，每种芯片均需要两次光刻才能成型，甲､乙芯片第一次光刻的良品率分别为，丙芯片第一次光刻因为工艺先进成熟，其良品率为.只有第一次光刻为良品，才能进行第二次光刻，否则为废品被淘汰，而甲､乙､丙第二次光刻的良品率分别为.第二次光刻的良品才是合格品. （1）从甲､乙､丙三种芯片的第一次光刻产品中各任取一件，若恰有两件是良品，求甲芯片是良品的概率； （2）甲､乙､丙三种芯片的每件合格品可为公司赚取利润150元，每件不合格品使公司赔50元，现生产甲､乙､丙芯片各一枚，设这三枚芯片为公司赚取的利润为，求的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2） 50 250 450 ， 【解析】 【分析】（1）根据条件概率的思想求相应的概率，即可解出； （2）先确定的值，求出对应概率，可得的分布列，再根据期望的概念求的数学期望. 【小问1详解】 设分别为甲､乙､丙三种芯片第次光刻为良品， 则，；，； ，. 第一次光刻丙芯片肯定是良品，故恰有两件良品是甲丙或乙丙， 所以甲芯片是良品的概率是： 【小问2详解】 甲芯片是合格品的概率为， 同理，乙芯片是合格品的概率为，内芯片是合格品的概率为. 的可能取值为， ， ， 其分布列为 50 250 450 数学期望. 16. 已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，为椭圆上的一个动点，且点到右焦点距离的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）已知过点的直线交椭圆于两点，当的面积最大时，求此时直线的方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据题意，由椭圆的几何性质可得、，结合求出、即可求解； （2）设直线的方程为，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示、，根据弦长公式表示，结合基本不等式计算即可求解． 【小问1详解】 椭圆的离心率为， 又点到右焦点距离的最大值为，即， 解得． 又由，可得． ∴椭圆的方程为：． 【小问2详解】 由题意，设直线的方程为， 联立，得， 设， 则， ， 当且仅当即时取等号． ∴所求直线的方程为或． 【点睛】思路点睛： 求解椭圆中三角形面积问题时，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式，点到直线距离公式等，表示出三角形的面积进行求解；有时也可将三角形分割成多个小三角形，利用小三角形的面积和来表示所求三角形面积. 17. 已知数列满足． （1）求的通项公式． （2）记，数列的前项和为，是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据求出通项公式； （2），裂项相消法求和得到，变形得到，假设存在实数，使得数列为等差数列，从而根据等差数列的定义得到． 【小问1详解】 在①中， 令得，，解得， 当时，②， ①②得，，故， 当时，，满足要求， 综上，的通项公式为. 【小问2详解】 由， 则， 则 ， 假设存在实数，使得数列为等差数列， 故当时， ， 只有当，即时，为常数， 其他值均不合要求， 故当时，是等差数列． 18. 若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，称为的偶点． （1）证明：为“缺陷偶函数”，且偶点唯一． （2）对任意，函数都满足． ①若是“缺陷偶函数”，证明：函数有2个极值点． ②若，证明：当时，． 参考数据： ． 【答案】（1）证明：由可得， 由可得，解得 ， 所以为“缺陷偶函数”，且偶点唯一，且为0， （2）①证明：由可得对任意，恒成立， 所以存在常数 ，使得， 令，则，且， 解得， ，则， 由于是“缺陷偶函数”，由， 即，即， 则，得， ， 由于，所以有两个不相等的实数根，不妨设， 当或时，单调递增， 当时，单调递减， 所以有两个极值点． ②证明：若，即，则，故， 当时，要证，只需要证， 因为，故， 只需证， 令， 当单调递减，当单调递增， 故 ， 所以，从而，故， 即时，. 【解析】 【分析】（1）根据，即可解方程求解， （2）①根据，取，可得，结合新定义可得，即可对求导，根据导函数的正负确定函数单调性，结合极值定义求证； ②利用放缩法，先证明故，构造求导，确定函数的最值即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤: （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式. 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 19. 如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2． （1）当为何值时，平面平面? （2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）先探索面面垂直的必要条件，再证明充分性即可. （2）由（1）得面面垂直、线面垂直关系，建立空间直角坐标系，用向量方法表示线面角的正弦值，建立关于的方程求解即可 （3）借助体积公式可得当平面时，三棱锥的体积最大，借助等体积法计算可得内切球半径. 【小问1详解】 连接，由题意得，， 则为等边三角形，， 在中，， 由余弦定理得， 所以，由， 则，故. 若平面平面， 由平面平面，平面，， 则平面，平面，则， 所以. 下面证明当时，平面平面. 证明：由，则， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 故当时，平面平面； 【小问2详解】 由（1）知，，则平面平面. 在平面内过作， 由平面平面，平面， 则平面，平面，则. 如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 由， ， 因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以， 化简得，解得或（舍去）， 故当时，存在，使直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 设点到平面的距离为， 由，其中为定值， 则要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大， 取中点，连接，则， 当平面时，点到平面的距离最大， 此时，由平面，则平面平面， 由（1）知，，为直角三角形， . 则， ， ， 在中，，取中点， 则，且， 所以， 设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知， 其中，， 故， 故当三棱锥的体积最大时，三棱锥的内切球的半径为. 【点睛】方法点睛：空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出或找到截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径；三是建立空间直角坐标系，设出球心坐标，利用有关半径等的等量关系解方程组可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $