精品解析：上海市临港实验中学2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试卷

上海市临港实验中学2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试卷 （100分钟完成，满分150分） 考生注意： 1．本卷含三大题，共25题； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须写出证明或计算的主要步骤． 3．本次测试不可使用计算器． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 若，则是多少度（ ） A. B. C. D. 任意度数 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 2. 如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点都在横线上，如果线段的长2，那么的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．如图，过点作于点，交过点的平行线于点，交点所在直线的邻近平行线于点，根据题意设，利用平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交过点的平行线于点，交点所在直线的邻近平行线于点， ∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的， ∴设， ∴． 解得． 故选：B． 3. 在中，分别是的对边，下列关系式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求解即可. 【详解】在Rt△ABC中，， 则sinA=，cosA= cosB=，tanB=，cotB=， ∴b=a·tanB=c·cosA， a=c·sinA=b·cotB， 故错误的是. 故选A. 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，解此题的关键在于将锐角的三角函数写出来，然后逐一进行判断即可. 4. 已知平行四边形，对角线交于点O．下列命题中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面向量的定义与运算法则，根据平面向量的定义与运算法则直接判断各选项即可． 【详解】解：如图所示： A、=，故本选项错误； B、==，故本选项正确； C、∵线段和不一定相等，故本选项错误； D、=，故本选项错误． 故选B． 5. 如图，在四边形中，相交于，则下列结论不成立的是（ ） A. 与相似 B. 与相似 C. 与相似 D. 与相似 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．根据两角分别相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似逐一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，故选项A不符合题意； ∵，， ∴，故选项C不符合题意； ∵， ∴，即， ∵， ∴，故选项B不符合题意； 不能判断与相似，故选项D符合题意； 故选：D． 6. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在的延长线上，连接，点是的中点，连交于点，连接，若．则下列结论：①；②；③；④；⑤点到的距离为．其中正确结论个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】由由正方形的性质易得，，，，①由三角形中位线可进行判断；②由△DOC是等腰直角三角形可进行判断；③根据三角函数可进行求解；④根据题意可直接进行求解；⑤过点D作DH⊥CF，交CF的延长线于点H，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，，， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴点G是的中点， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴，故④错误； 过点D作，交的延长线于点H，如图所示： ∵点F是的中点，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴，故⑤正确； ∴正确的结论是①②③⑤共4个； 故选：C． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果线段c是a、b的比例中项，且，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例中项的定义，列式计算即可． 本题考查了比例中项即，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵线段c是a、b的比例中项， ∴， ∵，， ∴， 解得（舍去）， 故答案为：． 8. 如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC=_____． 【答案】 【解析】 【详解】∵AB所在的直角三角形的两直角边分别为：2，4， ∴AB=． ∴sin∠ABC=． 9. 如果，那么________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意先设，则，再代入求值即可. 【详解】解：∵， ∴设，则， 那么． 故答案为：． 10. 如果两个相似三角形的相似比是，其中一个较小的三角形周长是6，那么另一个三角形的周长是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形周长比等于相似比．根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是，且较小的三角形的周长是6， ∴另一个三角形的周长是． 故答案为：9． 11. 如图1是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．过作，垂足为，过作，垂足为，可得， 则得到，即可求解． 【详解】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为， 由题意得，， 则若将放置内，且使得点重合，在上，在上， 则， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 12. 如果在等腰中，，那么底角的正弦值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值，也考查了等腰三角形的性质．过A作于D点，根据等腰三角形的性质得到，由勾股定理求出，而，在中，根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：过A作于D点，如图， ， ， ∴． 在中， ， 故答案为：． 13. 已知一斜坡的高度为4米，坡长为5米．则坡比为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形．先利用勾股定理求出水平方向上前进的距离，然后根据坡比斜坡的垂直高度与水平宽度的比，把相关数值代入整理为的形式即可． 【详解】解：如图所示： 米，米，则米， 则坡比， 故答案为：． 14. 如图，为了测量河宽（假设河的两岸平行），测得，，米，则河宽为______米（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用．先根据三角形外角的性质求出的度数，判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出的值． 【详解】解：，， ， 米， 在中， (米)． 故答案是：． 15. 如图，在中，点是重心，过点作，交边于点，联结，如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，连接，延长交于点，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：连接，延长交于点，并延长至，使得，延长交于点，连接 ∵点是重心， ∴分别为的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．求：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据题意可得：平分，从而可得，然后利用等量代换可得，从而可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，最后根据黄金三角形的定义可得，从而进行计算即可解答．本题考查了黄金分割，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，作图基本作图，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， 由题意得：平分， ， ， ， ， ， ， ， 是顶角为的等腰三角形， 是黄金三角形， ， ， 设 ∴ 17. 定义：有且只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做单邻等对补四边形．如图所示，在Rt中，，，，分别在、上取点、，如果四边形为单邻等对补四边形，那么的长为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质及判定、勾股定理，理解“单邻等对补四边形”定义，熟练运用相似三角形的性质及判定、勾股定理是解决问题的关键． 根据题意，分四种情况画出图形，证明，根据相似三角形的性质逐一求解判断即可． 【详解】解：在中，，，， ， ①当时，如下图所示： ， ， 由“单邻等对补四边形”的定义可得：， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ，不符合“单邻等对补四边形”的定义； ②当时，如图所示： ， ，即， ， ③当时，如图所示： ， ， ，即， ， 综上所述，的长为或． 18. 如图所示，在中，已知，，点为边上一点，点在边上，且，将沿翻折，使得的对应边经过点，当时，点到点的距离是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，则；由等腰三角形的性质及翻折的性质得，，从而得，由相似三角形的性质得到关于x的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图，设，则； ∵，， ∴； ∵， ∴； 由翻折的性质得，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； ∵， ∴， 整理得：， 解得：； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，等腰三角形的性质，翻折的性质等知识，证明三角形相似是解题的关键． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了特殊角三角函数混合运算，二次根式的混合运算；正确化简各数是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算法则分别化简，进而得出答案． 【详解】解： ． 20. 如图，点在的边BC上，，点在AD的延长线上，，已知． （1）用向量分别表示向量； （2）作出向量分别在方向上的分向量（直接作在图中，写出结论，不要求写作法）． 【答案】（1），． （2） 如图，向量在、方向上的分向量如图， 、． 【解析】 【分析】此题考查了平面向量的知识与平行线分线段成比例定理．解题的关键是数形结合思想的应用． （1）由，根据平行线分线段成比例定理，即可求得的值，继而求得的值，又由，即可求得答案； （2）作出的图形中，在、方向上的分向量分别为、． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵与方向相同， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵过点D作，交于点N，作交于点M， ∴， ∴，， ∴ ∵与方向相同，与方向相同， ∴，， 所以，向量在、方向上的分向量分别为、． 21. 已知：如图，在中，，点D是边的中点，，垂足为E．求： （1）线段的长； （2）的值． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟知在锐角的三角函数中，已知其中的一个就可求出另外几个，并且三角函数值的大小只与角的大小有关，而与所在三角形无关，且熟练掌握知识点是解题的关键． （1）在中，根据的正弦即可求得，根据勾股定理即可求得，进而得到的长； （2）根据，只要在直角中求出的余弦值即可． 【小问1详解】 解：在中， ∵， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴； 【小问2详解】 解：在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 小华家准备购买一套新房，经过考察小华家发现有的房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距，以增加住宅楼栋数．某市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼，国家规定普通住宅层高宜为2.80米．如果楼间距过小，将影响其他住户的采光（如图所示，窗户高1.0米）． （1）某市的太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）：夏至日为81.4度，冬至日为34.88度．为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？（保留到0.1米） （2）小华一家决定在该小区B、C两栋楼中选择一套进行购买，现向售楼中心咨询得到如下信息： 1．B，C两栋楼中各套房子的面积均为． 2．三栋楼平行排列，楼在楼正南方且间距68米，楼楼的正南方且间距76米． 3．楼一层每平方米4万8，随着楼层增高单价也随之增高，每增加一层单价增高0.2万元；楼一层每平方米5万，随着楼层增加单价也随之增高．每增加一层单价也增高0.2万元． 请你帮小华家计算一下，在确保全年光照充足情况下，如何购买费用最少？并求出最少费用？ （本题参考值：，，） 【答案】（1）78.6米 （2）买C栋2层所花费用最少，最少费用为520万元 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质． （1）由题意得出为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的34.88度，即，楼高米，窗台米，作于E，证明四边形是矩形，得出，米，求出米，在中，解直角三角形即可得解； （2）根据题意，分别算出在B、C两栋购买房子所花的费用，比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的34.88度，即， 楼高米， 窗台米， 作于E，则， ∴四边形是矩形， ∴，米， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴两栋住宅楼的楼间距至少为78.6米； 【小问2详解】 解：如图所示：、为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的34.88度，即， 楼高米， 由题意得：米，米， 如图，作于H，于N， 则， ∴四边形、是矩形， ∴米，，米，， 在中，（米）， ∴（米）， ∴米， 在中，（米）， ∴（米）， ∴米， ∵楼一层每平方米4万8，每增加一层单价增高0.2万元， ∴在B栋购买所花的费用为（万元）， ∵楼一层每平方米5万，每增加一层单价也增高0.2万元， ∴在C栋购买所花的费用为（万元）， ∵， ∴买C栋2层所花费用最少，最少费用为520万元． 23. 如图，中，E、F分别是AC、BC边上的点，交AF的延长线于，交BC于． （1）求证： （2）求证： 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2） 证明：∵，， ∴， ∴， 由得， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）由得，又已知，即可得； （2）先由已知证得，得，进而得，再由（1）得，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，是斜边的中点，交于，垂足为，连接． （1）求证：； （2）如果与相似，求其相似比； （3）如果，求的大小． 【答案】（1） ∵，， ∴， ∵是斜边的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）相似比为； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质求得推出，利用等角的余角相等求得，证明，即可证明结论成立； （2）分两种情况讨论，当时，证明是的中位线，据此求解；当时，证明是等边三角形，据此求解即可； （3）取的中点，连接，作于点，设，利用三角形中位线定理求得，证明和以及勾股定理，求得和的长，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴点H和点C对应， 当时，， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， 设，则， 由（1）知，则， ∴， ∴， ∵， ∴相似比为； 当时，， 由（1）知， ∴， ∴， 又∵，即，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故， 设，则，，， ∴， ∵， ∴相似比为； 综上，相似比为； 【小问3详解】 解：取的中点，连接，作于点， 则是的中位线， ∴，，则， 设， ∵，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， ∵，即， ∴，， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 25. 如图所示，已知在梯形中，，点为边上一点，且，连接交于点，已知，过点作的平行线交于点，连接交于点． （1）求证：点是的中点； （2）如果，求的长； （3）如图，如果与互补，求的面积． （4） 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 延长交于点， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即点是的中点； （2） （3） 【解析】 【分析】（）证明，得，求出，延长交于点，证明四边形为平行四边形，设，则，证明，得，，推出，求出得，即可得证； （）根据推出，证明得，证明得，设，，则，代入可得，进而即可求解； （）延长交于点，证明得，证明得，推出，，代入得，根据勾股定理得，可得，作，垂足为点，证明得，求出，最后根据三角形面积公式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设，，则， ∴代入得，， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：延长交于点， ∵与互补，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 代入得，， 解得， ∵， ∴，即， 解得， 作，垂足为点，则， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，补角性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市临港实验中学2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试卷 （100分钟完成，满分150分） 考生注意： 1．本卷含三大题，共25题； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须写出证明或计算的主要步骤． 3．本次测试不可使用计算器． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 若，则是多少度（ ） A. B. C. D. 任意度数 2. 如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点都在横线上，如果线段的长2，那么的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 3. 在中，分别是的对边，下列关系式中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知平行四边形，对角线交于点O．下列命题中，正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，相交于，则下列结论不成立的是（ ） A. 与相似 B. 与相似 C. 与相似 D. 与相似 6. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在的延长线上，连接，点是的中点，连交于点，连接，若．则下列结论：①；②；③；④；⑤点到的距离为．其中正确结论个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果线段c是a、b的比例中项，且，，则__________． 8. 如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC=_____． 9. 如果，那么________． 10. 如果两个相似三角形的相似比是，其中一个较小的三角形周长是6，那么另一个三角形的周长是______． 11. 如图1是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面__________． 12. 如果在等腰中，，那么底角的正弦值为________． 13. 已知一斜坡的高度为4米，坡长为5米．则坡比为_______． 14. 如图，为了测量河宽（假设河的两岸平行），测得，，米，则河宽为______米（结果保留根号）． 15. 如图，在中，点是重心，过点作，交边于点，联结，如果，那么______． 16. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．求：________． 17. 定义：有且只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做单邻等对补四边形．如图所示，在Rt中，，，，分别在、上取点、，如果四边形为单邻等对补四边形，那么的长为____________． 18. 如图所示，在中，已知，，点为边上一点，点在边上，且，将沿翻折，使得的对应边经过点，当时，点到点的距离是____________． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 如图，点在的边BC上，，点在AD的延长线上，，已知． （1）用向量分别表示向量； （2）作出向量分别在方向上的分向量（直接作在图中，写出结论，不要求写作法）． 21. 已知：如图，在中，，点D是边的中点，，垂足为E．求： （1）线段的长； （2）的值． 22. 小华家准备购买一套新房，经过考察小华家发现有的房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距，以增加住宅楼栋数．某市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼，国家规定普通住宅层高宜为2.80米．如果楼间距过小，将影响其他住户的采光（如图所示，窗户高1.0米）． （1）某市的太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）：夏至日为81.4度，冬至日为34.88度．为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？（保留到0.1米） （2）小华一家决定在该小区B、C两栋楼中选择一套进行购买，现向售楼中心咨询得到如下信息： 1．B，C两栋楼中各套房子的面积均为． 2．三栋楼平行排列，楼在楼正南方且间距68米，楼楼的正南方且间距76米． 3．楼一层每平方米4万8，随着楼层增高单价也随之增高，每增加一层单价增高0.2万元；楼一层每平方米5万，随着楼层增加单价也随之增高．每增加一层单价也增高0.2万元． 请你帮小华家计算一下，在确保全年光照充足情况下，如何购买费用最少？并求出最少费用？ （本题参考值：，，） 23. 如图，中，E、F分别是AC、BC边上的点，交AF的延长线于，交BC于． （1）求证： （2）求证： 24. 如图，是斜边的中点，交于，垂足为，连接． （1）求证：； （2）如果与相似，求其相似比； （3）如果，求的大小． 25. 如图所示，已知在梯形中，，点为边上一点，且，连接交于点，已知，过点作的平行线交于点，连接交于点． （1）求证：点是的中点； （2）如果，求的长； （3）如图，如果与互补，求的面积． （4） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $