7.3 同底数幂的除法（寒假自学）学案-2024-2025学年苏科版数学七年级下册

7.3 同底数幂的除法 【学习目标】 1、掌握并理解同底数幂的除法运算公式； 2、熟练运用同底数幂的除法性质进行计算 【教学重难点】 能够掌握并理解同底数幂的除法运算公式并且会用同底数幂的除法性质进行计算． 考点1：同底数幂的除法法则 知识点与方法技巧：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且） 要点诠释 ①同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. ②被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. ③当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. ④底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 【例】计算的结果正确的是(　　) A． B． C． D． 【变式1】若，，，则的值为（       ） A． B． C．1 D． 【变式2】已知，则的值为（       ） A． B． C． D．1 【变式3】（1）若，求x的值； （2）已知，求的值． 【变式4】求等式中的值：． 考点2：负整数指数幂 知识点与方法技巧：①负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数）②任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0） 要点诠释：①a≠0； ②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误． ③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． ④在混合运算中，始终要注意运算的顺序． 【例】若（a﹣1）﹣1有意义，则a的取值范围是（　　） A．a≠0 B．a≠2 C．a≠﹣1 D．a≠1 【变式1】计算： ． 【变式2】计算：20210＋(-)＝________． 【答案】-1． 【解析】解： = = 【变式3】如果，那么三数的大小为（   ） A． B． C． D． 【思维拓展】 1、若（且，m、n是正整数），则． 利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 2、某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据am＝b，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若am＝b，那么T（a，b）＝m．例如34＝81，那么T（3，81）＝4． （1）填空：T（2，64）＝　 　；（2）计算：T()+T(-2，16)． （3）探索：T（2，3）+T（2，7）与T（2，21）的大小关系，并说明理由． 3、如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)_______；若，则_______； (2)已知，若，则_______； (3)若，令． ①求的值； ②求的值． 【课后作业】 1．下列计算正确的有（       ） ①；                           ②；③；             ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．已知，则的值为（       ） A． B． C． D．1 3．已知，那么a，b，c的大小关系（       ） A． B． C． D． 4．=（       ） A． B． C．2 D． 5．下列算式，计算正确的个数为（       ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．若，则等于（       ） A． B． C．17 D． 7．若，，则的值为（       ）． A． B． C． D． 8．若，则______． 9．已知，，则______． 10．已知，，则______． 11．已知，，则的值为______． 12．若，则____． 13．概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把（n个a，a≠0）记作，读作“a的圈n次方”． （1）直接写出计算结果： ， ；（2）试一试，将下列运算结果直接写成幂的形式： ； ； ；（3）想一想：将一个非零有理数a的圈次方写成幂的形式为 ；（4）算一算：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3 同底数幂的除法 【学习目标】 1、掌握并理解同底数幂的除法运算公式； 2、熟练运用同底数幂的除法性质进行计算 【教学重难点】 能够掌握并理解同底数幂的除法运算公式并且会用同底数幂的除法性质进行计算． 考点1：同底数幂的除法法则 知识点与方法技巧：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且） 要点诠释 ①同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. ②被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. ③当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. ④底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 【例】计算的结果正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：．故答案为D． 【变式1】若，，，则的值为（       ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据同底数幂的除法的逆运算及幂的乘方的逆运算解答． 【详解】 解：∵，， ∴==3÷8=， 故选D． 【变式2】已知，则的值为（       ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】 ． 故选：B． 【变式3】（1）若，求x的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1） ；（2） 【详解】解：（1）， ， ； （2）， ， ， ． 【变式4】求等式中的值：． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 考点2：负整数指数幂 知识点与方法技巧梳理：①负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数）②任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0） 要点诠释：①a≠0； ②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误． ③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． ④在混合运算中，始终要注意运算的顺序． 【例】若（a﹣1）﹣1有意义，则a的取值范围是（　　） A．a≠0 B．a≠2 C．a≠﹣1 D．a≠1 【答案】D 【解析】解：若有意义， ∴a-1≠0， 则的取值范围是：． 故选：D． 【变式1】计算： ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查了零指数幂，根据即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】计算：20210＋(-)＝________． 【答案】-1． 【解析】解： = = 【变式3】如果，那么三数的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、有理数大小比较、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂运算，先根据零指数幂，负整数指数幂运算法则，乘方运算法则进行计算，然后再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴， 故选：D． 【思维拓展】 1、若（且，m、n是正整数），则． 利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2、某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据am＝b，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若am＝b，那么T（a，b）＝m．例如34＝81，那么T（3，81）＝4． （1）填空：T（2，64）＝　 　；（2）计算：T()+T(-2，16)． （3）探索：T（2，3）+T（2，7）与T（2，21）的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）6；（2）1；（3）相等，理由见解析 【解析】解：（1）∵26=64， ∴T（2，64）=6；故答案为：6； （2）∵()−3=27，(-2)4=16， ∴T(，27)+T(−2，16)=-3+4=1； （3）相等．理由如下： 设T（2，3）=m，T（2，7）=n，T（2，21）=k，可得2m=3，2n=7，2k=21， 根据3×7=21得：2m•2n=2k， 可得m+n=k， 即T（2，3）+T（2，7）=T（2，21）． 3、如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)_______；若，则_______； (2)已知，若，则_______； (3)若，令． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)4，64 (2)15 (3)①；② 【详解】（1）解：， ∴； ∵， ， 故答案为：4，64； （2）解：∵， ，，， ， ∵， ， 故答案为：15； （3）解：∵ ，， ①； ② ，，， ， ， ∴ 【课后作业】 1．下列计算正确的有（       ） ①；                           ②；③；             ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解析】解：①，原计算错误；②，原计算正确；③，原计算错误；④，原计算错误；综上，计算正确的有1个，故选：B． 2．已知，则的值为（       ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】 ． 故选：B． 3．已知，那么a，b，c的大小关系（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用零指数幂和负整数指数幂分别计算后，即可比较大小． 【详解】 解：∵， ∴． 故选：C． 4．=（       ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据负整数指数幂的运算法则计算即可得答案． 【详解】 =， 故选：A． 5．下列算式，计算正确的个数为（       ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】，故①错误；，故②正确；，故③错误；，故④错误；故选：A． 6．若，则等于（       ） A． B． C．17 D． 【答案】A 【解析】解：∵3a=5，3b=2， ∴32a-3b=（3a）2÷（3b）3 =52÷23 =． 故选：A． 7．若，，则的值为（       ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵， ∵，， ∴， 故选：A 8．若，则______． 【答案】0，6，8， 【解析】 【分析】 根据非零的零次幂等于1，（﹣1）的偶数次幂等于1，1的任何次幂等于1，可得答案． 【详解】 解：m＝0时，（﹣7）0＝1， m﹣7＝1时，m＝8，（m﹣7）8＝1， m﹣7＝﹣1时（m﹣7）6＝1， 故答案为：0，6，8． 9．已知，，则______． 【答案】 【解析】解：，， ∴，故答案为：． 10．已知，，则______． 【答案】4 【解析】解：∵，， ∴ ， 故答案为：4． 11．已知，，则的值为______． 【答案】 【解析】， ， ， 原式， 故答案为：-8． 12．若，则____． 【答案】3 【解析】解： ， ， ， ， ， ． 故答案为：3 13．概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把（n个a，a≠0）记作，读作“a的圈n次方”． （1）直接写出计算结果： ， ；（2）试一试，将下列运算结果直接写成幂的形式： ； ； ；（3）想一想：将一个非零有理数a的圈次方写成幂的形式为 ；（4）算一算：． 【答案】（1），；（2），，；（3）；（4）． 【解析】解：（1），；故答案为：，；（2）；； = ； 故答案为：，，； （3）；故答案为：； （4） ． 学科网（北京）股份有限公司 $$