7.2 幂的乘方与积的乘方 导学案 2024—2025学年苏科版数学七年级下册

7.2 幂的乘方与积的乘方 【学习目标】 1、掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）； 2、能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算 【教学重难点】 能正确理解正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方） 考点1：幂的乘方法则 知识点与方法技巧：(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释 ①公式的推广： (，均为正整数) ②逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 【例】计算：的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解： 故选：B． 【变式1】若2×8n×16n＝222，则n的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】 【分析】 先利用幂的乘方及同底数幂的乘法的运算性质将等式左边化为以2为底数的形式，进而可得关于n的方程，解方程即可求解． 【详解】 解：∵2×8n×16n＝2×23n×24n＝21＋3n＋4n＝222， ∴1＋3n＋4n＝22，解得：n＝3． 故选：B． 【变式2】计算的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方法则，根据积的乘方法则：先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式3】如果，，则 ． 【答案】75 【分析】此题考查了幂的运算法则．根据幂的乘方、同底数幂的乘法法则得到，把已知条件代入进行解题即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 考点2：积的乘方法则 知识点与方法技巧：(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释： ①公式的推广：(为正整数). ②逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便. 【例】若，，则 _____． 【答案】6 【解析】解：∵，， ∴， 故答案为：6。 【变式1】下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、，运算不正确，不符合题意； 、，运算不正确，不符合题意； 、与不是同类项，不能合并，不符合题意； 、，运算正确，符合题意； 故选：． 【变式2】若为正整数，且，则的值是　 　． 【解答】解：， ． 故答案为：512． 【变式3】已知为正整数，且，求的值． 原式， ， 【变式4】(1) (2) 答案 (1) (2) 【思维拓展】 1、下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 利用同底数幂相乘法则，幂的乘方法则逐项判定即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算正确，符合题意； D．，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 2、，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了积的乘方，幂的乘方逆用．原式先依据积的乘方计算得，再将，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 3、已知，，则的值为 ． 【答案】72 【分析】根据，结合，，计算即可． 本题考查了同底数幂的乘法的逆应用，幂的乘方的逆运算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：， ∵，， ∴， 故答案为：． 4、已知正整数m、、、都是质数，并且，则 . 【答案】793 【分析】本题考查了幂的乘方，质数的意义；从是质数入手是解题的关键；质数中唯一的偶数是2，其余的质数都是奇数，根据两个奇数的和为偶数，则可断定中必为偶数，由此分析即可求解． 【详解】因为m、n、都是质数，所以必为偶数，所以m、n至少有一个为2． 当时，，不相等且都不是质数，矛盾； 当时，，此时，符合题意， 所以； 当时，，不满足条件． 综上， ． 【课后作业】 1、计算：． 【答案】0 【分析】此题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项法则，解题关键在于掌握运算法则； 先根据幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则化简，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 2、（1）计算：． （2）已知，求的值． 【答案】（1）0；（2）8 【详解】 解：（1）原式=， =， =0 （2）∵， 又∵， ∴原式= 3、计算： (1)已知，求的值； (2)已知n为正整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）由积的乘方公式解题； （2）由积的乘方公式解得，再利用整体代入法解题． (1) 解： ． (2) 原式． 4、（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）27 【分析】此题考查整式的混合运算． （1）先算乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减； （2）利用幂的乘方和同底数幂的乘法计算整理，再整体代入即可求出． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴ ． 5、将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）_________；（2）若，求的值；（3）比较大小：，则的大小关系是什么？ （提示：如果，为正整数，那么） 【答案】（1）1；（2）；（3）． 【解析】解：（1） 故答案为：1 （2）∵， ∴， ∴，即， ∴，解得；（3）由题可得：，，，， ∵， ∴， 即． 6、在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． (1)若，，请你也利用逆向思考的方法求出的值． (2)下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答下面的问题： 小贤的作业 计算：． 解：． ①小贤的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式：______． ②计算：． 【答案】(1)6 (2)①；②5 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，学会逆向运用幂的运算性质是解答本题的关键． （1）逆向运用同底数幂的乘法、幂的乘方运算法则计算即可； （2）①根据幂的运算性质，得出求解方法逆向运用了积的乘方运算法则，即可得出结论；②逆向运算积的乘方运算法则计算即可； 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． 的值为6． （2）解：①小贤的求解方法逆用了积的乘方运算性质，即， 故答案为：； ② ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2 幂的乘方与积的乘方 【学习目标】 1、掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）； 2、能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算 【教学重难点】 能正确理解正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方） 考点1：幂的乘方法则 知识点与方法技巧：(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释 ①公式的推广： (，均为正整数) ②逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 【例】计算：的值为（       ） A． B． C． D． 【变式1】若2×8n×16n＝222，则n的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】计算的值是 ． 【变式3】如果，，则 ． 考点2：积的乘方法则 知识点与方法技巧梳理：(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释： ①公式的推广：(为正整数). ②逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便. 【例】若，，则 _____． 【变式1】下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2】若为正整数，且，则的值是　 　． 【变式3】已知为正整数，且，求的值． 【变式4】(1) (2) 【思维拓展】 1、下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 2、，，则 ． 3、已知，，则的值为 ． 4、已知正整数m、、、都是质数，并且，则 . 【课后作业】 1、计算：． 2、（1）计算：． （2）已知，求的值． 3、计算： (1)已知，求的值； (2)已知n为正整数，且，求的值． 4、（1）计算：； （2）已知，求的值． 5、将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）_________；（2）若，求的值；（3）比较大小：，则的大小关系是什么？ （提示：如果，为正整数，那么） 6、在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． (1)若，，请你也利用逆向思考的方法求出的值． (2)下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答下面的问题： 小贤的作业 计算：． 解：． ①小贤的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式：______． ②计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $$