7.1 同底数幂的乘法（寒假自学）学案 2024--2025学年苏科版七年级数学下册

7.1 同底数幂的乘法 【学习目标】 1、掌握正整数幂的同底数幂的乘法运算性质； 2、理解“底数不变，指数相加”的意义； 3、能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算 【教学重难点】 1、掌握正整数幂的同底数幂的乘法运算性质； 2、理解“底数不变，指数相加”的意义； 3、同底数幂的乘法的实际应用 考点1：同底数幂的乘法直接应用 知识点与方法技巧：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 【例】已知，，则等于（       ） A．32 B．64 C．128 D．256 【答案】A 【解析】解：∵am=8，an=4， ∴．故选：A． 【变式1】若，则____________． 【答案】10 【解析】 【分析】 由已知条件可得：，根据同底且幂相等，则可得关于n的方程，解方程即可求得n的值． 【详解】 ∵ ∴ 即 ∴n+2=12 解得：n=10 故答案为：10． 【变式2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）256；（4） 【解析】 【分析】 根据同底数幂乘法运算法则计算即可． 【详解】 解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【变式3】设，则的值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先根据同底数幂的乘法法则求出的值，再代入计算即可得． 【详解】 解：， ， 解得， 则， 故选：A． 考点2：同底数幂的乘法拓展应用 知识点与方法技巧梳理： ①三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. ②逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数） 【例】我们知道下面的结论：若（，且），则．利用这个结论解决下列问题：设，，，下列关系式正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1】我们学习了幂的意义，知道an表示n个a相乘，并且由an＝m，知道a和n可以求m．我们不妨思考，如果知道a，m，能否求n呢？对于an＝m，规定[a，m]＝n，例如：62＝36，所以[6，36]＝2．如果[3，x]＝m，[3，y]＝m+2，那么y＝___．（用含x的代数式表示y） 【答案】 【解析】解：根据题意可得：由[3，x]＝m可得， 由[3，y]＝m+2可得 故答案为 【变式2】若（且），则，已知，，，那么，，三者之间的关系正确的有（       ） ①；②；③；④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】解：∵4n=12=4×3=4×4m=41+m， ∴n=1+m，即n-m=1，故②错误； ∵4p=48=12×4=4n×4=41+n， ∴p=1+n，即p=n-m+n=2n-m， ∴m+p=2n，故①正确； ∵4p=48=3×16=4m×42 =42+m， ∴p=2+m， ∴m+n=p-2+p-1=2p-3，故③错误； ，故④正确；故选：C． 【变式3】规定，求： （1）求 （2）若，求的值． 【答案】（1）16；（2） 【解析】 【分析】 （1）直接利用已知，将原式按定义式变形得出答案； （2）直接利用已知将原式变形得出等式，再利用同底数幂相等指数相等列方程求出答案即可． 【详解】 解：（1）＝＝16； （2）∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【变式4】我们规定一个新数“i”，使其满足i1＝i，i2＝﹣1，并且进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣i，i4＝i2•i2＝﹣1×（﹣1）＝1．那么i6＝____，i1+i2+i3+…+i2022+i2023＝____． 【答案】     -1     -1 【解析】 【分析】 各式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】 解：i6=i5•i=-1， 由题意得，i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣i，i4＝i2•i2＝﹣1×（﹣1）＝1，i5=i4•i=i，i6=i5•i=-1， 故可发现4次一循环，一个循环内的和为0， 2023÷4=505…3 i1+i2+i3+…+i2022+i2023=505×0+（i-1-i）=-1． 故答案为：-1，-1． 【思维拓展】 1、若39m27m=，则m的值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】∵39m27m=332m33m=31+2m+3m ∴1+2m+3m=21 ∴m=4 故选：B 2、为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S＝1+2+22+23+…+2100，则2S＝2+22+23+24+…+2101，因此2S﹣S＝2101﹣1，所以S＝2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100＝2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+…+3100的值是__________________． 【答案】（3101﹣1） 【解析】解：令S＝1+3+32+…+3100， 则3S＝3+32+…+3101， ∴3S﹣S＝3101﹣1， ∴S＝（3101﹣1）， 故答案为：（3101﹣1）． 3、已知10×102＝1000＝103， 102×102＝10000＝104， 102×103＝100000＝105． （1）猜想106×104＝　 　，10m×10n＝　 　．（m，n均为正整数） （2）运用上述猜想计算下列式子： ①（1.5×104）×（1.2×105）； ②（﹣6.4×103）×（2×106）． 【答案】（1）1010，10m+n；（2）①1.8×109；②-1.28×1010 【解析】 【分析】 （1）根据所给式子进行猜想即可； （2）①由（1）的猜想进行计算即可；②由（1）的猜想进行计算即可． 【详解】 解：（1）∵10×102＝1000＝103， 102×102＝10000＝104， 102×103＝100000＝105 ∴106×104＝1010，10m×10n＝10m+n 故答案为：1010，10m+n （2）①（1.5×104）×（1.2×105） =1.5×1.2×104×105 =1.8×109 ②（﹣6.4×103）×（2×106） =﹣6.4×2×103×106 =-12.8×109 =-1.28×1010 【点睛】 此题主要考查了同底数幂的乘法，正确得出运算规律是解答本题的关键． 4、如果，那么我们规定．例如：因为，所以（2，8）． （1）根据上述规定，填空：（，） ，（，） ． （2）记（3，5），（3，6），（3，30）．求证：． 【答案】（1），；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】 （1）由新定义设可得 从而可得答案，同理可得的结果； （2）由新定义可得：，，，从而可得： 从而可得，从而可得结论． 【详解】 解：（1）， 设 设 故答案为：，． （2）证明：根据题意得： ，， ∵ ∴ 则 ∴． 5、阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②①得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）______； （2）求______； （3）求的和；（请写出计算过程） （4）求的和（其中且）．（请写出计算过程） 【答案】（1）221−2；（2）2-；（3）；（4）+ 【解析】解：根据阅读材料可知： （1）设s＝①， 2s＝22＋23＋…＋220＋221②， ②−①得，2s−s＝s＝221−2； 故答案为：221−2； （2）设s＝①， s＝②， ②−①得，s−s＝-s＝-1， ∴s＝2-， 故答案为：2-； （3）设s＝① -2s＝② ②−①得，-2s−s＝-3s＝+2 ∴s＝； （4）设s＝①， as＝②， ②-①得：as-s=-a-， 设m=-a-③， am=-④， ④-③得：am-m=a-， ∴m=， ∴as-s=+， ∴s=+． 【课后作业】 1．当a＜0，n为正整数时，（﹣a）5•（﹣a）2n的值为（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【分析】本题首先运用同底数的幂的乘法法则计算，然后判断所得幂的底数的符号，进而得出结果． 【详解】解：∵（﹣a）5•（﹣a）2n＝（﹣a）2n+5， 又∵a＜0，n为正整数， ∴﹣a＞0， ∴（﹣a）5•（﹣a）2n＝（﹣a）2n+5＞0，是正数． 故选：A． 2．如果，，那么的值为　　 A．2 B．8 C． D． 【解答】解：如果，， 那么． 故选：． 3．若，，则的值为　　 A．32 B．64 C．128 D．256 【解答】解：，， ． 故选：． 4．信息技术的存储设备常用B，K，M，G等作为存储量的单位．例如，我们常说某计算机硬盘容量是320G，某移动硬盘的容量是80G，某个文件的大小是88K等，其中1G＝210M，1M＝210K，1K＝210B，对于一个存储量为16G的闪存盘，其容量有 　　B（结果写成乘方的形式）． 【分析】根据乘方的定义，得16＝24．再根据同底数幂的乘法法则am•an＝am+n（m，n是整数），得16G＝234B． 【详解】解：∵1G＝210M，1M＝210K，1K＝210B， ∴16G＝（16×210×210×210）B． ∴16G＝234B． 故答案为：234． 5．规定a*b＝2a×2b，求： （1）求2*3； （2）若2*（x+1）＝16，求x的值． 【分析】（1）直接利用已知a*b＝2a×2b，将原式变形得出答案； （2）直接利用已知得出等式求出答案． 【详解】解：（1）∵a*b＝2a×2b， ∴2*3＝22×23＝4×8＝32； （2）∵2*（x+1）＝16， ∴22×2x+1＝24， 则2+x+1＝4， 解得：x＝1． 6. 我们规定，，可得 ．请你试一试，完成以下题目： （1）　　； （2）　　； （3）计算：； （4）若，，则求的值． 【解答】解：（1）（1）； 故答案为：5； （2）； 故答案为：7； （3）； （4）． 7．先阅读下列材料，再详解后面的问题． 一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）． （1）计算以下各对数的值：log24＝　　，log216＝　　，log264＝　　． （2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式； （3）猜想一般性的结论：logaM+logaN＝　　（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并根据幂的运算法则：am•an＝am+n以及对数的含义证明你的猜想． 【分析】（1）根据材料叙述，结合22＝4，24＝16，26＝64即可得出答案； （2）根据（1）的答案可得出log24、log216、log264之间满足的关系式； （3）设logaM＝b1，logaN＝b2，则＝M，＝N，分别表示出MN及b1+b2的值，即可得出猜想． 【详解】解：（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6； （2）log24+log216＝log264； （3）猜想logaM+logaN＝loga（MN）． 证明：设logaM＝b1，logaN＝b2，则＝M，＝N， 故可得MN＝•＝，b1+b2＝loga（MN）， 即logaM+logaN＝loga（MN）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1 同底数幂的乘法 【学习目标】 1、掌握正整数幂的同底数幂的乘法运算性质； 2、理解“底数不变，指数相加”的意义； 3、能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算 【教学重难点】 1、掌握正整数幂的同底数幂的乘法运算性质； 2、理解“底数不变，指数相加”的意义； 3、同底数幂的乘法的实际应用 考点1：同底数幂的乘法直接应用 知识点与方法技巧：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 【例】已知，，则等于（       ） A．32 B．64 C．128 D．256 【变式1】若，则____________． 【变式2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式3】设，则的值为（　　） A． B． C．1 D． 考点2：同底数幂的乘法拓展应用 知识点与方法技巧： ①三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. ②逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数） 【例】我们知道下面的结论：若（，且），则．利用这个结论解决下列问题：设，，，下列关系式正确的是（       ） A． B． C． D． 【变式1】我们学习了幂的意义，知道an表示n个a相乘，并且由an＝m，知道a和n可以求m．我们不妨思考，如果知道a，m，能否求n呢？对于an＝m，规定[a，m]＝n，例如：62＝36，所以[6，36]＝2．如果[3，x]＝m，[3，y]＝m+2，那么y＝___．（用含x的代数式表示y） 【变式2】若（且），则，已知，，，那么，，三者之间的关系正确的有（       ） ①；②；③；④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式3】规定，求： （1）求 （2）若，求的值． 【变式4】我们规定一个新数“i”，使其满足i1＝i，i2＝﹣1，并且进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣i，i4＝i2•i2＝﹣1×（﹣1）＝1．那么i6＝____，i1+i2+i3+…+i2022+i2023＝____． 【思维拓展】 1、若39m27m=，则m的值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2、为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S＝1+2+22+23+…+2100，则2S＝2+22+23+24+…+2101，因此2S﹣S＝2101﹣1，所以S＝2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100＝2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+…+3100的值是__________________． 3、已知10×102＝1000＝103， 102×102＝10000＝104， 102×103＝100000＝105． （1）猜想106×104＝　 　，10m×10n＝　 　．（m，n均为正整数） （2）运用上述猜想计算下列式子： ①（1.5×104）×（1.2×105）； ②（﹣6.4×103）×（2×106）． 4、如果，那么我们规定．例如：因为，所以（2，8）． （1）根据上述规定，填空：（，） ，（，） ． （2）记（3，5），（3，6），（3，30）．求证：． 5、阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②①得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）______； （2）求______； （3）求的和；（请写出计算过程） （4）求的和（其中且）．（请写出计算过程） 【课后作业】 1．当a＜0，n为正整数时，（﹣a）5•（﹣a）2n的值为（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 2．如果，，那么的值为　　 A．2 B．8 C． D． 3．若，，则的值为　　 A．32 B．64 C．128 D．256 4．信息技术的存储设备常用B，K，M，G等作为存储量的单位．例如，我们常说某计算机硬盘容量是320G，某移动硬盘的容量是80G，某个文件的大小是88K等，其中1G＝210M，1M＝210K，1K＝210B，对于一个存储量为16G的闪存盘，其容量有 　　B（结果写成乘方的形式）． 5．规定a*b＝2a×2b，求： （1）求2*3； （2）若2*（x+1）＝16，求x的值． 6.我们规定，，可得 ．请你试一试，完成以下题目： （1）　　； （2）　　； （3）计算：； （4）若，，则求的值． 7．先阅读下列材料，再详解后面的问题． 一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）． （1）计算以下各对数的值：log24＝　　，log216＝　　，log264＝　　． （2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式； （3）猜想一般性的结论：logaM+logaN＝　　（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并根据幂的运算法则：am•an＝am+n以及对数的含义证明你的猜想． 学科网（北京）股份有限公司 $$