函数对称性1 课件-2025届高三数学一轮复习

课题导入 回顾上一节课的内容 课题导入 函数的对称性是高考的重要内容 函数对称性1 一不怕苦 二不怕累 风雨同舟 追求卓越 授课教师：高复数学 授课时间：2025届 3 目标引领 1、掌握函数的对称性相关结论 2、利用函数的对称性解决相关问题 独立自学 回忆函数的对称性有哪些内容？ 引导探究 题型一　轴对称问题 x＝1 1 3 变式 8 15 √ 题型二　中心对称问题 (－2，0) √ 4 (1，0) (1，1) 变式 √ √ √ √ 目标升华 1、函数自身的对称问题 2、函数对称问题的应用 当堂诊学 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 强化补清 课时作业 一不怕苦 二不怕累 风雨同舟 追求卓越 坚持就是胜利！ 23 1．周期性的常用结论 设函数y＝f(x)，x∈R，a＞0. (1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a； (2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a； (3)若f(x＋a)＝ eq \f(1,f（x）) ，则函数的周期为2a； (4)若f(x＋a)＝－ eq \f(1,f（x）) ，则函数的周期为2a. 1．函数自身的对称性 (1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝a对称． 若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(x)的图象关于点(a，0)中心对称． (3)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a＋x)＝f(－x)⇔f(2a－x)＝f(x)． (4)函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称⇔f(a－x)＝－f(a＋x)⇔f(2a－x)＝－f(x)⇔f(2a＋x)＝－f(－x)． (5)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)． (6)函数y＝f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))中心对称⇔f(a＋x)＝－f(b－x)． (1)若函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图象的对称轴方程为__________． 【解析】　∵f(x＋1)为偶函数， ∴函数f(x＋1)的图象关于直线x＝0对称． 又函数f(x)的图象是由函数f(x＋1)的图象向右平移一个单位长度而得到， ∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称． (2)函数f(x)的周期为6，且f(x＋2)为偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－1，则f(2 025)＝________． 【解析】　∵f(x)的周期为6，则f(2 025)＝f(3)，又f(x＋2)为偶函数，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(3)＝f(1)＝1，∴f(2 025)＝1. 【解析】　由已知得f(x)的图象关于x＝2对称，∴f(5)＝f(－1)＝3. (2)(2023·沧州七校联考)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于x＝－2对称，则a＝________，b＝________． 【解析】　f(x)最多有4个零点，显然已有2个，x＝±1，又由对称性可知，另外两个零点为－3和－5，∴x2＋ax＋b＝0的两根为－3或－5. ∴a＝8，b＝15. (3)已知定义域为R的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(x＋1)为偶函数，若f(3)＝1，则不等式f(2x＋1)<1的解集为(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－1，1) 【解析】　根据题意，函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．又由函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增且f(3)＝1，则f(2x＋1)<1⇔f(2x＋1)<f(3)⇔|(2x＋1)－1|<|3－1|，解得－1<x<1，即不等式的解集为(－1，1)． (1)若y＝f(x－2)为奇函数，则函数y＝f(x)图象的对称中心为________． 【解析】　y＝f(x)的图象是由y＝f(x－2)的图象向左平移2个单位得到的，而y＝f(x－2)的图象的对称中心为(0，0)，∴y＝f(x)的图象的对称中心为(－2，0)． (2)(2024·郑州模拟)若函数f(x)满足f(2－x)＋f(x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1　　　　 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 【解析】　函数f(x)满足f(2－x)＋f(x)＝－2，可得f(1－x)＋f(1＋x)＝－2，即f(1－x)＋1＋f(1＋x)＋1＝0， 即f(－x＋1)＋1＝－[f(x＋1)＋1]， 所以函数y＝f(x＋1)＋1为奇函数．故选D. (3)已知函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝2，g(x)＝eq \f(1,x)＋1，y＝f(x)与y＝g(x)的图象有4个交点，则这4个交点的纵坐标之和为________． 【思路】　函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)．若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))中心对称． 【解析】　根据f(x)满足f(x)＋f(－x)＝2可得函数y＝f(x)的图象关于点(0，1)中心对称， 而g(－x)＋g(x)＝1－eq \f(1,x)＋1＋eq \f(1,x)＝2，可知函数y＝g(x)的图象也关于点(0，1)中心对称． 因为y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点个数为偶数，所以y＝f(x)与y＝g(x)的图象的交点应成对出现，且每对交点均关于点(0，1)中心对称， 所以4个交点的纵坐标之和为4. 【解析】　∵f(x＋1)＝3x－3－x， ∴f(x＋1)为奇函数，其图象的对称中心为(0，0)，∴f(x)图象的对称中心为(1，0)． 而g(x)＝f(x)＋1，故g(x)图象的对称中心为(1，1)． (2)【多选题】(2024·长沙四校联考)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)＝f(－x) B．f(2＋x)＋f(2－x)＝0 C．f(－x)＝－f(x＋4) D．f(x＋2)＝f(x－2) 【解析】　因为f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，故A正确；因为f(x)的图象关于点(2，0)对称，则f(x)的图象上的点(x，y)关于(2，0)的对称点(4－x，－y)也在函数图象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替换x得f(4－(2＋x))＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正确；由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，令x＋2替换x，可得f(x＋4)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x＋4)，故C正确；由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D错误． (3)．已知函数f(2x＋1)是奇函数，则函数y＝f(2x)的图象的一个对称中心是(　　)A．(1，0) B．(－1，0)C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) 解析　f(2x＋1)是奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，而f(2x)的图象是由f(2x＋1)的图象向右平移eq \f(1,2)个单位长度得到的，故其图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))成中心对称． 已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝eq \f(x＋1,x)与y＝f(x)图像的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则eq \o(∑,\s\up16(m),\s\do14(i＝1)) (xi＋yi)＝(　　)A．0　B．m C．2m D．4m 【解析】　因为f(x)＋f(－x)＝2，y＝eq \f(x＋1,x)＝1＋eq \f(1,x)，所以函数y＝f(x)与y＝eq \f(x＋1,x)的图像都关于点(0，1)对称，所以eq \o(∑,\s\up16(m),\s\do14(i＝1))xi＝0，eq \o(∑,\s\up16(m),\s\do14(i＝1))yi＝eq \f(m,2)×2＝m，故选B.【答案】　B $$