第八章实数讲义2024-2025学年人教版 数学七年级下册

专题二：实 数 模块一：平方根 1 题型一：平方根与算术平方根的理解 2 题型二：算术平方根的非负性 2 题型三：算术平方根的整数部分与小数部分 3 题型四：运用平方根解方程 5 题型五：算术平方根的规律探究问题 6 模块二：立方根 9 题型一：立方根的理解 9 题型二：立方根性质的运用 10 题型三：平方根与立方根综合 10 题型四：立方根的实际应用 12 题型五：与平方根立方根有关的新定义问题 13 模块三：实数 16 题型一：实数的分类 17 题型二：实数的性质与数轴 18 题型三：实数的大小比较 19 题型四：实数的混合运算 20 题型五: 程序设计与实数运算 21 巩固练习： 23 专题二：实 数 模块一：平方根 考点1： 算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, 算术平方根表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, 算术平方根性质： ①正数只有一个算术平方根，并且恒为正； ② 0的算术平方根为0，即； ③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 平方根定义:一般地，如果一个正数x的平方等于a,即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, 平方根表示方法：一个数a（a≥0）的平方根记作(a≥0)，读作“正负根号a” 平方根性质： ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数 ② 0只有一个平方根，是它本身 ③负数没有平方根。 开平方定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； 1 学科网（北京）股份有限公司 题型一：平方根与算术平方根的理解 例题1：（1）（﹣4）2的平方根是　 　． （2）的平方根是　 　． 例题3：如果一个数的平方根是a+6和2a﹣15，则这个数为　 　． 练习1：1． =　 　． 2． =　 　．3． = 　．4．=　　． 练习2： 若方程（x﹣5）2=19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（　　） A．a是19的算术平方根 B．b是19的平方根 C．a﹣5是19的算术平方根 D．b+5是19的平方根 练习3：若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的平方根，则m的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．﹣3或1 练习4：已知2a+1的平方根是±3，5a+2b﹣2的算术平方根是4，求：3a﹣4b的平方根． 题型二：算术平方根的非负性 例题1：已知实数，满足，则的值为 ． 例题2：若与互为相反数，则 ． 练习1：已知，则的值是 ． 练习2：已知、为实数，且，则 练习3：如果和互为相反数，那么的平方根是 ． 练习4：，求的算术平方根 ． 练习5：已知，则的平方根为 ． 题型三：算术平方根的整数部分与小数部分 例题1：观察：，， 的整数部分为2，小数部分为，的整数部分是 ，的小数部分是 ． 例题2：设的整数部分用a表示，小数部分用b表示，整数部分用c表示，小数部分用d表示，则的值为（    ） A． B． C． D． 例题3：数学张老师在课堂上提出一个问题：通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： (1)的整数部分是________． (2)a为的小数部分，b为的整数部分，求的值． (3)已知，为的整数部分，y为的小数部分，求的值 练习1：已知，分别是的整数部分和小数部分，则的值为 ． 练习2：已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 练习3：已知a是的小数部分，b是的小数部分，则的平方根是 ． 练习4：【阅读理解】的整数部分是2，则的小数部分可以表示为． 【问题解决】(1)若，且是整数，求的值； (2)已知的小数部分是，的小数部分是，且，求的值． 练习5：阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 根据以上提示回答下列问题： (1)如图，数轴上点A、B、O、C、D分别表示数，，0，1，2，则表示数的点P应落在__________． A．线段上    B．线段上    C．线段上    D．线段上 (2)如果的整数部分为a，的小数部分为b，求的立方根； (3)若，其中x是整数，且，求的平方根． 题型四：运用平方根解方程 例题1：计算： (1) (2) 例题2：解方程： 练习1： （1）         （2） 练习2：求下列各式中的值： (1) (2)． 题型五：算术平方根的规律探究问题 例题1：观察数据并寻找规律：，－2，，，，…则第个数是（    ） A． B． C． D． 例题2：按要求填空： （1）填表并观察规律： 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______． 例题3：观察下列各式： ； ； ； …… 请利用你发现的规律，计算，其结果为 . 练习1：观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（    ）． A． B．4 C． D． 练习2：如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（    ） A． B． C． D． 练习3：如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 练习4：先填写表，通过观察后再回答问题∶ a … 1 … … x 1 y … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题∶ ①已知，则________； ②已知，若，用含m的式子表示b，则________； (3)试比较与a的大小． 练习5：如图，细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题． ，；，； ，． (1)推算出______；______． (2)请用含（是正整数）的式子填空： ______  ______ (3)求出的值． 模块二：立方根 立方根定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. Eg： 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 立方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位。例如： 题型一：立方根的理解 例题1：若一个数的平方根是±8，则这个数的立方根是（　　） A． ±2 B．±4 C．2 D．4 例题2：若n为自然数，对下面判断正确的是（    ） A．一定无意义 B．一定有意义 C．若n为奇数，则必有意义 D．一定成立 练习1：，则的值是（    ） A．8 B．2 C．9 D． 练习2：一个正方体纸盒的体积为，它的棱长大约在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 练习3：若一个数的立方根与它的算术平方根相同，则这个数是（   ） A．1 B．1或0 C．0 D．或0 练习4：若，，则 ． 题型二：立方根性质的运用 例题1：若和互为相反数，则的值 ． 练习1：若和互为相反数，则 ． 练习2：一个正数的两个平方根分别是和，且，则 ， ． 练习3：实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简： ． 题型三：平方根与立方根综合 例题1：已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值： (2)求的平方根和立方根． 例题2：已知表示9的算术平方根，的立方根是2，d是的小数部分． (1)求a、b、c、d的值； (2)求的平方根． 练习1：已知的平方根是，的立方根是3，求： (1)a和b； (2)的算术平方根． 练习2：已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求的值； (2)求的立方根． 练习3：已知正数a的两个平方根分别是和，且与相等，求的算术平方根． 练习4：（1）观察下列各式，并用所得到的规律解决问题： ①，则 ② 发现规律：①被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向________移动________位； ②被开方数的小数点每向左移动三位，其立方根的小数点向________移动________位； （2）应用：①已知________，________； ②已知，则________； （3）拓展：已知，计算和的值． 题型四：立方根的实际应用 例题1：如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 练习1：老师布置每名同学做一个正方体盒子，做好后，小明对小强说：“我做的盒子表面积是，你的呢？”小强低头想了一下说：“先不告诉你，我做的盒子比你的盒子体积大，你能算出它的表面积吗？”小明思考了一会儿，顺利地得出了答案，你知道是多少吗？ 练习2：如图1所示的正方形铁板是由两张大小相同的长方形铁板拼接而成的，已知一个长方形铁板的面积为72平方厘米． (1)求正方形铁板的边长； (2)若将该正方形铁板进行裁剪，然后拼成一个体积为64立方厘米的无盖正方体容器，求剩余的铁板面积； (3)若工人把这个正方形铁板加工成如图2的零件，，，测得，请直接写出这个零件的周长． 题型五：与平方根立方根有关的新定义问题 例题1：喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：，，这三个数，，，，其结果分别为，，，都是整数，所以，，这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是，“最大算术平方根”是． (1)试说明：，，这三个数是“老根数”，并求出它们的最小算术平方根与最大算术平方根； (2)已知，，，这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的倍，求的值． 练习1：定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由； (2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值； (3)写出一组含有的“组合平方数” ． 练习2： 【问题提出】 对于任意实数，定义一种新运算，例如：． 【初步感知】 （1）求的值； 【拓展运用】 （2） 若实数满足，求的值． 练习3：阅读下面材料： 材料一：对任意的实数，，定义的含义为：①当时，；②当时，．例如：，； 材料二：200多年前，数学王子高斯的老师布特纳在课堂上布置了这样一道题：“求的和．”当其他同学忙于把100个数逐项相加时，八岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：．我们通过高斯的计算思路得到这样一个结论：我们把中的第一个加数1称为首项，最后一个加数100称为末项，这100个加数称为项数，称为这些加数的和．对于满足这种规律加数的求和，得出一般性地结论：． 解决问题： (1)______，_______； (2)直接利用上述求和结论求的值； (3)对于正数，满足关系式时，求的值； (4)在（3）的条件下，求的值． 模块三：实数 （1）实数的分类： ①按正负分类 ②按概念分类 注意： ① 有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分数形式：）、1.333333…（分数形式：）等）. ② 无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.(例如：π). ③ 带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. ④ 对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0. （2）实数与数轴上的点一一对应： 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. （3） 实数大小的比较： 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. （4） 实数的运算： 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且 正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算 法则及运算性质等同样适用. 题型一：实数的分类 例题1：下列说法正确的是（   ） A．无限小数都是无理数 B．带根号的数都是无理数 C．两个无理数的和还是无理数 D．无理数是无限不循环小数 例题2：，，π，中，有理数的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例题3：把下列各数的序号填在相应的大括号中： ①；②；③：④，⑤；⑥（两个1之间的0逐次增加）；⑦； (1)整数集合{ } (2)分数集合合{ } (3)有理数集合{ } (4)无理数集合{ } 练习1:在中，无理数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 练习2：下列各数：，3.141592，，0.16，，，3.010010001…（相邻两个 1 之间 0  的个数逐次加 1），是无理数的有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 练习3：把下列各数的序号分别填入相应的集合内： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩． (1)整数集合：{         }： (2)分数集合：{         }， (3)无理数集合：{         }． 题型二：实数的性质与数轴 例题1：实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C．b D． 例题2:如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 例题3：根据推理提示，回答下列问题：    即    的整数部分为1，小数部分为 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)如图所示，在数轴上点A 所表示的实数是 ． 练习1：如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 ． 练习2：如图所示，数轴的正半轴上有，，三点，表示，的对应点分别为点，，点到点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的数为，则的算术平方根为 ． 练习3：如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：． 练习4：如图所示： (1)在数轴上点A表示的实数是____________； (2)点表示的数的小数部分为____________； (3)比较与的大小，并说明理由． 题型三：实数的大小比较 例题1：比较大小： 4； 1（填“”或“”） 例题2：比较大小 ． 练习1：写出一个比大且比小的整数 ． 练习2：比较大小： ．（用“”、“”或“”连接） 练习3：若，，，则的大小关系是 ． 练习4：课堂上，老师出了一道题：比较与的大小 小明的解法如下： 解： 因为，所以 所以，所以 所以 我们把这种比较大小的方法称为作差法，请仿照上述方法，比较和的大小 题型四：实数的混合运算 例题1：计算： (1) (2)． 练习1：（1）计算： （2）； 练习2：计算：(1) (2)． 练习3：计算： (1) (2) 题型五: 程序设计与实数运算 例题1：如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 练习1: 如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求y的值，并写出详细过程． 练习2：有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 练习3：一个数值转换器，如图所示：    (1)当输入的为时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的是，请求出两个满足要求的值． 巩固练习： 1．的平方根是（   ） A． B．3 C． D．9 2．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为16时，输出的y是（    ） A．4 B． C．2 D． 3．如图，边长为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上，(点在点的右侧)且，则点所表示的数为(   ) A． B． C． D． 4．设，下列关于的四种说法中，错误的是（   ） A．是无理数 B． C．是的算术平方根 D．的值不能在数轴表示 5．一个正数的两个平方根分别为与，则的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 6．实数，，，，（相邻两个之间1的个数依次加），其中无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．实数1，0，，中，最大的数是（　　） A．1 B．0 C． D． 8．如图，长方形中，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为(   ) A． B． C．2 D． 9．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 10． 比较大小 （填“”，“”，“”）． 11．有一个数值转换器，原理如下：    当输入的时，输出的y等于 ． 12．若，，则 ． 12. 若，为两个连续的正整数，则 ． 13. 已知a是的小数部分，b是的小数部分，则的平方根是 ． 15．实数a，b的位置如图，化简： ． 16．如果和互为相反数，那么的平方根是 ． 17． 计算：． 18． 计算：． 19．已知：一个正数的两个平方根分别是和 (1)求的值； (2)求的立方根 20．综合探究∶表示无理数整数部分与小数部分的思路： 的整数部分为2，小数部分为 根据观察上述的规律后试解下面的问题： (1)的整数部分为 ，小数部分为 ： (2)已知 其中a是 是整数部分，b是 小数部分．求 的平方根： (3)已知 的小数部分为m， 的小数部分为n，求关于x的不等式组 的解集． $$ 专题二：实 数 模块一：平方根 1 题型一：平方根与算术平方根的理解 2 题型二：算术平方根的非负性 3 题型三：算术平方根的整数部分与小数部分 6 题型四：运用平方根解方程 12 题型五：算术平方根的规律探究问题 14 模块二：立方根 21 题型一：立方根的理解 22 题型二：立方根性质的运用 23 题型三：平方根与立方根综合 25 题型四：立方根的实际应用 29 题型五：与平方根立方根有关的新定义问题 31 模块三：实数 36 题型一：实数的分类 37 题型二：实数的性质与数轴 40 题型三：实数的大小比较 44 题型四：实数的混合运算 46 题型五: 程序设计与实数运算 49 巩固练习： 52 专题二：实 数 模块一：平方根 考点1： 算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, 算术平方根表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, 算术平方根性质： ①正数只有一个算术平方根，并且恒为正； ② 0的算术平方根为0，即； ③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 平方根定义:一般地，如果一个正数x的平方等于a,即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, 平方根表示方法：一个数a（a≥0）的平方根记作(a≥0)，读作“正负根号a” 平方根性质： ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数 ② 0只有一个平方根，是它本身 ③负数没有平方根。 开平方定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； 1 学科网（北京）股份有限公司 题型一：平方根与算术平方根的理解 例题1：（1）（﹣4）2的平方根是　 　． （2）的平方根是　 　． 【考点】 平方根 【解答】1、∵（﹣4）2=16∴16平方根是±4．∴（﹣4）2的平方根是±4．故答案为：±4． 2、 ∵=9，9的平方根是±3，∴的平方根是±3．故答案为±3． 例题2: （1）2的算术平方根是 　　． （2）36的算术平方根是　 ． 【考点】算术平方根 【解答】解：∵2的平方根是±，∴2的算术平方根是．故答案为：． 解：36的算术平方根是6．故答案为：6． 例题3：如果一个数的平方根是a+6和2a﹣15，则这个数为　 　． 【考点】平方根 【解答】解：根据题意得：a+6+（2a﹣15）=0， 解得：a=3． 则这个数是（a+6）2=（3+6）2=81． 故答案是：81． 练习1：1． =　 　． 2． =　 　．3． = 　．4．=　　． 【考点】算术平方根 【解答】1、解：∵52=25，∴=5．∴=﹣5．故答案为：﹣5． 2、∵42=16，∴=4，故答案为4． 3、=，故答案为：． 4、原式==，故答案为： 练习2： 若方程（x﹣5）2=19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（　　） A．a是19的算术平方根 B．b是19的平方根 C．a﹣5是19的算术平方根 D．b+5是19的平方根 【考点】算术平方根；平方根 【解答】解：∵方程（x﹣5）2=19的两根为a和b， ∴a﹣5和b﹣5是19的两个平方根，且互为相反数， ∵a＞b， ∴a﹣5是19的算术平方根， 故选C． 练习3：若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的平方根，则m的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．﹣3或1 【考点】平方根 【解答】解：当2m﹣4=3m﹣1时，m=﹣3， 当2m﹣4+3m﹣1=0时，m=1． 故选；D． 练习4：已知2a+1的平方根是±3，5a+2b﹣2的算术平方根是4，求：3a﹣4b的平方根． 【考点】22：算术平方根；平方根 【解答】解：根据题意得：2a+1=32=9，5a+2b﹣2=16， 即a=4，b=﹣1， ∴3a﹣4b=16， ∴3a﹣4b的平方根是±=±4． 题型二：算术平方根的非负性 例题1：已知实数，满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根的非负性，先根据非负数的性质求出x、y的值，再代入代数式进行计算即可． 【解析】∵有理数x、y满足， 又∵，， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：． 例题2：若与互为相反数，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查相反数的应用，解二元一次方程组及根式、绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握非负式子和为0则它们分别等于0．根据互为相反两个数和为0列方程组，解方程组，即可得到答案． 【解析】解：∵与互为相反数，∴， ∵，， ∴， 解得： ， ∴ 故答案为：6． 练习1：已知，则的值是 ． 【答案】16 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查偶次幂与算术平方根的非负性，熟练掌握偶次幂与算术平方根的非负性是解题的关键；由题意易得，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴； 故答案为16． 练习2：已知、为实数，且，则 【答案】2010 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了算术平方根的被开方数非负，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键．由得到，则，即可求解的值． 【详解】解：由题意得， 则， ∴， ∴， 故答案为：2010． 练习3：如果和互为相反数，那么的平方根是 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根、相反数的定义 【分析】本题主要考查了相反数的定义，算术平方根的非负性，先根据和互为相反数，得出，求出，，然后再求出的值，最后求出的平方根即可． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴， ∵9的平方根为， ∴的平方根是． 故答案为：． 练习4：，求的算术平方根 ． 【答案】5 【知识点】求一个数的算术平方根、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键；由题意易得，则有，然后可求x、y的值，进而代入求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴，即， ∴， ∴， ∴的算术平方根是5； 故答案为5． 练习5：已知，则的平方根为 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为零，则它们都为零，求平方根；由非负数的性质求得的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵4的平方根是， ∴的平方根为±2． 故答案为：． 题型三：算术平方根的整数部分与小数部分 例题1：观察：，， 的整数部分为2，小数部分为，的整数部分是 ，的小数部分是 ． 【答案】 7 / 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键；先估算出的值的范围，然后再估算出的值范围，即可解答． 【详解】解：， ， 的整数部分是7， ， ， 的小数部分， 故答案为：7；． 例题2：设的整数部分用a表示，小数部分用b表示，整数部分用c表示，小数部分用d表示，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可知，然后可求出、、、的值，最后代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ，，，． ，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，在根据题意估算出的取值范围后确定、、、的值是解答此题的关键． 例题3：数学张老师在课堂上提出一个问题：通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： (1)的整数部分是________． (2)a为的小数部分，b为的整数部分，求的值． (3)已知，为的整数部分，y为的小数部分，求的值 【答案】(1)3 (2) (3)17 【分析】此题主要考查无理数的估算及求代数式的值，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． （1）根据无理数的估算方法求解即可； （2）根据题意得出，，然后代入求解即可； （3）根据题意得出，，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴， ∴的整数部分是 （2）∵a为的小数部分，b为的整数部分， ，， ∴ ； （3），其中是一个正整数，， ，， ． 练习1：已知，分别是的整数部分和小数部分，则的值为 ． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了无理数的大小估算以及无理数整数部分的有关计算，先得，则的整数部分和小数部分分别是，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴则的整数部分和小数部分分别是， 即， ∴， 故答案为：． 练习2：已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴9的平方根是； 故答案为． 练习3：已知a是的小数部分，b是的小数部分，则的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算 【分析】先利用夹逼法估算、的取值范围，即可求出、的值，再计算的值，最后求出平方根即可．本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握利用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 的整数部分是12，小数部分是， 即， ， ， ， ， 的整数部分是5，小数部分是， 即， ， 的平方根是， 的平方根是， 故答案为：． 练习4：【阅读理解】的整数部分是2，则的小数部分可以表示为． 【问题解决】(1)若，且是整数，求的值； (2)已知的小数部分是，的小数部分是，且，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了无理数的整数部分，无理数的估算，利用平方根解方程 （1）因为得，结合即可得出整数的值； （2）先求出，得，，可得，同理得，代入计算即可 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴，即 而，且是整数， ∴； （2）解：∵， ∴ ∴ ∴， ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴， ∵， ∴ ∴，， 则或 练习5：阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 根据以上提示回答下列问题： (1)如图，数轴上点A、B、O、C、D分别表示数，，0，1，2，则表示数的点P应落在__________． A．线段上    B．线段上    C．线段上    D．线段上 (2)如果的整数部分为a，的小数部分为b，求的立方根； (3)若，其中x是整数，且，求的平方根． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，不等式的性质，平方根和立方根，实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据无理数的估算，得到，再结合不等式的性质，得到，即可求解； （2）先估算出，，进而得到，，进而求出，即可得到立方根； （3）先估算出，进而得出，，再求出，即可得到平方根． 【详解】（1）解：， ， ， ， 表示数的点P应落在线段上， 故选：B； （2）解：，， ，， 的整数部分为，的小数部分为， ， 的立方根是； （3）解：， ， ，且x是整数，且， ，， ， 的平方根为． 题型四：运用平方根解方程 例题1：计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程． （1）利用平方根的性质解方程即可； （2）整理后，利用平方根的性质解方程即可． 【详解】（1）解：， 整理得， ∴； （2）解：， 整理得， ∴， 解得或． 例题2：解方程： 【答案】 【分析】本题考查了利用平方根的定义解方程，整理方程，利用平方根的定义求解即可． 【详解】解： ，． 练习1： （1）         （2） 【答案】（1）；（2）或； 【分析】本题考查了利用平方根的定义解方程，掌握平方根的定义是解题的关键； （1）先移项，再求出，再根据平方根的定义解方程即可； （2）先移项，再求出，再根据平方根的定义解方程即可； 【详解】解：（1）， ， ， 解得：； （2）， ， ， ， 解得：或； 练习2：求下列各式中的值： (1) (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查的是利用平方根是含义解方程，掌握平方根的含义是解本题的关键； （1）先把方程化为，再解方程即可； （2）直接利用平方根的含义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）， 或 或． 题型五：算术平方根的规律探究问题 例题1：观察数据并寻找规律：，－2，，，，…则第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的规律探索，发现规律是解题关键． 【详解】解：数据为，，，，，…，， ∴第个数是， 故选：D． 例题2：按要求填空： （1）填表并观察规律： 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______． 【答案】（1）见解析；（2）； 【分析】本题考查了数字类规律探究，算术平方根，根据解题过程找出一般规律是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据计算找出规律即可得到答案． 【详解】解：（1），，，， 填表如下： a （2）由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍， ； ， ， ∵， ． 例题3：观察下列各式： ； ； ； …… 请利用你发现的规律，计算，其结果为 . 【答案】 【分析】根据上述规律拆分每个根号，再正负相消即可得出答案． 【详解】解：∵； ； ； …… ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查的是实数的运算，解题关键是根据示例找出规律将式子进行化简． 练习1：观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（    ）． A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与实数规律有关的计算，根据已知等式，得到，进而求出的值，再进行求解即可． 【详解】解：∵，…， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是； 故选D． 练习2：如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图形可知，第n行最后一个数为，据此可得答案． 【详解】解：由图形可知，第n行最后一个数为， ∴第8行最后一个数为＝6， 则第9行从左至右第5个数是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为． 练习3：如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数阵排列，得出第行第个数（从左往右算）为；结合第行第个数与第（是整数，且）行从左向右数第个数相差个位置，据此进行列式计算即可．本题考查了算术平方根．根据数据排列规律，计算前行数据的个数是解决本题的关键． 【详解】解：由图中规律知， 第一行第二个数（从左往右算）为； 第二行第三个数（从左往右算）为； 第三行第四个数（从左往右算）为； 第四行第五个数（从左往右算）为； 以此类推， …… 第行第个数（从左往右算）为； 则 ∴第是整数，且行从左向右数第个数是． 故选：C． 练习4：先填写表，通过观察后再回答问题∶ a … 1 … … x 1 y … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题∶ ①已知，则________； ②已知，若，用含m的式子表示b，则________； (3)试比较与a的大小． 【答案】(1)，； (2)①；②； (3)见解析 【分析】本题考查了求算术平方根及算术平方根的规律： （1）根据算术平方根定义直接求解即可得到答案； （2）①根据表格得到算术平方根的规律被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍求解即可得到答案；②根据表格得到算术平方根的规律被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍求解即可得到答案； （3）分，，，四类讨论即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意得， ，， 故答案为：，； （2）解：由表格及（1）得， 被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍， ①∵， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：当时， ， 当时， ， 当，时， ． 练习5：如图，细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题． ，；，； ，． (1)推算出______；______． (2)请用含（是正整数）的式子填空： ______  ______ (3)求出的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查的是勾股定理、数字的变化规律； （1）根据题意找出规律，根据规律解答即可； （2）根据题意找出规律，根据规律解答即可； （3）根据题意列出算式，根据乘方法则，加法法则计算即可． 【详解】（1）解：依题意，，， 故答案为：，． （2）解：由题意得：，， 故答案为：，； （3） ． 模块二：立方根 立方根定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. Eg： 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 立方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位。例如： 题型一：立方根的理解 例题1：若一个数的平方根是±8，则这个数的立方根是（　　） A． ±2 B．±4 C．2 D．4 【考点】立方根；21：平方根 【解答】解：∵一个数的平方根是±8， ∴这个数为（±8）2=64， 故64的立方根是4． 故选D． 例题2：若n为自然数，对下面判断正确的是（    ） A．一定无意义 B．一定有意义 C．若n为奇数，则必有意义 D．一定成立 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根，平方根定义，解题的关键是熟练掌握定义．根据立方根、平方根定义进行判断即可． 【详解】解：当为偶数，时，有意义， 当为偶数时，必有意义，不一定成立， 故C正确，ABD错误． 故选：C． 练习1：，则的值是（    ） A．8 B．2 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，先根据立方根的定义得出关于a的方程，然后解方程即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴， 故选∶C． 练习2：一个正方体纸盒的体积为，它的棱长大约在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】D 【分析】此题是考查估算无理数的大小在实际生活中的应用，“夹逼法”估算方根的近似值是解题的关键． 可以利用方程先求正方体的棱长，然后再估算棱长的近似值即可解决问题． 【详解】解：设正方体的棱长为， 由题意可知， 解得， ∵， ∴． 故选：D． 练习3：若一个数的立方根与它的算术平方根相同，则这个数是（   ） A．1 B．1或0 C．0 D．或0 【答案】B 【分析】此题主要考查了立方根和算术平方根的概念， 根据立方根和算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：若一个数的立方根与它的算术平方根相同，则这个数是1或0． 故选：B． 练习4：若，，则 ． 【答案】3750 【分析】本题考查被开方数和立方根之间的小数点位数的移动关系．根据被开方数和立方根之间的小数点位数的移动关系，进行计算即可． 【详解】解：∵0.1554，15.54， ∴． 故答案为：3750．: 题型二：立方根性质的运用 例题1：若和互为相反数，则的值 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查立方根的性质，代数式求值，根据相反数及立方根的性质列出方程即可求解．解题的关键是熟知立方根的性质与相反数的定义． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴ ∴， ∴． 故答案为：1． 练习1：若和互为相反数，则 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查立方根的性质，代数式求值，根据相反数及立方根的性质列出方程即可求解．解题的关键是熟知立方根的性质与相反数的定义． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴ ∴， ∴． 故答案为：1． 练习2：一个正数的两个平方根分别是和，且，则 ， ． 【答案】 2 3 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此列式，得出的值，再求出的值，根据立方根的性质得出的值，再代入，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：2，3． 练习3：实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴、算术平方根、立方根的性质等知识点，掌握根据数轴判定代数式的正负是解题的关键；根据数轴可得：，从而得到，再根据算术平方根和立方根的性质求解即可． 【详解】由数轴可得： ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 题型三：平方根与立方根综合 例题1：已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值： (2)求的平方根和立方根． 【答案】(1)，， (2)， 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】（1）根据算术平方根，平方根和立方根的概念分别计算出、、即可； （2）利用（1）的结论直接求值即可． 本题主要考查算术平方根，平方根和立方根的知识，熟练掌握平方根和立方根的知识是解题的关键． 【详解】（1）解： 的算术平方根是1， ， 解得； 的立方根是， ， ； 的平方根是， ， ． （2）解：由（1）知，，，， ， 的平方根是； 的立方根是． 例题2：已知表示9的算术平方根，的立方根是2，d是的小数部分． (1)求a、b、c、d的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算．熟练掌握平方根，立方根的定义，以及无理数的估算方法，是解题的关键． （1）根据平方根，立方根的定义，求出的值，无理数的估算求出c的值； （2）将的值代入代数式，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵表示9的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴的整数部分为3， ∴； （2）解：由（1） ∴， ∴的平方根是． 练习1：已知的平方根是，的立方根是3，求： (1)a和b； (2)的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的综合应用，熟记相关定义即可． （1）平方根是，的立方根是3，即可求解； （2）根据即可求解； 【详解】（1）解： 的平方根是， ， 的立方根是3， ， 将代入，解得； （2）解： ，， ， 的算术平方根是， 的算术平方根是 练习2：已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了根据算术平方根和立方根求原数，求一个数的立方根： （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，可得 ，，解方程即可； （2）根据（1）所求求出的值，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解；∵是49的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴的立方根是． 练习3：已知正数a的两个平方根分别是和，且与相等，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根和立方根，算术平方根，相反数的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义和性质． 根据平方根的性质可得x的值，代入可得a的值；根据立方根的性质和相反数的性质即可求得b，然后代入求解即可． 【详解】解：因为正数a的两个平方根分别是和， 所以 所以 所以 因为与相等 所以 所以 所以． 所以的算术平方根是． 练习4：（1）观察下列各式，并用所得到的规律解决问题： ①，则 ② 发现规律：①被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向________移动________位； ②被开方数的小数点每向左移动三位，其立方根的小数点向________移动________位； （2）应用：①已知________，________； ②已知，则________； （3）拓展：已知，计算和的值． 【答案】（1） ①右，1；②左，1；（2）①1.732，17.32 ；②；（3）， ． 【分析】本题考查算术平方根、立方根及规律探索问题，由题意总结出规律是解此题的关键． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】解：（1）①被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动1位， 故答案为：右，1； ②被开方数的小数点每向左移动三位，其立方根的小数点向左移动1位， 故答案为：左，1； （2）①根据总结的规律可得：，， 故答案为：1.732，17.32； ②根据总结的规律可得：， ， 故答案为：； （3）， ，． 题型四：立方根的实际应用 例题1：如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)正方体铁块的棱长为厘米 (2)长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米 【分析】本题考查立方根和算式平方根的实际应用： （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积公式求出底面正方形的边长即可． 【详解】（1）解：由题意，该正方体铁块的棱长为厘米； 答：正方体铁块的棱长为厘米； （2）由题意，长方体的体积为：立方厘米， ∴长方体的底面面积为：平分厘米， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为厘米． 答：长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米． 练习1：老师布置每名同学做一个正方体盒子，做好后，小明对小强说：“我做的盒子表面积是，你的呢？”小强低头想了一下说：“先不告诉你，我做的盒子比你的盒子体积大，你能算出它的表面积吗？”小明思考了一会儿，顺利地得出了答案，你知道是多少吗？ 【答案】它的表面积是 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，用到的知识点是算术平方根的求法，关键是根据正方体的面积和体积公式解答．根据正方体的表面积，列出算式可求正方体的棱长，进一步得到小强的盒子体积，根据正方体的体积公式得到棱长，再根据长方体的表面积公式即求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 答：它的表面积是． 练习2：如图1所示的正方形铁板是由两张大小相同的长方形铁板拼接而成的，已知一个长方形铁板的面积为72平方厘米． (1)求正方形铁板的边长； (2)若将该正方形铁板进行裁剪，然后拼成一个体积为64立方厘米的无盖正方体容器，求剩余的铁板面积； (3)若工人把这个正方形铁板加工成如图2的零件，，，测得，请直接写出这个零件的周长． 【答案】(1)12厘米 (2)64平方厘米 (3)58.8厘米 【分析】（1）根据正方形的面积公式进行解答； （2）由正方体的体积公式求得正方体的棱长，然后由正方形的面积公式进行解答； （3）利用平行线的性质及平移的性质，找到即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：厘米， 答：正方形纸板的边长为12厘米； （2）解：依题意得：厘米， 则剪切纸板的面积平方厘米， 剩余纸板的面积平方厘米， 即剩余的正方形纸板的面积为64平方厘米． （3）解：由图及条件可知：， 故零件的周长为： 题型五：与平方根立方根有关的新定义问题 例题1：喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：，，这三个数，，，，其结果分别为，，，都是整数，所以，，这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是，“最大算术平方根”是． (1)试说明：，，这三个数是“老根数”，并求出它们的最小算术平方根与最大算术平方根； (2)已知，，，这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的倍，求的值． 【答案】(1)理由见解析，最小算术平方根是，最大算术平方根是 (2)或 【分析】本题考查算术平方根，理解“老根数”、“最小算术平方根”、“最大算术平方根”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个数乘积的算术平方根”是解决问题的关键． （1）根据“老根数”“最小算术平方根”“最大算术平方根”的意义求解即可； （2）分三种情况进行解答即可，即，，，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，这三个数是“老根数”；其中最小算术平方根是，最大算术平方根是； （2）当时， ∵，，，这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， ∴， 解得：； 当时， 依题意，得：， ∴， ∴， 解得：，不合题意舍去； 当时， 依题意，得：， ∴， 解得：， 综上所述，的值为或． 练习1：定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由； (2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值； (3)写出一组含有的“组合平方数” ． 【答案】(1)，，这三个数是“组合平方数” (2) (3)，，（答案不唯一） 【分析】（1）根据题目所给“组合平方数”的定义，进行判断即可； （2）根据题目所给“组合平方数”的定义，得出或，再根据，m，互不相等，即可求解； （3）根据题目所给“组合平方数”的定义， 符合条件的数即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，这三个数是“组合平方数”； （2）解：∵三个数，m，是“组合平方数”， ∴，，都是整数， ∴或， ①当时，， 则，符合题意； ②当时，， ∵，m，互不相等， ∴不符合题意， 综上：； （3）解：，，， ∵，，， ∴，，是“组合平方数”． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，正确理解“组合平方数”的意义是解题的关键． 练习2： 【问题提出】 对于任意实数，定义一种新运算，例如：． 【初步感知】 （1）求的值； 【拓展运用】 （2）若实数满足，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，立方根的应用． （1）运用运算公式，计算即可； （2）利用公式，列出方程，求解方程即可． 【详解】解：（1）根据题意得： ； （2）根据题意得：，即， 整理得：， ， ， ． 练习3：阅读下面材料： 材料一：对任意的实数，，定义的含义为：①当时，；②当时，．例如：，； 材料二：200多年前，数学王子高斯的老师布特纳在课堂上布置了这样一道题：“求的和．”当其他同学忙于把100个数逐项相加时，八岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：．我们通过高斯的计算思路得到这样一个结论：我们把中的第一个加数1称为首项，最后一个加数100称为末项，这100个加数称为项数，称为这些加数的和．对于满足这种规律加数的求和，得出一般性地结论：． 解决问题： (1)______，_______； (2)直接利用上述求和结论求的值； (3)对于正数，满足关系式时，求的值； (4)在（3）的条件下，求的值． 【答案】(1)10，40 (2)666 (3) (4)610 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，理解材料一和材料二的计算方法是解答本题的关键． （1）根据新定义计算即可； （2）根据计算即可； （3）先判断，然后根据新定义求解即可； （4）把代入所给算式，再根据材料一和材料二求值即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：10，40； （2） （3）∵x是正数， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴（负值舍去） （4）当时， 原式 模块三：实数 （1）实数的分类： ①按正负分类 ②按概念分类 注意： ① 有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分数形式：）、1.333333…（分数形式：）等）. ② 无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.(例如：π). ③ 带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. ④ 对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0. （2）实数与数轴上的点一一对应： 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. （3） 实数大小的比较： 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. （4） 实数的运算： 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且 正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算 法则及运算性质等同样适用. 题型一：实数的分类 例题1：下列说法正确的是（   ） A．无限小数都是无理数 B．带根号的数都是无理数 C．两个无理数的和还是无理数 D．无理数是无限不循环小数 【答案】D 【分析】本题考查了无理数，掌握无理数定义是关键．根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：A．无理数是无限不循环小数，故A错误； B．如是有理数，故B错误； C．如是有理数，故C错误； D．无理数是无限不循环小数，故D正确． 故选：D． 例题2：，，π，中，有理数的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了实数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数与无理数的定义． 根据有理数和无理数的定义进行判断即可得． 【详解】解：，， 根据题意可得有理数有，，，为无理数， 所以有理数有3个， 故选：C． 例题3：把下列各数的序号填在相应的大括号中： ①；②；③：④，⑤；⑥（两个1之间的0逐次增加）；⑦； (1)整数集合{ } (2)分数集合合{ } (3)有理数集合{ } (4)无理数集合{ } 【答案】(1)①⑦ (2)② (3)①②⑦ (4)③④⑤⑥ 【分析】(1)根据整数包括正整数，0，负整数，选择填写即可． (2)根据分数的定义，选择填写即可． (3)根据整数和分数统称有理数，选择填写即可． (4)根据无限不循环小数是无理数，选择填写即可． 本题考查了有理数的分类，整数，无理数，熟练掌握分类标准，定义，准确分类是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 故整数集合：{①⑦}． （2）解：根据题意，得分数集合：{②}． （3）解：根据题意，得有理数集合：{①②⑦}． （4）解：根据题意，无理数是：，；⑥， 故无理数集合{③④⑤⑥}． 练习1:在中，无理数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，初中范围内学习的无理数有：；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．熟练掌握和运用无理数的定义是解决本题的关键． 根据无理数的定义，即无限不循环小数或开方开不尽的数为无理数，即可解答． 【详解】解：， 无理数有：，有3个， 故选：B． 练习2：下列各数：，3.141592，，0.16，，，3.010010001…（相邻两个 1 之间 0  的个数逐次加 1），是无理数的有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，无理数就是无限不循环小数．初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0）． 【详解】解：，3.141592， 0.16，是有理数； ，，，3.010010001…（相邻两个 1 之间 0  的个数逐次加 1），是无理数； ∴无理数一共有4个， 故选：B． 练习3：把下列各数的序号分别填入相应的集合内： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩． (1)整数集合：{        }： (2)分数集合：{        }， (3)无理数集合：{        }． 【答案】(1)③④⑥ (2)①⑨⑩ (3)②⑤⑦⑧ 【分析】本题考查了无理数、有理数、实数的分类．熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关键． （1）根据整数的定义作答即可； （2）根据分数的定义作答即可； （3）根据无理数的定义作答即可． 【详解】（1）①是分数，②是无理数，③是整数，④0是整数，⑤是无理数，⑥是整数，⑦是无理数，⑧（相邻的两个3之间依次多1个0）是无理数，⑨是分数，⑩是分数． 整数集合：{③④⑥}： 故答案为：③④⑥． （2）分数集合：{①⑨⑩}， 故答案为：①⑨⑩． （3）无理数集合：{②⑤⑦⑧}． 故答案为：②⑤⑦⑧． 题型二：实数的性质与数轴 例题1：实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C．b D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，先根据数轴得到，则，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：B． 例题2:如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，正方形是面积公式是解题的关键． 先求出张方形的边长，再根据向右动就用加法计算求解． 【详解】解：正方形的边长为：， ∴点所表示的数为：， 故选：A． 例题3：根据推理提示，回答下列问题：    即    的整数部分为1，小数部分为 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)如图所示，在数轴上点A 所表示的实数是 ． 【答案】(1)2， (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，勾股定理，实数与数轴等知识． （1）根据所给的例子估计无理数的整数和小数部分即可． （2）先根据勾股定理求出圆的半径，再利用数轴上两点之间的距离即可得出A 所表示的实数． 【详解】（1）解：∵，即 ∴的整数部分是2，小数部分是． （2）解：根据题意圆的半径为：， ∴点A所表示的数为：． 练习1：如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．先根据勾股定理求出的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点A表示的数即可． 【详解】解：设点A表示的数是a， ∵正方形的边长为1， ， 即， ∴， 故点A表示 故答案为： 练习2：如图所示，数轴的正半轴上有，，三点，表示，的对应点分别为点，，点到点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的数为，则的算术平方根为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了数轴与实数的对应关系，数轴上两点之间距离的计算，算术平方根的计算，根据点到点的距离为可得点表示的数为，代入计算，即可求解． 【详解】解：∵点到点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的数为， ∴， ∴， ∴的算术平方根为， 故答案为： ． 练习3：如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：． 【答案】b 【分析】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，平方根，立方根的求解，化简绝对值，直接利用数轴得出，再化简求解． 【详解】解：由数轴可得：， 原式． 练习4：如图所示： (1)在数轴上点A表示的实数是____________； (2)点表示的数的小数部分为____________； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据勾股定理得出圆的半径，根据圆心在原点，为半径，A在负半轴，即可表示出点A表示的实数； （2）首先表示出点B表示的实数，然后得出整数部分，用这个数减去整数部分即可解答； （3）通过作差法比较即可． 【详解】（1）解：如图所示： ， ， 点A表示的实数是， 故答案为：； （2）解：，点B在正半轴， 点B表示的实数为， ∴， ∴整数部分为2， ∴小数部分为； 故答案为：； （3）解：，理由如下： ， 由（2）得，即， ∴， ∴． 题型三：实数的大小比较 例题1：比较大小： 4； 1（填“”或“”） 【答案】 < < 【分析】此题考查的是实数的比较大小，掌握利用平方法比较大小是解题关键． 根据无理数的估算求解即可． 【详解】解：∵ ∴； ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：，． 例题2：比较大小 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，估算出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 练习1：写出一个比大且比小的整数 ． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查估算无理数的大小．熟练掌握用有理数逼近无理数的方法是解题关键． 利用估算无理数大小的逼近方法，求出和的范围，即可求解． 【详解】∵，， ∴，． ∴比大且比小的整数有5、6． ∴可取5． 故答案为：5． 练习2：比较大小： ．（用“”、“”或“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，估算，的大小，进而比较，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：． 练习3：若，，，则的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】 本题考查了二次根式的化简及估算，绝对值，比较实数大小，先对题目中的二次根式化简，比较大小即可． 【详解】解：由题可得： ，，， ， ， 故答案为：． 练习4：课堂上，老师出了一道题：比较与的大小 小明的解法如下： 解： 因为，所以 所以，所以 所以 我们把这种比较大小的方法称为作差法，请仿照上述方法，比较和的大小 【答案】 【分析】本题考查了作差比较大小，掌握作差的方法是解题的关键．直接作差，再通分计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型四：实数的混合运算 例题1：计算： (1) (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，立方根，准确熟练地化简各式是解题的关键． （1）首先计算开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可； （2）首先计算开平方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 练习1：（1）计算： （2）； 【答案】（1）3（2）3 【分析】本题主要考查了实数的混合运算． （1）先计算平方，求算术平方根，立方根，求绝对值，然后再行进加减运算即可． （2）先计算平方，求算术平方根，立方根，求绝对值，然后再行进加减运算即可． 【详解】解：（1） （2） 练习2：计算：(1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及算术平方根、平方根、立方根以及乘方，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先化简算术平方根、立方根，再计算加减法即可； （2）先化简算术平方根、立方根以及乘方，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 练习3：计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算绝对值、立方根、算术平方根，再计算加减即可； （2）先计算乘方、绝对值、立方根、算术平方根，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 练习4：计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查实数的运算，熟知开立方，求算术平方根及实数的运算法则是正确解决本题的关键． （1）先开立方、求算术平方根及绝对值再合并即可； （2）先求算术平方根及绝对值再合并即可． 【详解】（1）解：原式. （2）解：原式. 题型五: 程序设计与实数运算 例题1：如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 【答案】(1) (2)0和1 (3)5 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断， （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）先得出输入的，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取6算术平方根，是无理数， 所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）∵输出的， ∴， ∴输入的， 当时，5的算术平方根是，是无理数， 所以输出的y值为， ∴x的最小整数值是． 练习1: 如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求y的值，并写出详细过程． 【答案】，见详解 【分析】本题主要考查了有理数和无理数的分类、实数的运算以及流程图，掌握有理数和无理数的分类以及读懂流程图是解答本题的关键． 【详解】解：把代入数值转换器，第一次计算可得，为有理数，进行第二次计算， 把代入数值转换器，第二次计算可得，为无理数， 则输出． 练习2：有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 【答案】(1)当时，；当时，；当时， (2)3或9 【分析】（1）将，4，分别代入，计算求解即可； （2）由题意知，分当是无理数的相反数时，当是有理数的负平方根时，两种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：当时，其算术平方根为，是无理数，故； 当时，其算术平方根为2，是有理数，故； 当时，其算术平方根为4，是有理数，故； （2）解：当是无理数的相反数时，则的算术平方根是， ∴， 当是有理数的负平方根时，则的算术平方根的负平方根是， ∴， 综上所述，的值为3或9． 【点睛】本题考查了相反数，算术平方根，平方根．熟练掌握相反数，算术平方根，平方根的概念是解题的关键． 练习3：一个数值转换器，如图所示：    (1)当输入的为时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的是，请求出两个满足要求的值． 【答案】(1) (2)或，理由见解析 (3)5或 【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案； （3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，的算术平方根为， 而是有理数，的算术平方根为， 而是有理数，的算术平方根为， 故答案为：； （2）或，理由如下： 因为的算术平方根是，的算术平方根是， 无论进行多少次运算都不可能是无理数； （3）若次运算就是无理数，则输入的数为， 若次运算输出的数是无理数，则输入的数是， ∴满足要求的值可以是：5或． 【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． 巩固练习： 1．的平方根是（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：， ∵9的平方根为， ∴的平方根是， 故选：A． 2．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为16时，输出的y是（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】把代入数值转换器中计算确定出即可．此题考查算术平方根、无理数，弄清数值转换器中的运算是解本题的关键． 【详解】解：由题中所给的程序可知：把16取算术平方根，结果为4， ∵4是有理数， ∴把4取算术平方根，结果为2， ∵2是有理数， ∴把2取算术平方根，结果为， ∵结果为无理数， ∴． 故选：D． 3．如图，边长为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上，(点在点的右侧)且，则点所表示的数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数与数轴．根据题意得到，根据实数与数轴的概念即可求解． 【详解】解：，， ， 点表示的数为，且点在点的右侧， 点所表示的数为． 故选：B． 4．设，下列关于的四种说法中，错误的是（   ） A．是无理数 B． C．是的算术平方根 D．的值不能在数轴表示 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数中无理数的概念，算术平方根的概念，实数与数轴的关系，估算无理数大小，有一定的综合性． 根据无理数的定义判断A；根据实数与数轴的关系判断B；利用算术平方根的定义判断C；根据实数与数轴的关系判断D． 【详解】A．是无理数，说法正确，不合题意； B．，，，说法正确，不合题意； C．是的算术平方根，说法正确，不合题意； D．可以用数轴上的一个点来表示，说法错误，符合题意； 故选：D． 5．一个正数的两个平方根分别为与，则的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义列出关于的方程，求出的值即可，熟知一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为与， ∴， 解得：， 故选：C． 6．实数，，，，（相邻两个之间1的个数依次加），其中无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】是有理数，不符合题意； 是分数，属于有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 是无理数，符合题意； （相邻两个之间1的个数依次加）是无理数，符合题意； ∴无理数有个， 故选：． 7．实数1，0，，中，最大的数是（　　） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，实数大小比较，将化为，化为2是正确解答的关键， 根据绝对值的定义将化为，根据二次根式的性质将化为2，最后根据实数大小比较的方法进行比较即可得出答案． 【详解】解：，， ， 即最大， 故选：C． 8．如图，长方形中，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为(   ) A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，实数与数轴；首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据点表示，可得点表示的数． 【详解】解：，， 点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点， 点表示， 点表示的数为： 故选：A． 9．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根，根据立方根、平方根和算术平方根的定义，进行计算即可解答，掌握算术平方根、平方根以及立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 故选：． 10．比较大小 （填“”，“”，“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据，即可得到． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 11．有一个数值转换器，原理如下：    当输入的时，输出的y等于 ． 【答案】 【分析】本题考查流程图计算，涉及算术平方根、立方根，有理数与无理数的定义．根据流程图，结合算术平方根运算，立方根运算，由无理数与有理数定义进行判断即可得到答案． 【详解】解：当输入的时，则取立方根为：， 4是有理数，取算术平方根为：， 2取立方根为：， 是无理数， 即， 故答案为：． 12．若，，则 ． 【答案】17.32 【分析】本题考查了算术平方根，利用被开方数与算术平方根的关系是解题关键．根据被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案． 【详解】解：若，，则， 故答案为：17.32 13．若，为两个连续的正整数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，估算，即可求解． 【详解】解：∵，，． ∴，． ∴． 故答案为：． 14．已知a是的小数部分，b是的小数部分，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】先利用夹逼法估算、的取值范围，即可求出、的值，再计算的值，最后求出平方根即可．本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握利用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 的整数部分是12，小数部分是， 即， ， ， ， ， 的整数部分是5，小数部分是， 即， ， 的平方根是， 的平方根是， 故答案为：． 15．实数a，b的位置如图，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求算术平方根，先根据数轴推出，再化简绝对值和计算算术平方根后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如果和互为相反数，那么的平方根是 ． 【答案】； 【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据非负式子和为0，它们分别等于0直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵，，且和互为相反数， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根是：， 故答案为：． 17．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据立方根定义，二次根式混合运算法则，分母有理化方法，进行解答即可． 【详解】解： ． 18．计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，根据去括号法则，绝对值的代数意义，立方根和算术平方根将原式化简，再进行加减运算即可．掌握相应的运算法则和性质是解题的关键． 【详解】解： ． 19．已知：一个正数的两个平方根分别是和 (1)求的值； (2)求的立方根 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，平方根的概念： （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，解方程即可得到答案； （2）根据平方根的概念和（1）所求求出，则，据此根据立方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵8的立方根是2， ∴的立方根是2． 20．综合探究∶表示无理数整数部分与小数部分的思路： 的整数部分为2，小数部分为 根据观察上述的规律后试解下面的问题： (1)的整数部分为 ，小数部分为 ： (2)已知 其中a是 是整数部分，b是 小数部分．求 的平方根： (3)已知 的小数部分为m， 的小数部分为n，求关于x的不等式组 的解集． 【答案】(1)3， (2) (3) 【分析】本题考查估算无理数的大小，平方根及解不等式组，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定、的值，再求 的平方根即可； （3）根据算术平方根的定义估算无理数及的大小，确定、的值，再求 不等式组的解集即可． 【详解】（1）， ， 的整数部分为3，小数部分为， 故答案为：3，； （2）， ， 的整数部分为15，小数部分为， 即， ， 的平方根是； （3）， ， ，， 的小数部分为，的小数部分为， 即， 化为， 解不等式得：， 解不等式得：， 此不等式组的解集为， $$