精品解析：吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县蒙古族中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题

高三年级期末考试试题 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合，常用逻辑用语，基本不等式，函数的概念与基本初等函数，一元函数的导数及其应用，三角函数，解三角形，平面向量，复数，数列. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若复数是纯虚数，则的值为（ ） A. B. C. 或1 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用纯虚数的定义列式求解. 【详解】由复数是纯虚数，得，解得. 故选：B. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断在集合中，满足的元素即可求得交集. 【详解】在集合中，满足的有，2，3， 故. 故选：D. 3. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 88 B. 114 C. 132 D. 144 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设条件可求得的值，从而可得的值. 【详解】根据等差数列的下标和性质，， 解得，所以. 故选：A. 4. 若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】问题转化为当时，恒成立，利用二次函数的性质，求出在上的最大值，解不等式求实数的取值范围即可. 【详解】因为为假命题，所以为真命题， 即当时，恒成立. 因为函数图象的对称轴为， 所以当时，，所以， 即，解得或， 即实数的取值范围为. 故选：D. 5. 设是等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 48 B. 84 C. 90 D. 112 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质可知，，，成等比数列，计算可求得. 【详解】因为是等比数列的前项和，因为，所以公比， 所以，，，成等比数列， 又，，所以，， 所以. 故选：C. 6. 已知，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的单调性确定，再根据复合函数的单调性即可求出的值域，即得答案. 【详解】令，则， 因为在上单调递增，且， 所以，又单调递减，且， 所以，即的值域是. 故选：C. 7. 国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ） A. 3.8小时 B. 4小时 C. 4.4小时 D. 5小时 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，再令，解出可得，即可得解. 【详解】由题意可知，即有， 令，则有，解得， ，故还需要4小时才能消除至最初的. 故选：B. 8. 设向量的夹角为，定义：.若平面内互不相等的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，则，由题意中，，，外接圆的半径为1，设，由正弦定理可得，，，则，利用三角恒等变换整理化简后再由三角函数的性质求解即可. 【详解】设，，则， 因为，与的夹角为， 所以中，，，如图所示， 由正弦定理可得外接圆的半径为1， 则为圆上与不重合的动点. 设（）， 由正弦定理可得，，， 则 ， 所以当，即时，取得最大值，且最大值为， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数（）的最小正周期为，则（ ） A. B. 直线是图象的一条对称轴 C. D. 函数图象的对称中心为（） 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数周期求解判断A，根据余弦型函数的对称性判断B，根据余弦型函数的单调性判断C，根据对称中心结论求解判断D. 【详解】由题意可知，解得，故A错误； 由上得， 令，，解得，， 当时，直线是图象的一条对称轴，故B正确； 当时，， 因为函数在上单调递减， 易得在上单调递减，且， 所以，故C正确； 令，，解得，， 所以的对称中心为（），故D错误. 故选：BC. 10. 已知实数，，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据指数函数以及幂函数单调性可判断A错误，B正确，自由对数函数单调性可得C正确，取特殊值可判断D错误. 【详解】对于A，因为，所以指数函数在上为减函数， 所以，即，故A错误； 对于B，因为幂函数在上为增函数，所以，即，故B正确； 对于C，因为，所以，，所以，故C正确； 对于D，取，，可得，，不满足，故D错误． 故选：BC． 11. 已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等差数列 C. 数列是等差数列 D. 数列的前100项的和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用递推公式求得可判断A；当（）时，可得，可判断B；求得，当（）时，求得，进而计算可判断C；，可得，可求数列的前100项的和. 【详解】因为，所以， ，，故A正确； 当（）时，， ，两式相减得，， 所以的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，故B正确； 当（）时，. 当（）时，， ，两式相减得，， 所以的偶数项是以5为首项，为公差的等差数列， 所以当时，. 综上，. 因为，所以不是等差数列，故C错误； ， 所以， 所以 ， 所以数列的前100项的和为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：裂项相消法是数列求和的一种常见方法，熟练掌握裂项公式是基础. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正数满足，则的最小值为______. 【答案】12 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为12. 故答案为：12. 13. 在中，已知，为线段的中点，若，则______. 【答案】10 【解析】 【分析】根据题中条件，结合平面向量基本定理，直接表示出，即可求出，进而可求出结果. 【详解】由，得，又为线段的中点， 所以， 即，， 所以. 故答案为：. 14. 若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】函数恰有两个零点，等价于有两个实数根，设，，利用导数研究函数单调性，作出函数图象通过数形结合求解. 【详解】令，得， 即，令，， 所以函数恰有2个零点等价于函数的图象与的图象有两个交点. ，令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且时，时， 所以的图象如图所示， 设是经过点的的图象的切线，切点为， 则切线斜率为， 所以的方程为， 又经过点，所以， 即，解得或， 或， 所以由图可知，当或， 即或时，函数的图象与的图象有两个交点， 即函数恰有2个零点， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将函数恰有2个零点转化为函数的图象与的图象有两个交点，数形结合求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求边的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合三角变换公式可得，故可求的值. （2）根据面积可求，再根据余弦定理可求. 【小问1详解】 由正弦定理与，得. 所以即. 因为，所以，又，所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，即，解得. 由余弦定理，得，所以. 16. 已知为锐角，. （1）求的值； （2）若，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的商数关系求解即可； （2）根据和正弦的两角差公式求解即可. 【小问1详解】 因为为锐角，，从而， 所以. 【小问2详解】 由及，，解得，， 又，所以， 所以， 所以 ， 因为，所以. 17. 已知各项都为正数的数列满足，，且（，），等差数列满足，. （1）求和的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列和等差数列的性质求解通项公式即可. （2）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 因为数列的各项都为正数， 且（，）， 所以数列是等比数列，设等比数列的公比为（）， 由，，得， 即，解得或（舍）， 所以. 设等差数列的公差为， 由题意得，解得 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以， 所以 ， 所以. 18. 已知函数与分别是定义在上的奇函数和偶函数，且. （1）求函数与的解析式； （2）若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）借助奇函数与偶函数的性质，代入计算可求函数的解析式； （2）因为函数在上单调递增，当，可得，利用导数求得的最大值即可. 【小问1详解】 由题意可知，，① ，② ①－②，得，所以， ①＋②，得，所以. 【小问2详解】 若，恒成立， 则恒成立， 因为函数在上是奇函数， 所以， 即对恒成立. 因为，所以函数在上是增函数， 所以对恒成立， 当时，，， 所以成立. 当时，， 所以对恒成立. 令，，则， 令，，则， 当时，，， 所以，在上单调递减， 故. 所以，在上单调递增，故. 所以由对恒成立，得， 综上所述，实数的取值范围是. 19. 已知曲线在点处的切线交轴于点，曲线在点处的切线交轴于点，依此类推，曲线在点（）处的切线交轴于点，其中数列称为函数关于的“切线数列”. （1）若，是函数关于的“切线数列”，求的值； （2）若，是函数关于的“切线数列”，记，求数列的通项公式； （3）若（），是否存在（），使得函数关于的“切线数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由如下： 由，得， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，则，即， 由，得（）， 设，则. 已知，由，得，所以（）. 函数的定义域为，， 所以函数在上单调递增， ①当（，）时， ， ， 所以数列在时单调递减，故数列不是周期数列； ②当（，）时， ， ， 所以数列在时单调递增，故数列不是周期数列. 综上所述，当时，不存在（）， 使得关于的“切线数列”为周期数列. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得到的值，结合导数的几何意义，求得切线方程，进而求得的值； （2）根据题意，利用导数的几何意义求得切线方程为，令，得到，结合，证得，进而得到，结合等比数列的通项公式，即可求解； （3）根据题意，利用导数的几何意义，求得切线方程为，得到，设，利用导数求得函数在上单调递增，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 由，得， 因为，所以，， 所以曲线在处的切线方程为， 即. 令，得，即. 【小问2详解】 由，得， 所以，， 所以曲线在处的切线方程为， 即. 令，得，即. 因为，所以，， 即，所以（）， 所以 ， 又，所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，利用函数的基本性质，以及导数求得函数的单调性与最值，同时在解决问题时要注意这一特殊性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级期末考试试题 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合，常用逻辑用语，基本不等式，函数的概念与基本初等函数，一元函数的导数及其应用，三角函数，解三角形，平面向量，复数，数列. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若复数是纯虚数，则的值为（ ） A. B. C. 或1 D. 或 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 88 B. 114 C. 132 D. 144 4. 若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 设是等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 48 B. 84 C. 90 D. 112 6. 已知，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 7. 国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ） A. 3.8小时 B. 4小时 C. 4.4小时 D. 5小时 8. 设向量的夹角为，定义：.若平面内互不相等的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数（）的最小正周期为，则（ ） A. B. 直线是图象的一条对称轴 C. D. 函数图象的对称中心为（） 10. 已知实数，，满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等差数列 C. 数列是等差数列 D. 数列的前100项的和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正数满足，则的最小值为______. 13. 在中，已知，为线段的中点，若，则______. 14. 若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求边的大小. 16. 已知为锐角，. （1）求的值； （2）若，且，求的值. 17. 已知各项都为正数的数列满足，，且（，），等差数列满足，. （1）求和的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 已知函数与分别是定义在上的奇函数和偶函数，且. （1）求函数与的解析式； （2）若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知曲线在点处的切线交轴于点，曲线在点处的切线交轴于点，依此类推，曲线在点（）处的切线交轴于点，其中数列称为函数关于的“切线数列”. （1）若，是函数关于的“切线数列”，求的值； （2）若，是函数关于的“切线数列”，记，求数列的通项公式； （3）若（），是否存在（），使得函数关于的“切线数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $