湖北省公安县第三中学2024-2025学年高一上学期数学周考（7）

公安三中2024级高一上学期数学周考（7） 命题：刘军 审题：邹旺 考试时间：2025年1月14日上午10:00~12:00 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．2025°是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知点是角终边上的一点，且，则的值为（     ） A． B． C．1 D． 4．已知，，且，则的最大值是(　  　) A． B． C． D． 5．知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．声强级Li（单位：dB）与声强I（单位：）之间的关系是： ，其中I0指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[60，70]（单位：dB）．下列选项中错误的是（　　） A．闻阈的声强级为0dB B．此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：） C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍 D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍 7．已知是奇函数，是偶函数，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在的奇函数满足①；②，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分。） 9．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 10．已知，则（   ） A． B． C． D． 11．已知函数的图象过原点，且无限接近直线y＝2但又不与y＝2相交．函数．下列关于函数的判断正确的有（    ） A．函数是偶函数 B．函数在单调递减 C．函数的最大值为2 D．方程恰有两根 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．函数的单调递增区间为 . 13．，恒成立，则实数的取值范围是 . 14．设常数，函数.若方程有三个不相等的实数根，，，且，则的取值范围为 ，的取值范围为 . 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（13分）求值：（1）； （2）已知，求的值. 16．（15分）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求，的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 17．（15分）已知函数，其反函数为. (1)求不等式的解集； (2)求函数，的最小值. 18．（17分）已知函数的定义域为，对任意的，，都有.当时，. (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)若，求不等式的解集. 19．（17分）我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有的同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)由上述信息，若的图象关于点成中心对称图形，证明：； (2)已知函数，写出图象的对称中心，并求的值. (3)若函数具有以下性质： ①定义域为， ②在其定义域内单调递增， ③，都有. 函数，求使不等式成立的实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D A B C A A ABD BD 题号 11 答案 ABC 1．C 【分析】根据终边相同的角判断象限角. 【详解】因为，终边在第三象限， 所以是第三象限角. 故选：C. 2．B 【分析】通过解一元二次不等式以及对数型函数的定义域求出集合和，再求交集即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：B. 3．D 【分析】由三角函数的定义求解即可. 【详解】由点是角终边上的一点， 所以，所以， 故选：D 4．A 【分析】根据题中条件，结合基本不等式，即可得出结果. 【详解】因为，，所以，； 又，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：A 【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，熟记基本不等式即可，属于基础题型. 5．B 【分析】先保证每段函数都是增函数，再考虑断点处函数值的关系，解不等式组即可. 【详解】若满足题意，则要为增函数，则： ① 若保证单调递增，则： ② 若要保证该函数在R上单调递增，则在断点处： ③ 由①②③解得：. 故选：B. 6．C 【分析】根据题中所给声强级与声强之间的关系式，结合对数的运算以及函数的性质逐一分析四个选项，即可得到答案. 【详解】因为， 当时，Li=120，代入公式可得， 对于A，当I=I0时，，故选项A正确； 对于B，，即， 所以，解得，故选项B正确； 对于C，当I变为2I时，代入， 故选项C错误； 对于D，设声强变为原来的k倍， 则，解得k=10，故选项D正确． 故选：C． 7．A 【分析】由函数的奇偶性求出，再利用函数的单调性解抽象函数不等式即可； 【详解】因为①，且是奇函数，是偶函数， 则，即②， 由①②可得， 因为函数、均为上的增函数，所以，函数为上的增函数， 由，可得，解得. 因此，不等式的解集是. 故选：A. 8．A 【分析】利用函数单调性与奇偶性的判定分析得在上单调递减，且为偶函数，从而将问题转化为，利用的单调性和奇偶性得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为，且， 不妨设，则， 所以，即， 令，则，故在上单调递减， 因为为定义在上的奇函数，所以， 故定义域为，且， 则为偶函数， 因为，所以， 所以由，得，即， 所以，则，解得或. 故选：A 9．ABD 【分析】由题意可知，故A正确；由韦达定理可知，，结合即可求解不等式，从而验证B；由B选项分析可知，故C错误；由B选项分析可知不等式等价于，解不等式即可验证D. 【详解】因为关于的不等式的解集为或， 所以，故A正确； 由题意，方程的根为，4， 则，， 所以，，所以，故C错误； 不等式，等价于，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 不等式等价于， 即为，解得或， 所以不等式的解集为或，故D正确. 故选：ABD. 10．BD 【分析】根据条件可得，利用同角三角函数的基本关系及诱导公式逐项判断可确定正确选项. 【详解】因为，所以. ，选项A错误. ，选项B正确. ，选项C错误. ，选项D正确. 故选：ABD. 11．ABC 【分析】首先根据函数性质确定函数的解析式，再画出函数的解析式，结合选项，即可判断. 【详解】由条件可知，，当趋向正无穷时，趋向b，所以， 则，即， 令，即，得， 如图，画出函数的图象，    函数是偶函数，在区间单调递减，当时，函数取得最大值2， ，无实数根，故ABC正确，D错误. 故选：ABC 12． 【分析】由已知中函数的解析式，先确定函数的定义域，进而根据二次函数和对数函数的性质，分别判断内，外函数的单调性，进而根据复合函数“同增异减”的原则，得到答案． 【详解】函数的定义域为,, 令，则 为减函数 的单调递减区间是，单调递增区间是 故函数的单调递增区间是 故答案为：． 13． 【分析】将恒成立问题转化为求最小值问题，利用基本不等式求出，从而得到，求解即可. 【详解】因为，恒成立，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14． 【分析】首先画出函数的图象，利用与有3个交点，求的取值范围；对数方程去绝对值，得的值，再利用数形结合求的取值范围，即可求解. 【详解】画出函数的图象，与直线有三个交点， 所以实数的取值范围是：， 令，得， 所以.由图可知，，，， 由，得，，，    故答案为：；. 15．（1）0；（2）. 【分析】（1）由根式与指数式的互化、指数幂和对数的运算性质即可求解； （2）先由诱导公式化简，接着由齐次式弦化切即可计算求解. 【详解】（1）原式. （2）因为， 所以. 16．(1)， (2) 【分析】（1）利用奇函数定义，在中的运用特殊值求，的值； （2）首先确定函数的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式转化为关于的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出的取值范围． 【详解】（1）因为是上的奇函数， 所以，即，解得，从而有， 又由，知，解得， 经检验，当时，，满足题意； （2）由（1）知， 任取，，且，则 因为，所以，所以，即， 所以在R上为减函数，又因为为上为奇函数， 所以由得， 所以，得恒成立， 所以，所以，所以的取值范围为. 17．(1) (2) 【分析】（1）因式分解，由，即可求解； （2）由反函数得到，再换元，得到含参二次函数，分类讨论即可； 【详解】（1），所以，所以 所以，即不等式的解集为 （2）由题意得，所以，. 令，，设，， 当时，在上单调递增，， 即最小值为； 当时，在上单调递减， 在上单调递增，， 即最小值为； 当时，在上单调递减，， 即最小值为. 所以 18．(1)，证明见解析 (2)单调递减，证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）令代入可得的值，令，可得结合已知，即可判断其符号. （2）运用单调性定义证明，令，可得，判断其符号即可. （3）令，可得，进而转化为，结合单调性转化为，分别讨论、、解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为，，都有， 所以令，得，则， 证明：因为时，， 所以当时，，则， 令，，得， 所以. （2）在上单调递减，证明如下： 不妨设，则，， 令，，则， 所以， 即，所以在上单调递减； （3）因为，令，，则， 由，得，即， 由（2）知在上单调递减， 所以，所以， 即，则该不等式对应方程的实数根为和. 当时，，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 综上：当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 19．(1)证明见解析 (2)， (3) 【分析】（1）设，根据，然后换元，即可证明结论； （2）根据为奇函数，求出，，然后发现规律，即可求解； （3）根据，得到，然后将代入并整理得到，根据单调性列不等式组，求解的取值范围即可. 【详解】（1）设， 由已知得，即， 设，所以， 所以，即； （2）因为， 所以 ， 因为为奇函数，所以， 所以， 解得， 所以图象的对称中心为， 所以， 即，，， ， 所以 ； （3）因为，， 所以， 因为，都有，所以， 所以， 整理得，即， 因为函数的定义域为， 所以的定义域为， 因为在内单调递增，所以在内单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：对称性的常用结论如下： （1）若函数满足或或，则的一条对称轴为； （2）若函数满足或或，则的一个对称中心为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$