精品解析：福建省南安第一中学2024-2025学年高三上学期第一次阶段考试数学试题

南安一中2024-2025学年度上学期高三年第一次阶段考数学科试卷 2024.10.4 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 记复数的共轭复数为，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算求得，再由可得. 【详解】由得， 所以， 故选：C. 2. 对于实数，“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac＞bc”必须有c＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 考点：不等式的性质 点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件． 3. 已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔与灯塔的距离为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理求得正确的. 【详解】依题意， 所以. 故选：D 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用二倍角公式化简求出，再利用二倍角变形即可求得. 【详解】 ， 故选：D 5. 设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先由题中条件，结合余弦定理求出，再由是角平分线，利用求出，根据基本不等式求出最小值，再计算向量数量积即可. 【详解】因为在中，，所以，则 又角的内角平分线，则， 又， 则， 即， 化简得：，即，当且仅当时，等号成立， 因此，当且仅当时，等号成立. 故选：D. 6. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有两个零点 B. 当时， C. 的解集是 D. ，都有 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性即可求解时函数的解析式，即可判断；分情况令即可求解函数的零点判断；令求出解集即可判断；分情况对函数求导，判断函数的单调区间即可求得函数的最值，用最大值减最小值即可判断. 【详解】设，则，所以， 因为是奇函数，所以， 所以，即， 所以函数的解析式为，故不正确； 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 当时，令，解得， 当时，令，解得， 所以函数有三个零点，故不正确； 当时，令，解得， 当时，令，解得， 所以的解集为，故正确； 当时，， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 当时，， 所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值， 当时，， 所以，都有， 所以不正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：利用函数的奇偶性求出函数的解析式，分情况求解即可. 7. 函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】试题分析：由于函数与函数 均关于点成中心对称，结合图形以点 为中心两函数共有个交点，则有 ，同理有，所以所有交点的横坐标之和为 .故正确答案为D. 考点：1.函数的对称性；2.数形结合法的应用. 【详解】 8. 设函数是奇函数的导函数，，当时，则使得成立的的取值范围是　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用的导数判断函数的单调性与奇偶性，再画出函数的大致图象，结合图形求出不等式的解集． 【详解】解：设，则的导数为： ， 当时总有成立， 即当时，恒小于0， 当时，函数为减函数， 又， 函数为定义域上的偶函数， 又， 函数的大致图象如图所示： 数形结合可得，不等式等价于， 即或， 解得或． 成立的x的取值范围是． 故选A． 【点睛】本小题主要考查利用构造函数法，以及函数导数求解不等式.在解题过程中，首先根据题意构造出与题目本身相对应的函数.如本题中的函数，在不同的题目中，构造的函数是不相同的.构造函数之后，利用导数，研究所构造函数的单调性，再结合所求不等式来解. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得 2 分或 3 分或 4 分，有选错的得0 分.） 9. 已知向量，，则下列命题正确的是（    ） A. 若，则 B. 若在上的投影为，则向量与的夹角为 C. 存在，使得 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用向量投影的定义可判断B选项；可知，、方向相同，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可判断C选项；利用平面向量数量积的坐标运算结合辅助角公式可判断D选项. 【详解】因为向量，， 对于A选项，若，则，可得， 故，A错； 对于B选项，因为，在上的投影为， 因为，则，即向量与的夹角为，B对； 对于C选项，若，则、方向相同， 所以，，解得， 故当时，，C对； 对于D选项，， 其中为锐角，且，故的最大值为，D对. 故选：BCD. 10. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断. 【详解】由题意可知：， 对于选项A：因为，即，可得，即，故A正确； 对于选项B：可得，因为， 则，即，所以且，可得，当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：可得，因为， 则，即，所以且，可得，故C错误； 对于选项D：由选项A可知：，且，则， 即，可得，且，所以，故D正确； 故选：AD. 11. 已知函数，下列说法中正确的是（ ） A. 不是周期函数 B. 在(0，)上是单调递增函数 C. 在(0，)内有且只有一个零点 D. 关于点(，0)对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据周期函数的定义、指数函数、正弦函数、余弦函数的单调性，结合零点定义和点对称的性质逐一判断即可. 【详解】∵，∴是周期函数，A错误； 当x∈(0，)时，sinx是增函数，cosx是减函数，∴是增函数，是减函数，是增函数，∴是增函数，B对； 由得sinx=cosx，因为 ，所以有，C对； ∵， ∴关于点(，0)对称，D对， 故选：BCD. 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 设函数，则其反函数的定义域为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】求函数的值域，根据反函数的定义域与原函数的值域的关系可得结论. 【详解】因为，所以，所以，所以， 所以函数值域为， 又函数的反函数的定义域与函数的值域相同，所以函数的反函数的定义域为， 故答案为：. 13. 函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】利用指数函数的图象和性质求出，根据点在直线上可得，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】因为函数的图象恒过定点， 当时，函数值恒为，所以, 又因为点在直线上， 所以，且， 所以， 当前仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：. 14. 已知曲线与的公切线为，则实数______. 【答案】2 【解析】 【分析】分别设出两条曲线的切点坐标，利用导数的几何意义，得出公切线斜率，再利用切点既在曲线上，又在切线上，代入方程，求得. 【详解】由函数，可得， 设切点坐标为，可得，则切线方程为， 即，与公切线重合，可得， 可得，所以切线方程为， 对于函数，可得，设切点为，则 则 ，解得. 故答案为：2 四、解答题（本题共 6 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角、、所对的边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，且. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果； （2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值. 【详解】（1）因为，则，则，故，， ，所以，为锐角，则， 因此，； （2）显然，若为钝角三角形，则为钝角， 由余弦定理可得， 解得，则， 由三角形三边关系可得，可得，，故. 16. 在中，点是边上一点，且． （1）若，，且，求的值； （2）若，，且的面积为12，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用同角公式、正余弦定理，结合诱导公式求出. （2）设，利用正弦定理建立关系求出，再借助三角形面积求出. 【小问1详解】 依题意，， 则， 又，则， 由正弦定理，得，， 所以. 【小问2详解】 设，，则，，， 在中，由正弦定理，得，则， 在中，，即，则，， 因此，即， 又，，解得，， 于是，， 则， 由，，得，即，解得， 所以. 17. 已知函数． （1）若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； （2）记.若对任意且时，均有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据极值点的定义求，并利用函数的导数，判断函数的单调性，求函数的极值，结合函数有3个零点求参数的取值范围； （2）首先根据函数的的单调性去绝对值，再变形不等式，转化为函数在递减；在递增，再利用函数的导数和单调性的关系，转化为参变分离，求最值问题，即可求解. 【小问1详解】 函数在处有极值， 可得，解得，经检验，满足题意， 所以 当时，在单调递减； 当或时，在上单调递增， 可得在处取得极小值，且为0，在处取得极大值，且为， 方程有3个不同的实根，等价为， 即有的取值范围是. 【小问2详解】 在递减，可得时，， ，即为， 即 即为 即对任意且时恒成立. 所以在递减；在递增. 当在恒成立时，可得，即在恒成立， 在上单调递增，即，则. 当在恒成立时，可得，即在恒成立， ，当时等号成立，则，则. 综上可得的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是第2问，变形不等式，转化为两个函数的单调性问题，结合导数，即可求解. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，对分类讨论，根据导数与单调性的关系，即可求解； （2）根据函数的单调性可得最值，即可代入求解， （3）参变分离，得，构造新函数，利用导数求最值即可求得． 【小问1详解】 ， 当时，，所以在单调递增. 当时，令，解得， 当当， 所以在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）知，， 故，即为， 令，，所以在上单调递增. 且，所以，故的取值范围为 【小问3详解】 由，得， 令，所以， 由于均为上的单调递增函数，且值恒为正，又为单调递增函数， 故函数在上单调递增， 又， 故存在唯一的使得，当时，，当时，，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增，且， 由，则，所以， 设，， 所以在单调递增，，即，所以， 故 所以,即 所以的取值范围是 【点睛】关键点点睛：由得，利用的单调性得，进而根据指对互化得，，代入求最值. 19. 牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：如图，设r是的根，首先选取作为r的初始近似值，若在点处的切线与轴相交于点，称是r的一次近似值；用替代重复上面的过程，得到，称是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点． （1）若，当时，求方程的二次近似值（保留到小数点后两位）； （2）牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数在点处的切线，并证明：； （3）若，若关于的方程的两个根分别为，证明：． 【答案】（1） （2）证明：由题可知，，，， 所以在处的切线为，即； 设， 则，显然单调递减，令，解得， 所以当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 所以， 所以，即． （3）证明：由，得， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，也是的最大值点，即， 又时，，时，， 所以当方程有两个根时，必满足； 曲线过点和点的割线方程为， 下面证明， 设， 则， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，； 在上单调递减，， 所以当时，，即（当且仅当或时取等号）， 由于，所以，解得；① 下面证明当时，， 设，因为， 所以当时，（当且仅当时取等号）， 由于所以，解得，② ①②，得． 【解析】 【分析】（1）根据题意分别计算出，取得近似值即为方程的二次近似值； （2）分别求出，，即可写出函数在点处的切线方程；设，证明出，得出，即可证明； （3）先判断出，然后辅助证明两个不等式和即可． 【小问1详解】 ， 当时，，在点处的切线方程为，与轴的交点横坐标为， 所以，，在点处的切线方程为，与轴的交点为， 所以方程的二次近似值为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：第三问的难点在于辅助构造出两个函数不等式，这样再利用函数单调性，得到相关不等式，然后进行估计的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南安一中2024-2025学年度上学期高三年第一次阶段考数学科试卷 2024.10.4 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 记复数的共轭复数为，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 对于实数，“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔与灯塔的距离为（） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 8 6. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有两个零点 B. 当时， C. 的解集是 D. ，都有 7. 函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 设函数是奇函数的导函数，，当时，则使得成立的的取值范围是　　 A. B. C. D. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得 2 分或 3 分或 4 分，有选错的得0 分.） 9. 已知向量，，则下列命题正确的是（    ） A. 若，则 B. 若在上的投影为，则向量与的夹角为 C. 存在，使得 D. 的最大值为 10. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A. B. C. D. 11. 已知函数，下列说法中正确的是（ ） A. 不是周期函数 B. 在(0，)上是单调递增函数 C. 在(0，)内有且只有一个零点 D. 关于点(，0)对称 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 设函数，则其反函数的定义域为_______________． 13. 函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为________． 14. 已知曲线与的公切线为，则实数______. 四、解答题（本题共 6 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角、、所对的边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 16. 在中，点是边上一点，且． （1）若，，且，求的值； （2）若，，且的面积为12，求的值． 17. 已知函数． （1）若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； （2）记.若对任意且时，均有成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 19. 牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：如图，设r是的根，首先选取作为r的初始近似值，若在点处的切线与轴相交于点，称是r的一次近似值；用替代重复上面的过程，得到，称是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点． （1）若，当时，求方程的二次近似值（保留到小数点后两位）； （2）牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数在点处的切线，并证明：； （3）若，若关于的方程的两个根分别为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $