广东省深圳市罗湖区2024-2025学年高三上学期期末质量检测数学试题

2024-2025学年度第一学期期末质量检测 高三 数学 2024.12 注意事项： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并把条形码粘贴好． 2．全卷共4页．考试时间120分钟，满分150分． 3．作答单项选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 16 3. 的展开式中常数项为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 4. 已知样本的标准差为2，平均数为3，则值为（ ） A. 35 B. 77 C. 49 D. 91 5. 当，定义，则为（ ） A. 周期函数 B. 奇函数 C. 偶函数 D. 单调递增函数 6. 已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，且离心率为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，直线，若直线l与圆C两交点记为A，B，点P为圆C上一动点，且满足，则最大值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 8 8. 已知向量、满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正方体中，，下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. C. 存在λ，使得 D. 当时，平面截正方体的表面所得的图形为五边形 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，的图象关于直线对称 B. 当时，将的图象向左平移个单位得到，的图象关于原点对称 C. 当时，在单调递减 D. 若函数在区间上恰有一个零点，则ω的范围为 11. 已知函数，则下列关于说法正确的是（ ） A. 当有且只有一个零点，设其为，则 B. 当时，关于x的不等式有解 C. 当时，若满足，则 D. 有两解的充要条件是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若曲线与曲线在点处有相同的切线，则_______． 13. 已知，则_______． 14. 已知数列满足，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，点P为内部一点，． （1）若，求的面积； （2）若，求的长． 16. 如图，在矩形中，，取中点，将和分别沿直线，折叠，使，两点重合于点得到三棱锥． （1）当时，求证：； （2）若二面角的平面角为，是否存在上一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由． 17. 用红、黄、蓝、绿、紫五种不同颜色中的若干种给正四棱锥的五个顶点着色，要求相邻两个顶点的颜色不同． （1）记“给顶点A、C涂不同的颜色”为事件M，“完成全部顶点的着色用了4种不同的颜色”为事件N，求． （2）设完成全部顶点的着色所用的颜色种数为X，求X的概率分布列及数学期望． 18. 已知平面内一动圆过点，且该圆被x轴截得的弦长为2，设其圆心的轨迹为曲线E． （1）求曲线E的方程； （2）点A为曲线E上一点（不同于原点），过点A作E的切线l，经过点A并且垂直于l的直线与E相交于点B，点C为E上一点并且满足． （ⅰ）若点A的坐标为，求直线的方程； （ⅱ）求面积的最小值． 19. 曼哈顿距离是人工智能中常用的一种测距方式，其定义为：设，则A，B之间的曼哈顿距离为．现已知直线，点P是直线l上一动点． （1）若点，试计算的取值范围； （2）若点，试计算的最小值； （3）若点M是函数图象上一动点，求的最小值，并求当取最小值时对应的点P的轨迹的长度． 2024-2025学年度第一学期期末质量检测 高三 数学 2024.12 注意事项： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并把条形码粘贴好． 2．全卷共4页．考试时间120分钟，满分150分． 3．作答单项选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】1 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）由题可知，，，， 又因为，所以． 所以．即， 且，平面，可得平面， 由平面，所以． （2）存在，位于中点，理由如下： 因为，，，平面， 所以平面，二面角的平面角为， 如图所示，以为原点，垂直于所在的直线为轴，、方向为和轴． 则，，，， 可得，， 设， 则 平面的一个法向量为， 设直线与平面的夹角， 可得，解得， 故位于中点时，满足条件. 【17题答案】 【答案】（1） （2） X 3 4 5 P 数学期望为 【18题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）32 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $