17.3一次函数同步练习 2024-2025学年华东师大版数学八年级下册

17.3一次函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为，，，且．以下各点不在直线上的是（　　） A． B． C． D． 2．若一次函数的图像经过点和点，当时，，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形、正方形，、正方形，使得点在直线上，点在轴正半轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．已知一次函数的图像经过两点，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．当时，函数的值是（    ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 7．已知长方体的高是1，长和宽分别是、，体积是，则下列说法正确的是（    ） A．是的正比例函数 B．是的正比例函数 C．是或的正比例函数 D．是的正比例函数 8．一次函数y=kx+b，经过（1，1），（2，﹣4），则k与b的值为（ ） A． B． C． D． 9．一次函数，下列结论错误的是（ ） A．若两点A()，B()在该函数图象上，且，则 B．函数的图象不经过第三象限 C．函数的图象向下平移4个单位长度得到的图象 D．函数的图象与轴的交点坐标是 10．已知将直线y=x+1向下平移3个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（   ） A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于(2，0) C．与直线y=2x+1平行 D．y随的增大而减小 11．如图，直线（，为常数，且）与直线相交于点，若点的纵坐标为8，则关于、的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 12．已知过点的直线不经过第四象限．设，则（    ） A．S有最大值 B．S有最小值 C．S有最大值6 D．S有最小值6 二、填空题 13．已知正比例函数的图象经过点，则 ． 14．A、B两地相距12千米，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地．如图的折线OPQ和线段EF分别表示甲、乙两人与A地的距离y甲、y乙与时间x之间的函数关系，且OP与EF相交于点M．下列说法： ①y乙与x的函数关系是y乙＝﹣6x+12 ②点M表示甲、乙同时出发0.5小时相遇 ③甲骑自行车的速度是18千米/小时 ④经过或小时，甲、乙两人相距5千米．其中正确的序号有 ． 15．已知点（5，3）在直线y=ax+b（a，b为常数，a≠0）上，则的值为 ． 16．已知，一次函数的图像在直角坐标系中如图，则k 0，b 0．    17．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点P（m，-2），则方程组的解为 ． 三、解答题 18．对于线段外一点M，给出如下定义：若点M满足或，则称M为线段的垂点．特别地，对于垂点M，若或时，称M为线段的等垂点，在平面直角坐标系中，已知点． (1)如图1，在点中，线段的垂点是 ； (2)直线分别交坐标轴于点和点． ①如图2，当时，若直线上存在线段的等垂点M，求b的值； ②如图3，若边上（包含顶点）存在线段的垂点，则t的最小值是 ． 19．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括数的性质．小明结合已有的经验探究了函数的图象及性质． (1)绘制函数图象 ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m=______； x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … y … 2 m 2 … ②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（0，m）； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象； (2)探究函数性质 请写出函数两条性质： ①______；②______； (3)运用函数图象及性质根据函数图象，写出不等式解集是______． 20．我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元． (1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？ (2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于50棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有几种购买方案？ (3)某包工队承包种植任务，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，种好一棵B种树苗可获工钱20元，在第（2）问的各种购买方案中，种好这100棵树苗，哪一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？ 21．福鼎市贯岭镇是黄栀子之乡，今年黄栀子价格大涨，农民收益颇丰，某天一农户采收级、级黄栀子共斤，级黄栀子售价每斤元，级黄栀子售价每斤元． (1)求该农户全部售出这些黄栀子的收入（元）与采收的级黄栀子数量（斤）之间的函数关系式； (2)若当天全部售出这些黄栀子的总收入为元，求售出的级黄栀子的数量． 22．某商店销售每台A型电脑的利润为100元，销售每台B型电脑的利润为150元，该商店计划一次购进A，B两种型号的电脑共100台，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）该商店计划一次购进A，B两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，那么商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ 23．有这样一个问题：探究同一坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数与的图象性质小明根据学习函数的经验，对这两个函数当时的图象性质进行了探究设函数与图象的交点为、下面是小明的探究过程： (1)如图所示，若已知的坐标为，则点的坐标为______． (2)若的坐标为，点为第一象限内双曲线上不同于点的任意一点． ①设直线交轴于点，直线交轴于点求证：． 证明过程如下：设，直线的解析式为． 则 解得 所以，直线的解析式为______． 请把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明． ②当点坐标为时，判断的形状，并用表示出的面积． 24．已知直线y＝－x＋4与x轴和y轴分别交于B、A两点，另一直线经过点B和点D（11,6）． （1）求A、B的坐标； （2）证明：△ABD是直角三角形； （3）在x轴上找点C，使△ACD是以AD为底边的等腰三角形，求出C点坐标． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《17.3一次函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A B D D C D B 题号 11 12 答案 C B 1．B 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、点的坐标等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．作轴，垂足为D，则有然后得到点，求出直线的解析式，然后逐一代入即可解题． 【详解】解：如图，作轴，垂足为D， 在和中， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，，在直线上， ，解得， ∴直线解析式为． A、当时，，故点在直线上，不符合题意； B、当时，，故点不在直线上，符合题意； C、当时，，故点在直线上，不符合题意； D、当时，，故点在直线上，不符合题意； 故选：B． 2．C 【分析】本题考查正比例函数的增减性，根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【详解】解：当时，， 一次函数的随x的增大而减小， 则，解得． 故选：C ． 3．C 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点A1、B1的坐标，同理可得出A2、A3、A4、A5、…及B2、B3、B4、B5、…的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“Bn（2n-1，2n-1）（n为正整数）”，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当y=0时，有x-1=0， 解得：x=1， ∴点A1的坐标为（1，0）． ∵四边形A1B1C1O为正方形， ∴点B1的坐标为（1，1）． 同理，可得出：A2（2，1），A3（4，3），A4（8，7），A5（16，15），…， ∴B2（2，3），B3（4，7），B4（8，15），B5（16，31），…， ∴Bn（2n-1，2n-1）（n为正整数）， ∴点B2021的坐标为（22020，22021-1）． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“Bn（2n-1，2n-1）（n为正整数）”是解题的关键． 4．A 【分析】根据一次函数的性质得出 y 随 x 的增大而减小，当 x >-1时，y <0，即可求出答案． 【详解】 直线 与 x 轴交于点(-1，0)，与轴交于点 根据图形可得 k <0， y 随 x 的增大而减小，当 x >-1时，y <0，即． 故答案为： A 【点睛】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键． 5．B 【分析】根据图像，找到y0时，x的取值范围即可． 【详解】解：由图像可知：该一次函数y随x的增大而增大，当x=-3时，y＝0 ∴当x-3时，y0，即 ∴关于的不等式的解集是 故选B． 【点睛】此题考查的是一次函数与一元一次不等式的关系，掌握一次函数的图象及性质与一元一次不等式的解集的关系是解决此题的关键． 6．D 【解析】略 7．D 【分析】根据长方体的体积公式求出关系式，然后根据正比例函数的定义判断即可. 【详解】解：∵长方体的高是1，长和宽分别是、，体积是 ∴ ∴是的正比例函数 故选D. 【点睛】此题考查的是正比例函数的定义，掌握长方体的体积公式和正比例函数的定义是解决此题的关键. 8．C 【详解】试题分析：由于一次函数y=kx+b经过（1，1），（2，﹣4），应用待定系数法即可求出函数的解析式． 解：把（1，1），（2，﹣4）代入一次函数y=kx+b， 得， 解得：． 故选C． 考点：待定系数法求一次函数解析式． 9．D 【分析】分别根据一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】A、因为一次函数中，因此函数值随x的增大而减小，故A选项正确； B、因为一次函数中，，因此此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，故B选项正确； C、由“上加下减”的原则可知，函数的图象向下平移4个单位长度得的图象，故C选项正确； D、令，则，因此函数的图象与x轴的交点坐标是，故D选项错误． 故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数的性质及函数图象平移的法则是解答此题的关键． 10．B 【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可． 【详解】将直线y=x+1向下平移3个单位长度后得到直线y=x+1-3=x-2， A、直线y=x-2经过第一、三、四象限，故本选项错误； B、直线y=x-2与x轴交于（2，0），故本选项正确； C、直线y=x-2与直线y=2x+1相交，故本选项错误； D、直线y=x-2，y随x的增大而增大，故本选项错误； 故选B． 【点睛】考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键． 11．C 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，正确理解题意、求出点P的坐标是解题的关键. 先求出点P的坐标为，再根据一次函数的交点坐标即为两个函数联立组成的方程组的解解答即可. 【详解】解：对于一次函数，当时，， ∴点P的坐标为， ∴关于x，y的方程组的解是， 故选：C. 12．B 【分析】根据题意得出，，即可推出当时，有最小值，S的最小值为a，当时，直线，把点代入即可求得a的值，从而求得S的最小值． 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，得出当时，有最小值是解题的关键． 【详解】解：过点的直线不经过第四象限， ，， 当时，有最小值为， 此时， 把代入得 解得， 有最小值， 故选：B． 13．-2 【分析】利用待定系数法把点代入正比例函数y=kx（k≠0）中即可算出k的值． 【详解】解：把点代入正比例函数y=kx（k≠0）中得： k×1=-2， ∴k=-2， 故答案为：-2． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求正比例函数的解析式，关键是掌握凡是图象经过的点都能满足解析式． 14．①②③ 【分析】利用待定系数法求出直线EF的解析式判断①；根据图象判断②；求出直线OP的解析式判断③；利用函数解析式作差法计算即可． 【详解】解：设直线EF的解析式为y=ax+b，将点E（0，12）、F（2，0）代入，得 ，解得， ∴直线EF的解析式为y=-6x+12，故①正确； 由图象可知：点M表示甲、乙同时出发0.5小时相遇，故②正确； ∵甲的速度为km/h，km， ∴点M的坐标为（0.5，9）， 设直线OP的解析式为y=kx，将点M坐标代入，得k=18， ∴直线OP的解析式为y=18x，     ∴甲骑自行车的速度是18千米/小时，故③正确； 当时，解得x=； 当时，， 当时，解得x=（舍去）； 当时，解得x=， ∴经过或小时，甲、乙两人相距5千米．故④不正确； 故答案为：①②③． 【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，函数图象交点的计算，解一元一次方程，能读懂函数图象并得到相关信息是解题的关键． 15．-． 【详解】试题分析：∵点（5，3）在直线y=ax+b上，∴3=5a+b，∴b﹣3=﹣5a， 则==-． 考点：一次函数图象上点的坐标特征． 16． 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数之间的关系，根据y随x增大而增大，可得，根据一次函数与y轴交于负半轴可得． 【详解】解：∵由函数图象可知y随x增大而增大，且与y轴交于负半轴， ∴，， 故答案为：，． 17． 【分析】把P（m，-2）代入得出m=1，确定点P的坐标，即为二元一次方程组的解． 【详解】解：把P（m，-2）代入， ∴m=1， ∴P（1，-2）， ∴的解为. 故答案为． 【点睛】题目主要考查利用一次函数确定点的坐标及一次函数交点与二元一次方程组的解的关系，熟练掌握一次函数交点与二元一次方程组的解的关系是解题关键． 18．(1) (2)①b的值为或；② 【分析】（1）根据求出，根据，得，得，点C不是线段的垂点；根据，得，得，点D是线段的垂点；根据，得，得，点E不是线段的垂点；根据，得，得，点F是线段的垂点； （2）①当时，得点，则线段的等垂点M在上，过点M作轴于点G，或过点作轴于点H，可证得，进而可得或，代入，即可求得b的值；②过点Q作，交y轴于点E，设，由，，得，解得（舍去），，得，求出直线解析式，当过点时，；当过点时，；当过点时，；得；过点P作交x轴于点F，求出解析式，当过点时，；当过点时，；当过点时，；得；综上，．即得t的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C不是线段的垂点； ∵， ∴， ∴， ∴点D是线段的垂点； ∵， ∴， ∴， ∴点E不是线段的垂点； ∵， ∴， ∴， ∴点F是线段的垂点； 综上所述，点D、F是线段的垂点； 故答案为：； （2）解：①当时，点， 设点M是直线上存在线段的等垂点， 过点M作轴于点G，或过点作轴于点H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 同理可得：， ∴， 解得； ∴b的值为或； ②过点Q作，交y轴于点E，设， 则， ∵，， ∴，，， ∴， 解得（舍去），， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 当过点时，； 当过点时，； 当过点时，． ∴． 过点P作交x轴于点F， 则， ∴设直线解析式为， 把代入， 得， ∴， 当过点时，； 当过点时，； 当过点时，． ∴． 综上，． ∴t的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义——线段的垂点．熟练掌新定义，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形性质，一次函数图象和性质，一次函数平移，分类讨论，是解决问题的关键． 19．(1)①4； ②描点、③连线的结果见详解 (2)①的图象关于y轴对称； ②当x=0时，有最大值，且最大值为4 (3)或者 【分析】（1）将x=0代入方程即可求出y值，则m的值得解； （2）观察图象即可得解； （3）将变型为，则根据图象即可得解． 【详解】（1）①把x=0代入，得y=4， 则m的值为4， ②、③作图如下： 故答案为：4； （2）根据函数的图象可知： ①的图象关于y轴对称； ②当x=0，有最大值，且最大值为4， 故答案为：①的图象关于y轴对称， ②当x=0，有最大值，且最大值为4； （3）将不等式变型为， 根据图象可知，当或者时，函数的值小于或等于2， 则不等式的解集为：或者． 故答案为：或者． 【点睛】本题主要考查一次函数图象与性质、一次函数与一元一次不等式的知识，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质和解一元一次不等式是解题的关键． 20．(1)购买A种树苗每棵需要100元，B种树苗每棵需要50元 (2)有四种购买方案 (3)购买A种树苗50棵、B种树苗50棵时所付的种植工钱最少，最少工钱是2500元 【分析】本题主要考查一元一次不等式组、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用． （1）设种树苗每棵元，种树苗每棵元，根据“购买种树苗8棵，种树苗3棵，需要950元；若购买种树苗5棵，种树苗6棵，则需要800元”列二元一次方程组求解可得； （2）设购进种树苗棵，则购进种树苗棵，根据“种树苗不能少于50棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元”列不等式组求解可得； （3）设种植工钱为，得到关于的一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设种树苗每棵元，种树苗每棵元， 根据题意，得：， 解得：， 答：种树苗每棵100元，种树苗每棵50元； （2）解：设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵， 根据题意，得：， 解得：， 故有四种购买方案； （3）解：设种植工钱为，由已知得：， ∵， 随的增大而增大， ∴当时，最小，最小值为2500元； 故购买A种树苗50棵、B种树苗50棵时所付的种植工钱最少，最少工钱是2500元． 21．(1) (2)若收入元时，则售出的级黄栀子斤． 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用： （1）依题意得，化简即可求得答案； （2）将代入一次函数即可求得答案． 【详解】（1）依题意，得 ， 即； （2）当时，可得 解得 ． 答：若收入元时，则售出的级黄栀子斤． 22．（1）y＝﹣50x+15000；（2）商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大． 【分析】(1)根据总利润等于A、B电脑利润相加可以求得y与x的函数关系式,从而可以解答本题; (2)根据题意和B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,可以求得x的取值范围,再根据一次函数的性质即可解答本题. 【详解】解：（1）由题意可得， y＝100x+150（100﹣x）＝﹣50x+15000， 即y与x的函数关系式是y＝﹣50x+15000； （2）由题意可得， 100﹣x≤2x，解得，x≥， ∵y＝﹣50x+15000， ∴当x＝34时，y取得最大值，此时y＝13300，100﹣x＝66， 即商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况. 23．(1) (2)①，，证明见解析； ②当点坐标为时，是直角三角形；当时，；当时， 【分析】（1）根据正、反比例函数图象的对称性结合点的坐标即可得出点的坐标； （2）①设，根据点、的坐标利用待定系数法可求出直线的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，过点作轴于，由点的坐标可得出点的坐标，进而即可求出的长度，同理可得出的长度，再根据等腰三角形的三线合一即可证出； ②根据①结合、、的长度，可得出为直角三角形；然后再分和两种情况，利用分割图形求面积法即可求出的面积． 【详解】（1）解：由正、反比例函数图象的对称性可知，点、关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为． 故答案为：； （2）①证明过程如下， 设，直线的解析式为． 则， 解得：， 直线的解析式为． 当时，， 点的坐标为． 过点作轴于，如图1所示， 点坐标为， 点的坐标为， ． 同理可得：， ． ， ． 故答案为：，，； ②由（2）①可知，在中，， 为等腰三角形，且． 当坐标为时，， ，   ，， ，即， 为直角三角形． 当时，如图1， ， ， ， ； 当时，   ， ， ， ． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了正(反)比例函数的图象、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的判定以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据正、反比例函数图象结合点的坐标求出点的坐标；（2）①利用等腰三角形的三线合一证出；②学会用分类讨论的思想思考问题． 24．（1）A（0,4）,B（3,0）；（2）证明见解析；（3）C（，0）． 【分析】（1）令x=0，y=0分别求解即可得到点A、B的坐标； （2）利用勾股定理列式计算即可得到AB、BD，过点作，然后求出DH、AH，再利用勾股定理列式计算求出AD,然后根据勾股定理逆定理证明即可； （3）设OC=x,根据等腰三角形两腰相等利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）A（0,4）,B（3,0） （2）过点作，、 由勾股定理得， 再由， 那么， 所以是直角三角形． （3）设长为, 则由等腰三角形以及勾股定理得到 解得 ∴C（，0） 考点：1．一次函数综合题；2．勾股定理；3．等腰三角形的两腰相等的性质． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$