1.3.线段的垂直平分线（第二课时）课时训练 2024-2025学年北师大版数学八年级下册

第一章三角形的证明3.线段的垂直平分线（第二课时） 课时训练 知识点：线段垂直平分线的性质定理及判定定理的应用，三角形三边的垂直平分线交于一点。 本课时训练包括5道选择题，5道填空题，5道解答题。建议用时60分钟。 一、单选题 1．如图，某市的三个城镇中心构成，该市政府打算修建一个大型体育中心，使得该体育中心到三个城镇中心的距离相等，则点应设计在（   ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三个角的角平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 2．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（ ） A． B． C． D． 3．如图，中，，，平分交于点，下述结论： ①点在的垂直平分线上； ②； ③的周长等于； ④点是的中点． 其中正确的是（   ） A．①③ B．①②③ C．②④ D．①②③④ 4．如图，在中，，边的垂直平分线分别与，相交与点M，N，边的垂直平分线分别与，相交与点P，Q，若，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．在中，，的垂直平分线与直线所成的角为，则等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 二、填空题 6．如图所示，在正方形网格中，的顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是 ． 7．如果一个三角形的两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形的最大角的度数是 ． 8．如图，垂直平分，交于点D，交于点E，，的周长为，则的周长是 ． 9．如图，中，，，，点是中点，是的垂直平分线，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则其最小值为 ． 10．如图，在中，，垂足为，，为直线上方的一个动点，的面积等于面积的一半，则当最小时，的度数为 ． 三、解答题 11．如图，在中，． (1)作出边，的垂直平分线，，并分别与边交于点，．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)连接，． ①若，则的周长为______． ②若，求的度数． 12．如图，在中，，，分别是，上的点，连接． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）中所作的图形中，连接．若，求证：． 13．如图，在中，边的垂直平分线交边于点D，交边于点E，连接． (1)如图的周长为18，求的长． (2)，求的度数． 14．如图，在中，，的平分线交于点，过作，垂足为，延长交于点．    (1)求证：为等腰三角形； (2)已知，，求的长． 15． 已知，如图，四边形中，，平分，于点E． (1)求证：； (2)求证：． 《第一章三角形的证明3.线段的垂直平分线（第二课时）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 A D B A B 1．A 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据垂直平分线的判定即可求解，掌握垂直平分线的判定是解题的关键． 【详解】解：∵体育中心到城镇中心的距离相等， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 同理，点在线段，的垂直平分线上， ∴点应设计在三条边的垂直平分线的交点， 故选：． 2．D 【分析】本题考查线段垂直平分线的作法和性质，画已知线段的作法，熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质是解题的关键．先利用题中作法得出和垂直平分，再利用线段垂直平分线的性质得出，最后利用线段的和差即可解决． 【详解】解：∵以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点， ∴， ∵分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点． ∴垂直平分， ∴， ∴的周长为， ∵，， ∴的周长为， 故选：D． 3．B 【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定以及等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用以及三角形的外角的性质．由三角形内角和定理以及角平分线的定义可得，根据等角对等边可得，即可得点在的垂直平分线上，又由，即可求得，，继而证得，的周长等于． 【详解】解：中，，， ， 平分 ， ， 点在的垂直平分线上；故①正确； ， ， ， ，故②正确； 的周长为：；故③正确； ， ， 不是中点．故④错误． 故选：B． 4．A 【分析】连接，，由得，由垂直平分线的性质得，，，，再三角形内角和定理得，再证明得，进而可得是等边三角形，即可得，再由即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴， ∵边的垂直平分线分别与，相交与点M，N， ∴，， ∵边的垂直平分线分别与，相交与点P，Q， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质． 5．B 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质， 熟知线段垂直平分线上任意一点， 到线段两端点的距离相等是解答此题的关键 ．由于的形状不能确定， 故应分是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论 ． 【详解】解： 如图①， 当的中垂线与线段相交时， 则可得， ， ， ， ； 如图②， 当的中垂线与线段的延长线相交时， 则可得， ， ， ， ， ． 底角为或． 故选：B． 6． 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，根据到三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线交点求解即可． 【详解】解：如图所示， 点在，的垂直平分线上， 故答案为：． 7． 【分析】】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据垂直平分线的性质，AF=BF，BF=CF，再根据等边对等角的性质，得到，，然后利用三角形内角和定理，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，垂直平分，垂直平分，、交点在上， ，， ，， ， ， ， 这个三角形最大角的度数是， 故答案为：． 8．24 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知，进而得出，进一步可得出答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴的周长是． 故答案为：24． 9． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，在上取一点，连接，由线段垂直平分线的性质得，即得，可知当点在上时，的值最小，最小值为的长，又根据等腰三角形的性质可得，进而利用三角形面积求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：在上取一点，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵点是定点，由两点之间线段最短可知，当点在上时，的值最小，最小值为的长， ∵，点是中点， ∴， 又∵，, ∴， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．确定线段和的最小值的情况是解题的关键．由题意知，在的垂直平分线上，如图，作关于的垂直平分线的对称点，连接，，则，由对称的性质可知，，则，可知当、、三点共线时，的值最小为，此时为的中点，由，，可求，，进而可求． 【详解】解：的面积等于面积的一半， 在的垂直平分线上， 如图，作关于的垂直平分线的对称点，连接，，则， 由对称的性质可知，， ∴，此时最小， ，， ∴， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：． 11．(1)见解析 (2)①8；② 【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确作图是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法画图即可； （2）①由线段垂直平分线的性质得，，，进而可求出的周长； ②先由三角形内角和求出，进而得出，进而可求的度数． 【详解】（1）解：如图， （2）解：①如图， ∵点D在的垂直平分线上， ∴． 同理：， ∴的周长 ． 故答案为：8； ②∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 12．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质，等角对等边和对边对等角性质． （1）利用基本作图作的垂直平分线； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到，则，根据，推出，进而得到，推出，从而证明结论． 【详解】（1）解：所求作图形如图所示 ；　 （2）证明：是线段的垂直平分线， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 13．(1) (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键； （1）由垂直平分，得，；由的周长，得，从而求得； （2）由对顶角相等得，由线段垂直平分线的性质及等边对等角求得，进而得的度数，再由三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵的周长， 即， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 14．(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：连接，   ，平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 15．(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形对应行找到边之间的关系． 过点作交的延长线于点，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证结论成立； 延长到点，使，连接，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可证，根据可知，利用公理可证从而可证，根据线段之间的关系可知，所以可得． 【详解】（1）证明：如下图所示，过点作交的延长线于点， ， ， 又，， ， 平分， ， 在和中 ， ， ； （2）证明：如下图所示，延长到点，使，连接， 是的垂直平分线， ，， 由可知， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 又是的垂直平分线， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$