精品解析：黑龙江省双鸭山市集贤县2023-2024学年八年级下学期期末质量监测数学试卷

2023—2024学年度第二学期期末质量监测 八年级数学试题 测试时间：120分钟测试总分：120分 一、单选题（每小题3分，满分30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 习近平总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”，某企业扶贫小组准备为贫困户送温暖活动，该企业对扶贫对象的年龄结构进行了随机抽样调查，调查所得的一组数据的方差公式是，则这组数据的平均数和样本容量分别是（ ） A. 50，45 B. 50，28 C. 45，50 D. 45，36 4. 一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9，内壁高为12，若铅笔的长为20，则这只铅笔露在笔筒外面的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，网格中每个小正方形的面积为单位1，则图形C的面积是（ ） A. 6 B. C. D. 13 6. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交于，交的延长线于点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 如图，在矩形纸片中，，，点边上一点，将沿翻折，点恰好落在边上点处，则长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是小明在物理实验课上用量筒和水测量铁块A的体积实验，小明在匀速向上将铁块提起，直至铁块完全露出水面一定高度的过程中，则下图能反映液面高度h与铁块提起的时间t之间的函数关系的大致图像是（ ） A. B. C. D. 9. 已知直线是由直线平移得到的，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，点P是正方形的对角线BD上一点，于点E，于点F，连接给出下列五个结论：①；②；③一定是等腰三角形；④；⑤．其中有正确结论的是（ ） A. ①②③ B. ①③⑤ C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 若函数在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 12. 计算的结果为______． 13. 如图，在四边形中，，添一个条件________，使四边形平行四边形．（不需作其它辅助线） 14. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为_________． 15. 已知两根竹棍长度分别是和，第三根竹棍与这两根竹棍首尾顺次相接，恰好构成一个直角三角形，则第三根竹棍的长度是______． 16. 如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为_______. 17. 如图，菱形ABOC 中，对角线OA 在y 轴的正半轴上，且OA= 4，直线过点C，则菱形ABOC 的面积是_________________. 18. 如图，函数经过点，则关于的方程的解为______． 19. 一组数据中位数是，则的最大值为______． 20. 在平面直角坐标系中，记直线为，点是直线与y轴的交点，以为边作正方形，使点落在x轴正半轴上，作射线交直线于点，以为边作正方形，使点落在轴正半轴上，依次作下去；得到如图所示的图形，则点的坐标是_________． 三、解答题（满分60分） 21. 计算： （1）； （2）． 22. 如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 23. 思考：我们知道，菱形的对角线互相垂直，反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），请你根据图形写出已知和求证，并完成证明过程． 已知：　　　　　　　　，求证：　　　　　　　． 证明：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． （2）如图2，在平行四边形 中，对角线和相交于点O，，，．求证：平行四边形是菱形． 24. 线上教学的最大优点是能够依托网络平台及时反馈效果．一次数学习题课，课前，陈老师让班上每位同学做6道与这节课内容相关的类似题目，解题情况如图．课后，陈老师再让学生做6道类似的题目，结果如表．已知每位学生至少答对1题． 课后解题情况频数表 答对题数 1 2 3 4 5 6 合计 频数 2 3 3 a 9 13 b （1）根据图表信息填空： ________； ________； （2）该班课前答对题数的众数是________；课后答对题数的中位数是________； （3）请选择适当的统计量，从两个不同的角度评价这节习题课的教学效果． 25. 甲、乙两机器人从地出发，沿相同路线前往地（到达后停止运动），图中，分别表示甲、乙两机器人前往目地所走的路程，，(单位：）随甲出发的时间（单位：）变化的函数图象． （1），两地的距离为_______； （2）求关于的函数解析式； （3）求乙机器人出发多长时间后追上甲，并求出此时机器人距离地的距离． 26. 我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”． （1）在我们学过的下列四边形①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“宁美四边形”的是___________（填序号）； （2）如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连、．求证：四边形是“宁美四边形”； 27. 某店铺销售，两款考古盲盒手办．销售件款手办和件款手办的销售额为元，销售件款手办和件款手办的销售额为元． 进价（元/件） 售价（元/件） （1）求表格中，的值； （2）该店铺计划购进，两款手办共件，且购进款手办的数量不多于款手办数量的一半．求该店铺获得利润与款手办的数量之间的函数关系式，并求出款手办的数量的取值范围． （3）请设计该店铺获得最大利润的进货方案，并求出最大利润． 28. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交于点． （1）求点、、的坐标； （2）在平面直角坐标系中有一点，求的面积与的函数关系式； （3）为直线上的动点，过点作轴的平行线，交直线于点，点在轴上，是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期期末质量监测 八年级数学试题 测试时间：120分钟测试总分：120分 一、单选题（每小题3分，满分30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的识别，掌握最简二次根式的概念是关键．被开方数含有开不尽方的因数或因式，且不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，根据此概念进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式加减运算、乘法运算和分母有理化，掌握同类二次根式的定义和二次根式的运算法则是解答本题的关键．根据二次根式的加减运算，乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：A： ，被开方数不同， 不是同类二次根式，不能进行合并， 该选项不符合题意； B： ， 该选项不符合题意； C： ， 该选项符合题意； D： ， 该选项不符合题意； 故选：C． 3. 习近平总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”，某企业扶贫小组准备为贫困户送温暖活动，该企业对扶贫对象的年龄结构进行了随机抽样调查，调查所得的一组数据的方差公式是，则这组数据的平均数和样本容量分别是（ ） A. 50，45 B. 50，28 C. 45，50 D. 45，36 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平均数和样本容量的定义及方差，熟练掌握平均数和样本容量的定义及方差是解题的关键． 根据平均数的概念和样本容量指的是一个样本中所包含的单位数及方差公式的意义可直接进行求解． 【详解】解：∵一组数据的方差公式是 ∴这组数据的平均数为45，样本容量为50． 故选C． 4. 一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9，内壁高为12，若铅笔的长为20，则这只铅笔露在笔筒外面的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理可求得这只铅笔露在笔筒外面的最小长度，当铅笔垂直于底面放置时可求得这只铅笔露在笔筒外面的最大长度，由此即可得解． 【详解】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：， 这只铅笔露在笔筒外面的最小长度为：， 当铅笔垂直于底面放置时，这只铅笔露在笔筒外面的长度为：，即这只铅笔露在笔筒外面的长度不超过， 这只铅笔露在笔筒外面的长度的取值范围是， 故选：A． 5. 如图，网格中每个小正方形的面积为单位1，则图形C的面积是（ ） A. 6 B. C. D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键． 【详解】解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知： 以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， 所以图形C的面积． 故选：D． 6. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交于，交的延长线于点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，以及平行线的性质，等角对等边．首先根据平行四边形的性质可得，，，再根据平行线的性质与角平分线的性质证明，根据等角对等边可得，再用即可算出的长． 【详解】解：如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 7. 如图，在矩形纸片中，，，点为边上一点，将沿翻折，点恰好落在边上点处，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理．由轴对称的性质可得：，则，；在中，由勾股定理可得，则；设，则，在中，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：是由沿直线翻折得到， ， 则，． 四边形是矩形， ，，． 在中， ， ． 设，则，， 在中， ， ， 解得：． 则． 故选：C． 8. 如图是小明在物理实验课上用量筒和水测量铁块A的体积实验，小明在匀速向上将铁块提起，直至铁块完全露出水面一定高度的过程中，则下图能反映液面高度h与铁块提起的时间t之间的函数关系的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了函数图像的有关性质，理解题意明白自变量与因变量之间的关系是解题的关键． 分析铁块的运动轨迹，分为三段，完全在水里、一部分在水里、完全在水面三段，即可求解． 【详解】解：根据题意，在实验中有3个阶段， ①铁块在液面以下，液面的高度不变； ②铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，液面高度降低； ③铁块在液面以上，完全露出时，液面高度又维持不变； 分析可得，B符合描述； 故选：B． 9. 已知直线是由直线平移得到的，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与y轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交．根据直线是由直线平移得到的，可以判断，再根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵直线是由直线平移得到， ∴， ∴直线，即直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故选：A． 10. 如图，点P是正方形的对角线BD上一点，于点E，于点F，连接给出下列五个结论：①；②；③一定是等腰三角形；④；⑤．其中有正确结论的是（ ） A. ①②③ B. ①③⑤ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】作，垂足为点N，延长，交于点M，根据矩形的性质证明即可得出①和④正确；再根据三角形内角和定理即可判断②正确；在根据点P的任意性可以判定③和⑤． 【详解】解：延长交于点N，延长，交于点M，连接． ∵，， ∴， ， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形，四边形，四边形都是矩形． ∵四边形正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，又， ∴， 又∵，， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，故①正确； 在与中 则， ∴，故④正确； 与中，，， ∴ ∴，故②正确； ∵P是上任意一点， ∴不一定是等腰三角形，故③错误； 在中，，若，则， ∵P是上任意一点， ∴不一定正确，故⑤错误； 故选D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握它们的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 若函数在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式及分式有意义的条件列式求出x的取值范围即可解答． 【详解】解：∵函数在实数范围内有意义， ∴且，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不为0；二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 12. 计算的结果为______． 【答案】６ 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行计算、二次根式的混合运算，利用平方根公式去括号，再根据二次根式的性质计算即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：6 ． 13. 如图，在四边形中，，添一个条件________，使四边形是平行四边形．（不需作其它辅助线） 【答案】（或或者）答案不唯一 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，是开放题，答案不唯一，利用平行四边形的判定方法来添加条件，平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：1、四边形的两组对边分别平行，2、一组对边平行且相等，3、两组对边分别相等，4、对角线互相平分，5、两组对角分别相等．则四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定方法，可以再加一个：的条件，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证． 【详解】解：根据平行四边形的判定，可添加：(答案不唯一)． 故答案为：（或或）． 14. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】连接EC，依据垂直平分线的性质得．由已知易得，在Rt△AEC中运用勾股定理求得AE，即可求得答案． 【详解】解：由已知作图方法可得，是线段的垂直平分线， 连接EC，如图， 所以， 所以， 所以∠BEC=∠CEA=90°， 因为，， 所以， 在中，， 所以， 因此的长为7． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查中垂线性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握中垂线上一点到线段两端点距离相等，由勾股定理求得即可． 15. 已知两根竹棍的长度分别是和，第三根竹棍与这两根竹棍首尾顺次相接，恰好构成一个直角三角形，则第三根竹棍的长度是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，题目中没有明确直角边和斜边，故要分情况讨论，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：当第三根竹棍为直角边时，长度 当第三根竹棍为斜边时，长度 故第三根竹棍的长度为或． 故答案为：或． 16. 如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为_______. 【答案】20 【解析】 【分析】先由，得到，然后结合矩形的性质得到，再结合点和点分别是和的中点得到和的长，最后得到四边形的周长． 【详解】解：， ， ，， ， 点和点分别是和的中点， ，，是的中位线， ， ． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，解题的关键是熟知矩形的性质． 17. 如图，菱形ABOC 中，对角线OA 在y 轴的正半轴上，且OA= 4，直线过点C，则菱形ABOC 的面积是_________________. 【答案】4 【解析】 【详解】∵四边形ABOC是菱形，OA=4， ∴AO⊥BC，BE=CE，AE=OE=2， ∴BC∥x轴， ∴C的纵坐标是2， 把y=2代入直线 得：2=， 解得：x=1， 即C（1，2）， ∴B（-1，2）， ∴BC=1-（-1）=2， ∴菱形ABOC的面积是×AO×BC=×4×2=4. 点睛：本题考查了一次函数的图象上点的特征及菱形的性质的应用，菱形的面积等于对角线积的一半，解题时要注意求菱形对角线的长. 18. 如图，函数经过点，则关于的方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的解，将点代入即可求解，从图象中获取关键信息是解题的关键． 【详解】∵函数经过点， ∴当时， ∴关于的方程的解为． 故答案为：． 19. 一组数据的中位数是，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位数的知识，“将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”，可得数据按大小排序后第三个数是，进而可得，据此即可求解，掌握中位数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一组数据中位数是， ∴数据按大小排序后第三个数是， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 20. 在平面直角坐标系中，记直线为，点是直线与y轴的交点，以为边作正方形，使点落在x轴正半轴上，作射线交直线于点，以为边作正方形，使点落在轴正半轴上，依次作下去；得到如图所示的图形，则点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，解此题的关键是根据一次函数的点的坐标计算的结果得出规律．根据一次函数，得出等点的坐标，继而得知等点的坐标，从中找出规律，进而可求出点的坐标． 【详解】解：把代入直线，得：， 所以点的坐标是， 把代入直线，得：， 所以点的坐标是， 同理点的坐标是；点的坐标是； …… 由以上得出规律是的坐标为． 所以点的坐标是， 故答案为：． 三、解答题（满分60分） 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的性质、二次根式的除法进行计算，再合并同类二次根式，即可求解； （2）根据二次根式乘除法进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： 22. 如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 【答案】的长为 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，比较简单，需要熟练掌握勾股定理的基础知识． 先设，则，再根据勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得： 在中，， 在中，， 由题意可知：， 所以， 解得： 即的长为． 23. 思考：我们知道，菱形的对角线互相垂直，反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），请你根据图形写出已知和求证，并完成证明过程． 已知：　　　　　　　　，求证：　　　　　　　． 证明：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． （2）如图2，在平行四边形 中，对角线和相交于点O，，，．求证：平行四边形是菱形． 【答案】（1）见解析； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（）根据平行四边形的性质和已知条件判定是的垂直平分线，推出后利用菱形的定义即可判定是菱形； （）根据平行四边形的性质求出、的长，然后根据勾股定理逆定理判定为直角，然后根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”即可得证； 本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 已知：在平行四边形中，对角线，垂足为． 求证：平行四边形是菱形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 证明：∵平行四边形中，对角线和相交于点，，， ∴，， 又∵， ∴在三角形中，， ∴， 即， ∴平行四边形是菱形。 24. 线上教学的最大优点是能够依托网络平台及时反馈效果．一次数学习题课，课前，陈老师让班上每位同学做6道与这节课内容相关的类似题目，解题情况如图．课后，陈老师再让学生做6道类似的题目，结果如表．已知每位学生至少答对1题． 课后解题情况频数表 答对题数 1 2 3 4 5 6 合计 频数 2 3 3 a 9 13 b （1）根据图表信息填空： ________； ________； （2）该班课前答对题数的众数是________；课后答对题数的中位数是________； （3）请选择适当的统计量，从两个不同的角度评价这节习题课的教学效果． 【答案】（1）10；40 （2）3，5 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，求中位数和众数，以及平均数等等： （1）根据频数分布表求出总人数，即b值，进而求出a的值即可； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）从平均数，中位数和众数出发进行描述即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， 故答案：10；40； 【小问2详解】 解：由题意得课前答对3题的人数最大， ∴课前答对题的众数是3； 把课后答题对的题数从低到高排列，处在第20名和第21名答对的题数分别为5题，5题， ∴课后答对题数的中位数是， 故答案为；3，5； 【小问3详解】 解：课前答对题数的平均数为 (题)； 课后答对题数的平均数为(题)， 从答对题数的平均数来看，这节习题课的教学效果明显；从中位数来看，课前答对题数的中位数为3题，课后答对题数的中位数为5题，即课前答对3题及以下的人数有一半以上，而课后有一半以上的人答对5题，所以这节习题课的教学效果明显． 25. 甲、乙两机器人从地出发，沿相同路线前往地（到达后停止运动），图中，分别表示甲、乙两机器人前往目的地所走的路程，，(单位：）随甲出发的时间（单位：）变化的函数图象． （1），两地的距离为_______； （2）求关于的函数解析式； （3）求乙机器人出发多长时间后追上甲，并求出此时机器人距离地的距离． 【答案】（1） （2） （3）乙机器人出发后追上甲；此时，机器人距离地米 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，一次函数的应用； （1）结合图象求解作答即可； （2）待定系数法求关于x的函数解析式； （3）设关于x的函数解析式为，将代入可求，则；令，可求，则，，即可求解． 【小问1详解】 解：由图象可知，A，B两地的距离为m， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设关于x的函数解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴； 【小问3详解】 解：设关于x的函数解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴； 令， 解得，， ∴（）， ∴乙机器人出发后追上甲； ∵（）， ∴此时它们与A地的距离为； 26. 我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”． （1）在我们学过的下列四边形①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“宁美四边形”的是___________（填序号）； （2）如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连、．求证：四边形是“宁美四边形”； 【答案】（1）④ （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由“宁美四边形”的定义，正方形的性质即可得出结论； （2）证，得，再由，结合 “宁美四边形”的定义即可得出结论； 【小问1详解】 解：平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等， 正方形是“宁美四边形”， 故答案为：④． 【小问2详解】 证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是“宁美四边形”； 【点睛】本题考查了新定义“宁美四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 27. 某店铺销售，两款考古盲盒手办．销售件款手办和件款手办的销售额为元，销售件款手办和件款手办的销售额为元． 进价（元/件） 售价（元/件） （1）求表格中，的值； （2）该店铺计划购进，两款手办共件，且购进款手办的数量不多于款手办数量的一半．求该店铺获得利润与款手办的数量之间的函数关系式，并求出款手办的数量的取值范围． （3）请设计该店铺获得最大利润的进货方案，并求出最大利润． 【答案】（1） （2）， （3）该店铺应购进款手办66件，款手办134件时获得最大利润为6330元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、不等式以及一次函数的应用 （1）根据题意列二元一次方程组解决问题即可； （2）设款手办购进件，则款手办购进件，根据题意得，得出函数关系式，根据购进A款手办的数量不多于B款手办数量的一半．得出自变量的取值范围，即可求解； （3）根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意得， 解得， ． 【小问2详解】 设款手办购进件，则款手办购进件， 根据题意得，． ， 解得， 【小问3详解】 ，随的增大而增大，又因为a为整数， ∴当时，有最大值， (元)， 此时款手办的数量为 (件)． 答：该店铺应购进款手办66件，款手办134件时获得最大利润为6330元． 28. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交于点． （1）求点、、的坐标； （2）在平面直角坐标系中有一点，求的面积与的函数关系式； （3）为直线上的动点，过点作轴的平行线，交直线于点，点在轴上，是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）M坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，两直线交点问题，等腰直角三角形的性质； （1）根据直线与轴交于点，与轴交于点，分别令，求得的坐标，最后联立，解二元一次方程组即可； （2）分类讨论，当点P在点E下方时，即，得到；当点P在点E上方时，即，得到，代入即可求解； （3）分类讨论，若，，则有，得到，若或，则，得到，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，； 当时， ∴ ∵直线交于点． ∴， 解得， ∴点； 【小问2详解】 解：由题意得点P在直线上，设直线与直线交于点E，交x轴于点F， 将代入得， ∴， ①当点P在点E下方时，即，如图： ； 当点P在点E上方时，即，如图： ， 综上所述：的面积S与m的函数关系式为：； 【小问3详解】 解：令直线为，直线为， ，则， ， ①如图1，若，， 过点Q作， ∴点G为中点， ∴， 则有， ， 或， ，或， ②如图2，图3，若或， 则， ， 或， ，或． 综上所述，M的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$