第十七章 勾股定理 （B卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（重庆专用，人教版）

第十七章 勾股定理（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、因为，所以不能构成直角三角形； B、因为，所以不能构成直角三角形； C、因为，所以能构成直角三角形； D、因为，所以不能构成直角三角形． 故选：C． 2．满足下列条件时，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理依次判断即可． 【详解】解： ，，故是直角三角形，故选项A不符合题意； 设， ，故是直角三角形，故选项B不符合题意； ， ，故是直角三角形，故选项C不符合题意； ，故不是直角三角形，故选项D符合题意； 故选D． 3．如图，中，，于点D，，，则的长为（　　） A．10 B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等面积法的应用，熟练的证明是解本题的关键．利用勾股定理先求解，再利用可得答案． 【详解】解：∵， ，， ∴， ∵于点， ∵， ∴， 故选B． 4．将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意，分类讨论，当筷子直立在水杯中时，；当筷子斜放在水杯中，如图所示，运用勾股定理可得；由此即可求解． 【详解】解：根据题意，当筷子直立在水杯中时，； 当筷子斜放在水杯中，如图所示，，且 ∴， ∴筷子露在外面的部分的长度为， ∴的取值范围为：， 故选：B ． 5．如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，比较简单．设，先根据翻折变换的性质可得到，则，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设，则， 是沿直线翻折而成， ， 是直角三角形， ， 即， 解得． 故选：B 6．如图，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角间的距离为3米，梯子滑动后停在的位置上，测得的长为1米，则梯子顶端A下落了（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．5米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用；解决本题关键在于能找出其中的不变量，在不同的直角三角形中应用勾股定理．在中用勾股定理可得，梯子长，在中用勾股定理可得的长，即可计算． 【详解】解：中，米 中，米，梯子长， 米， 米； 故选A． 7．在中，，，点是内一点，，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，延长，过点C作于点E，证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出，，求出，根据勾股定理求出，． 【详解】解：延长，过点C作于点E，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故选：A． 8．如图是一块长、宽、高分别是的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处，沿着长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是平面展开最短路径问题，解决此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把长方体的一些面展开到一个平面内，求出最短的线段.分三种情况讨论即可，然后利用勾股定理即可求得最短线段的长，再比较三种情况下最短的线段即可得到答案． 【详解】分三种情况： （1）经过前面和右面或经过左面和后面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为的长方形的对角线如图中的，其长为． （2）经过前面和上面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为的长方形的对角线如图中的，其长为． （3）经过左面和上面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为的长方形的对角线如图中的，其长为． 比较（1）（2）（3）的结果，知蚂蚁爬行的最短路线的长为． 故选：C 9．把正方形沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点B折叠纸片，使点A落在上的点F处，折痕为．若长为4，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由折叠的性质可得，，，，，由勾股定理可求的长，进而可求的长，再利用勾股定理可求的长． 【详解】解：由折叠可知：，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10．如图，在和中，，点C，D，E在同一条直线上，连接B、D和B，E，下列四个结论：①；②；③④，其中，正确的个数是（　 　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，即可判断结论②；再根据全等三角形的性质，得出，再根据等腰直角三角形的性质，得出，进而得出，再根据等量代换，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，即可判断结论①；再根据等腰直角三角形的性质，得出，再根据，得出，即可判断结论③；根据勾股定理，得出，再根据等腰直角三角形的性质，得出，再根据等量代换，得出，同理得出，然后把代入，得出，即可判断结论④，综合即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即． ∵在和中， ， ， ∴．故结论②正确； ， ， ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ， ，故结论①正确． ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ∴，故结论③错误． ∵，即， ∴在中，利用勾股定理得：． ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ∴在中，利用勾股定理得：． ∵为等腰直角三角形， ∴， ， ∴，故结论④正确． 综上所述，正确的结论为①②④． 故选：C． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．中，，，则 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了勾股定理，熟知任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 由于直角三角形的斜边不能确定，故分是斜边与直角边两种情况进行解答． 【详解】解：当是直角边时，， 当是斜边时，， 故答案为：4或． 12．如图，每个小正方形边长都为1，连接小正方形的三个顶点，，，可得，则边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，由图形，根据勾股定理可得，然后根据三角形的面积和正方形的面积，求得，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：依题意，， ， ∴边上的高为， 故答案为：． 13．如图，垂直和．如果，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题关键． 先用勾股定理求长度，再求即可． 【详解】解： 在中， 同理， 故答案为：． 14．如图，在一张长方形纸板上放着一根长方体木块．已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达点需要走的最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查两点之间线段最短，解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽， ∴长为米；宽为米． 于是最短路径为：米． 故答案为：． 15．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 . 【答案】 【分析】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是先设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，然后根据图形和，可以写出关于a、b的方程，然后整理化简，即可求得的值． 【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且，由题意可知：，，， ∵， 即， ， ∴， 解得． 故答案为：． 16．如图，在中，，，，点E与点D分别在射线与射线上，且，则的最小值为 ，的最小值为 ． 【答案】 【分析】先根据已知条件求得各边数据，然后根据已知一边一角，构造全等三角形，当在上时，取得最小值，如图所示，过点作交的延长线于点，进而勾股定理即可求解；对于，构造等边三角形，进而即可求解． 【详解】如图所示，过作交的于， ∵，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴ 如图所示，作且，连接，， ∵ ∴ ∴ ∴ ， 当在上时，取得最小值，如图所示，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ 在中，， ∴ ∴，即的最小值为； 如图所示，作关于的对称点，连接,则 ∵ 则 ∴， ∵对称， ∴ ∴都是等边三角形， 连接， ∵， ∴，则， 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴当在上时，， 如图所示 此时取得最小值，最小值 故答案为：，． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~18题每小题8分，第19~25题每小题10分。 17．在 中，． (1)若，，求 的长． (2)若，，求 的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴； （2）如图， ∵，，， ∴在中，． 18．如图，在中，，求边上的高．    【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理可证明是直角三角形，再利用直角三角形的面积公式即可．关键是掌握“如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形”． 【详解】解：， ， 是直角三角形， ， 即， ． 19．高安浮桥位于锦河之上，大观楼耸立在锦河北边，与浮桥相互映衬，形成美丽的文化风景带．在浮桥旁边有一艘游船，如图所示，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳．后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少？（假设绳子是直的，结果保留根号）    【答案】 【分析】在中，根据勾股定理可求出的值，以的速度收绳，后船移动到点的位置，可求出的长，中，可求出的长，根据，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵此人以的速度收绳，后船移动到点的位置， ∴， ∴中，， ∴， ∴船向岸边移动了． 【点睛】本题主要考查勾股定理在实际生活中的运用，掌握勾股定理求线段长度是解题的关键． 20．如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A，，在同一条直线上，，，，． (1)填空：______，根据三角形面积公式，可得的面积______；根据割补法，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得的面积______． (2)求证：． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到结论； （2）用两种不同的方法表示梯形的面积，计算化简后，即可得出． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， ， ， 的面积， 由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得的面积， 故答案为：，，； （2）证明： ， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即， ， ． 【点睛】本题考查了梯形，勾股定理的证明，用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解决问题的关键． 21．如图，四边形是公园中的一块空地，． (1)连接，判断的形状并说明理由； (2)公园为美化环境，欲在该空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需费用多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)2880元 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握这些知识点． （1）连接，在中根据勾股定理得，在中，，即可得是直角三角形； （2）先算出两个直角三角形的面积，即可得四边形的面积，即可得． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 如图，连接， ∵在中， ∴（m）， ∵在中，m，m，m， 且， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：∵（平方米），（平方米）， ∴（平方米）， ∴（元）， 故铺满这块空地共需费用2880元． 22．爬山不仅可以增强身体素质而且可以锻炼人的心理承受能力．登山活动已经成为一项人们喜爱的运动项目．如图是一座山的局部山体模拟图，经测量此段山体的长为，的长为，且． (1)小锦猜想山体高为，请判断小锦的猜想是否正确？如果正确，请说明理由；如果不正确，请求出正确的山体高； (2)为加强攀登的安全性，工作人员将山体斜坡进行了修整，修整后的山体斜坡长，请你求出此时山脚B向外延伸多少米到点D． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据勾股定理直接进行计算即可； （2）根据勾股定理求出的长，然后再根据的长，求出结果即可． 【详解】（1）解：不正确； ∵， ∴， ∵，， ∴在中， ， ， 小锦的猜想不正确，山体的高为； （2）解：修整后， 由（1）知，， 在中， ， 此时山脚B向外延伸到点D． 23．用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形，解答下列问题： (1)根据图2，利用图形的面积关系，试说明． (2)利用（1）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且，求小正方形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)小正方形的面积等于1． 【分析】本题考查了对勾股定理的证明，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键． （1）方法1、根据图2是由4个完全一样的直角三角形和1个小正方形构成的，所以其面积个正方形的面积个三角形的面积；方法2、观察图形发现图2是一个正方形，所以其面积边长；写出、、之间的等量关系； （2）直接用（1）的结论求出结果． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：大正方形的面积是25， ， ， ， ， ． 由（1）得， ， 小正方形的面积等于1． 24．如图，已知△ABC中，，，，P，Q分别是边上的两动点，点P从点B开始沿方向运动，速度为每秒，到达A点后停止；点Q从A开始沿的方向运动，速度为每秒，到达B点后停止，它们同时出发，设出发时间为秒． (1)__________，边上的高__________，当点Q在边上运动时，用含t的代数式表示的长度为__________． (2)当t为何值时，点P恰好在边的垂直平分线上？并求出此时的长度． (3)当点Q在边上运动时，直接写出为等腰三角形时t的值． 【答案】(1)，， (2)， (3)或或 【分析】（1）根据勾股定理即可求出的长，根据的面积即可求出，根据的长为点Q运动过的路程减去的长即可列出代数式； （2）可得，，，在中，根据勾股定理构造方程，解出，进而求出； （3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分、和三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）解：，，， ． ∵，或， ∴，即， ∴． 当点Q在边上运动时，． 故答案为：，， （2）解：∵点在边的垂直平分线上，取的中点，作，交于，连接， ∴，，， ∵， ∴在中，，即， 解得：． 此时，此时走了； ， ∴点在边上， ． （3）解：分三种情况讨论： ①当时， ，解得； ②当时， ， ， ， ， ， ∴，解得； ③当时， 由（1）可知边上的高， ∴在中，． ， ∴，解得； 综上所述：当为6秒或秒或秒时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用． 25．如图，在中，，，点D在边上，，，过点E作交、边于点G、F． (1)求证：； (2)连接，求证：； (3)连接，若，，则的长为 ． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）过点A作，交于点H，由题意易得，则有，然后可证，进而根据线段和差关系及全等三角形的性质可进行求证； （3）由（1）可知：，则有，然后可得，进而可得，，最后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：过点A作，交于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 勾股定理（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 2．满足下列条件时，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，中，，于点D，，，则的长为（　　） A．10 B． C． D．5 4．将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（    ） A． B． C． D． 6．如图，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角间的距离为3米，梯子滑动后停在的位置上，测得的长为1米，则梯子顶端A下落了（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．5米 7．在中，，，点是内一点，，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 8．如图是一块长、宽、高分别是的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处，沿着长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（　　） A． B． C． D． 9．把正方形沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点B折叠纸片，使点A落在上的点F处，折痕为．若长为4，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在和中，，点C，D，E在同一条直线上，连接B、D和B，E，下列四个结论：①；②；③④，其中，正确的个数是（　 　） A．1 B．2 C．3 D．4 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．中，，，则 ． 12．如图，每个小正方形边长都为1，连接小正方形的三个顶点，，，可得，则边上的高为 ． 13．如图，垂直和．如果，那么的长为 ． 14．如图，在一张长方形纸板上放着一根长方体木块．已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达点需要走的最短路程是 ． 15．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 . 16．如图，在中，，，，点E与点D分别在射线与射线上，且，则的最小值为 ，的最小值为 ． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~18题每小题8分，第19~25题每小题10分。 17．在 中，． (1)若，，求 的长． (2)若，，求 的长． 18．如图，在中，，求边上的高．    19．高安浮桥位于锦河之上，大观楼耸立在锦河北边，与浮桥相互映衬，形成美丽的文化风景带．在浮桥旁边有一艘游船，如图所示，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳．后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少？（假设绳子是直的，结果保留根号）    20．如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A，，在同一条直线上，，，，． (1)填空：______，根据三角形面积公式，可得的面积______；根据割补法，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得的面积______． (2)求证：． 21．如图，四边形是公园中的一块空地，． (1)连接，判断的形状并说明理由； (2)公园为美化环境，欲在该空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需费用多少元 22．爬山不仅可以增强身体素质而且可以锻炼人的心理承受能力．登山活动已经成为一项人们喜爱的运动项目．如图是一座山的局部山体模拟图，经测量此段山体的长为，的长为，且． (1)小锦猜想山体高为，请判断小锦的猜想是否正确？如果正确，请说明理由；如果不正确，请求出正确的山体高； (2)为加强攀登的安全性，工作人员将山体斜坡进行了修整，修整后的山体斜坡长，请你求出此时山脚B向外延伸多少米到点D． 23．用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形，解答下列问题： (1)根据图2，利用图形的面积关系，试说明． (2)利用（1）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且，求小正方形的面积． 24．如图，已知△ABC中，，，，P，Q分别是边上的两动点，点P从点B开始沿方向运动，速度为每秒，到达A点后停止；点Q从A开始沿的方向运动，速度为每秒，到达B点后停止，它们同时出发，设出发时间为秒． (1)__________，边上的高__________，当点Q在边上运动时，用含t的代数式表示的长度为__________． (2)当t为何值时，点P恰好在边的垂直平分线上？并求出此时的长度． (3)当点Q在边上运动时，直接写出为等腰三角形时t的值． 25．如图，在中，，，点D在边上，，，过点E作交、边于点G、F． (1)求证：； (2)连接，求证：； (3)连接，若，，则的长为 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$