第十七章 勾股定理 （A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（重庆专用，人教版）

第十七章 勾股定理（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判断即可． 【详解】A．，，不相等，不能构成直角三角形，故不符题意； B．，；不相等，不能构成直角三角形，故不符题意； C．，；相等，能构成直角三角形，故符题意； D．，，不相等，不能构成直角三角形，故不符题意． 故答案为：C 2．如图，两个大正方形的面积分别为和，则小正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握以直角三角形的三边为边长的图形面积计算方法是解题的关键．利用两个大正方形的面积分别为和，得出，，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图， ∵两个大正方形的面积分别为和， ∴，， ∵， ∴， ∴小正方形的面积为， 故选：D． 3．符合下列条件的中，不属于直角三角形的是（   ） A． B．，， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的判定，掌握直角三角形的定义，勾股定理逆定理的运用是解题的关键． 根据直角三角形的定义“有个角是直角的三角形”，勾股定理逆定理“三角形中，两边的平方和等于较长边的平方”进行判定即可求解． 【详解】解：A、， ∵， ∴， ∴，该三角形是直角三角形，不符合题意； B、， ∵，即， ∴该三角形是直角三角形，不符合题意； C、， 设， ∴， ∴， ∴，该三角形是直角三角形，不符合题意； D、， ∵， ∴， ∴， ∴，该三角形是不是直角三角形，符合题意； 故选：D ． 4．一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为（    ） A． B．10 C．14 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．圆柱的侧面展开图是矩形，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的边的中点A到顶点B的距离，由勾股定理求出的长即得到问题的答案． 【详解】解：如图，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的边的中点A到顶点B的距离， ， 答：蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为， 故选：B 5．如图，数轴上点A表示的数为，的直角边落在数轴上，且长为3个单位长度，长为1个单位长度，若以点A为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求得的长度，即的长度即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理知：， 所以． 所以点D表示的数为． 故选：B． 6．如图，在锐角三角形中的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的应用，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段之和的最小值． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵的平分线交于点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∴， 当是点B到直线的距离时，，此时有最小值， ∵，此时为等腰直角三角形， ∴，即取最小值为， ∴的最小值是． 故选：B． 7．如图，在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理等知识．过点A作，垂足为D．在中和中，分别用表示出、，根据的长求出，再求三角形的面积． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为D． 在中，， ∴ ∴． 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 故选：A． 8．如图，，，以B为圆心，为半径画弧，交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，以及坐标系中点的坐标的特征等知识点，利用勾股定理求出的长，再根据即可得解，熟练掌握利用勾股定理求出的长度是解决此题的关键． 【详解】解：， ，， 在中，由勾股定理得： ， ， 点， 故故选：：D． 9．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理计算的长，利用面积差可得三角形的面积，由三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：由勾股定理得：， ， ， ， ； 故选：C． 10．如图，是的角平分线，，，，，分别是和上的任意一点；连接，，，，给出下列结论：①的面积是12；②；③的最小值是；④若平分，则的面积为9．其中正确的是（   ） A．①② B．①②④ C．①③ D．②③④ 【答案】B 【分析】①先求出，进而求出的面积，根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明，，得出，，可得到，从而作出判断；②由①知，所以，从而作出判断；③过点作于点，当点在与交点上时，，此时最小，且最小值为，根据等积法求出即可作出判断；④过点作于点，得出，求出，即可求出结果，从而作出判断． 【详解】解：①，是的角平分线，， ，， ， ， ∵， ，， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ②由①知， ，故②正确； ③，是的角平分线， ，， 垂直平分， ， ， 当最小时，最小， 如图，过点作于点， 当点在与交点上时，，此时最小，且最小值为， 由①知， ， ， 即的最小值是，故③错误； ④过点作于点，如图所示： 平分，， ， ， ， ，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②④， 故选：B． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．若的三边分别是a．b．c，且a，b，c满足，则 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形，． 故答案为： 12．若一直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理，直接根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别为6和8， ∴它的斜边长为， 故答案为：10． 13．如图，在中，，垂足为是边上的中线，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，由题意得，根据即可求解． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴ 故答案为： 14．若a、b、c满足(a-5)2++=0，则以a，b，c为边的三角形面积是 . 【答案】30 【分析】根据给出的条件求出三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理来判定三角形的形状，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴a-5=0，b-12=0，c-13=0， ∴a=5，b=12，c=13， ∵52+122=132， ∴△ABC是直角三角形，． ∴以a，b，c为三边的三角形的面积=. 【点睛】本题考查了特殊方程的解法与及勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 15．如图所示，是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 【答案】17 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：∵是直角三角形，米，米， ∴米， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米． 故答案为：17． 16．如图，是等边三角形，点D、E在外，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的勾股定理等知识，以为边作等边三角形，连接，作于点证明和得求出，运用勾股定理求出的长即可得出的长 【详解】解：以为边作等边三角形，连接，作于点如图， ∵均为等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ 即, ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~18题每小题8分，第19~25题每小题10分。 17．在中，，a，b，c 分别是、、所对应的边． (1)已知，，求c的长； (2)已知，，求a的长； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，注意计算的准确性． （1）利用勾股定理计算c边的长； （2）利用勾股定理计算a边的长； 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：，，， 18．如图，点在中，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理及其逆定理，利用所给条件准确运算是解决本题的关键． 【详解】解：在中，，， , 在中，， ， 即, , 的面积为, 的面积为, 阴影部分面积为， 故阴影部分面积为24． 19．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1， 为格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形），点B的坐标是 (1)点A 的坐标是 ，点C的坐标是 ； (2)请作出关于x轴对称的 （点A 与点A'对应， 点B 与点B'对应， 点C与点 对应）； (3)y轴上存在点P， 使得的值最小，则的最小值是 ． 【答案】(1)，． (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，作轴对称图形，勾股定理， （1）观察平面直角坐标系写出坐标即可； （2）作点A，B，C关于x轴对称的点，再依次连接即可； （3）根据轴对称得出点C的对称点，连接与y轴交于点P，根据两点之间线段最短说明，再根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可知点； 故答案为：； （2）如图所示，即为所求作； （3）如图所示，作点C关于y轴对称的点是， ∴， 即， 连接，交y于点P，根据两点之间线段最短，最小值为， 根据勾股定理，得． 故答案为：． 20．如图，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，连接，先根据勾股定理求出的值，再由勾股定理的逆定理判断出的形状即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 21．如图，在一条笔直的马路同侧有，两个小区，小区到马路的垂直距离为千米，小区到马路的垂直距离为千米，的长度为千米． (1)求，小区之间的距离； (2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到，两小区的距离相等，此时车站应修建在离点多远处？ 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】（）过点作于，可得四边形是长方形，得到千米，千米，即得千米，再利用勾股定理即可求解； （）设千米，则千米，由利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，长方形，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于，则， ∵， ∴四边形是长方形， ∴千米，千米， ∴千米， ∴千米， 答：，小区之间的距离为千米； （2）解：如图，设千米，则千米， 由题意得，， ∴由勾股定理得，， 整理得，， 解得， 答：车站应修建在离点 千米处． 22．如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，垂足为点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，勾股定理，等角对等边，掌握角平分线的性质是解题的关键． （）由角平分线的定义和平行线的性质可得，由等角对等边即可得出结论； （）由角平分线的性质可得，进而由勾股定理得，即可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵平分，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴ ∴在中，． 23．如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了和三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知米，米，米，米． (1)求四边形的面积； (2)小明和小林同时以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 【答案】(1)平方米 (2)线段的长度为米 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用； （1）根据勾股定理求得，进而根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据三角形的面积公式，即可求解； （2）根据题意得出米，设米，则米，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵米，米 ∴米 ∵ ∴是直角三角形，且 ∴四边形的面积为平方米 （2）解：由（1）可得是直角三角形， 依题意，米， 设米，则米 在中， ∴ 解得：，即线段的长度为米． 24．上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从望海岛C，测得（如图所示）． (1)求海岛B到海岛C的距离； (2)这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ (3)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 【答案】(1)海岛B到海岛C的距离为30海里 (2)上午11时，小船与灯塔C的距离最短 (3)救援队先到 【分析】本题考查三角形的外角，等腰三角形和等边三角形的判定： （1）根据三角形的外角的性质求出，进而得到即可； （2）过C作于H，先求出，根据含的直角三角形的性质求出，进而即可解答； （3）证明为等边三角形，进而得到的长，根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，得：海里； ∵， ∴， ∴ ∴海里； 答：海岛B到海岛C的距离为30海里； （2）解：过C作于点H， 又， ∴， ∴（海里）， ∴从B处到H处需要小时， ∴答：小船与灯塔C的距离最短时，此时为上午时； （3）解∶ 由题意：海里， 由（1）知：海里， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴海里， ∴救援队所用时间为（小时）， 救援队所用时间为（小时）， ∵， ∴救援队先到． 25．在中，，的中垂线交于D，交于点E且． (1)如图1，连接，则 ， ； (2)如图2，延长交的延长线于点F，连接，请求出的长； (3)如图3，点P为直线上一动点，点Q为直线上一动点，请求出的最小值． 【答案】(1)， (2)的长为5 (3) 【分析】本题是三角形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、轴对称的性质以及三角形面积等知识； （1）先由线段垂直平分线的性质得，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）先由线段垂直平分线的性质得，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）连接，过作于，在上取一点，使，连接，，证明，可得，即可得到，当，，都在线段上时，最小，最后由面积法求出即可． 【详解】（1）解：是的中垂线， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即，= 故答案为：， （2）解：是的中垂线， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即的长为5； （3）解：如图，连接，过作于，在上取一点，使，连接，，则 是的中垂线， ， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当，，都在线段上时，最小， 由（2）得：，， ， ， 的面积 ， 即的最小值为， 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 勾股定理（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，两个大正方形的面积分别为和，则小正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．符合下列条件的中，不属于直角三角形的是（   ） A． B．，， C． D． 4．一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为（    ） A． B．10 C．14 D．8 5．如图，数轴上点A表示的数为，的直角边落在数轴上，且长为3个单位长度，长为1个单位长度，若以点A为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在锐角三角形中的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是（  ） A．1 B． C．2 D． 7．如图，在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 8．如图，，，以B为圆心，为半径画弧，交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（） A． B． C． D． 10．如图，是的角平分线，，，，，分别是和上的任意一点；连接，，，，给出下列结论：①的面积是12；②；③的最小值是；④若平分，则的面积为9．其中正确的是（   ） A．①② B．①②④ C．①③ D．②③④ 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．若的三边分别是a．b．c，且a，b，c满足，则 12．若一直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为 ． 13．如图，在中，，垂足为是边上的中线，，则的长是 ． 14．若a、b、c满足(a-5)2++=0，则以a，b，c为边的三角形面积是 . 15．如图所示，是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 16．如图，是等边三角形，点D、E在外，，，，，则 ． 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~18题每小题8分，第19~25题每小题10分。 17．在中，，a，b，c 分别是、、所对应的边． (1)已知，，求c的长； (2)已知，，求a的长； 18．如图，点在中，，，求图中阴影部分的面积． 19．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1， 为格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形），点B的坐标是 (1)点A 的坐标是 ，点C的坐标是 ； (2)请作出关于x轴对称的 （点A 与点A'对应， 点B 与点B'对应， 点C与点 对应）； (3)y轴上存在点P， 使得的值最小，则的最小值是 ． 20．如图，，，，，求的度数． 21．如图，在一条笔直的马路同侧有，两个小区，小区到马路的垂直距离为千米，小区到马路的垂直距离为千米，的长度为千米． (1)求，小区之间的距离； (2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到，两小区的距离相等，此时车站应修建在离点多远处？ 22．如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，垂足为点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 23．如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了和三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知米，米，米，米． (1)求四边形的面积； (2)小明和小林同时以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 24．上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从望海岛C，测得（如图所示）． (1)求海岛B到海岛C的距离； (2)这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ (3)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 25．在中，，的中垂线交于D，交于点E且． (1)如图1，连接，则 ， ； (2)如图2，延长交的延长线于点F，连接，请求出的长； (3)如图3，点P为直线上一动点，点Q为直线上一动点，请求出的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$