第十六章 二次根式 （B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（重庆专用，人教版）

第十六章 二次根式 （B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．化简的正确结果是（   ） A．2 B． C． D．3 2．把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 5．估计的值应在（   ）之间． A．7到8 B．8到9 C．9到10 D．10到11 6．例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②比较大小：； ③变形：； ④计算； ⑤已知，，且，则所有可能的整数m的和为． 以上结论正确的是（    ） A．①③④⑤ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤ 7．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 8．，，则值是（   ） A．6 B． C．3 D． 9．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 10．下列从左到右的变形不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 12．已知是整数，则的最小整数值是 ． 13．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： ． 14．根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是时，则输出的y值等于 ． 15．已知实数满足，的平方根为 ． 16．若是正整数，除以的余数为，则称是“阿二数”．例如：是正整数，，则是“阿二数”；是正整数，且，则不是“阿二数”，对于任意四位正整数，的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为．有一个四位正整数是“阿二数”，的千位数字比百位数字少，十位数字与个位数字的和为，且为有理数，则满足条件的的值为 ． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~18题每小题8分，第19~25题每小题10分。 17．计算： (1) (2) 18．先化简，再求值：，其中． 19．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 20．已知，为实数，且满足，求的值． 21．已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∴， ∴． ∴，即． ∴， ∴． 青你根据小明的分析过程，解决下列问题： (1)化简：_________； (2)计算：； (3)若，求的值． 22．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 23．（1）填空： ； ； （2）例题：化简 解：因为 所以． 仿照上例的方法，化简下列各式： ①     ② 24．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件， 解得， ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简（结果保留） 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：    （3）已知a，b，c为的三边长．化简： 25．材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a，中斜为b，大斜为c，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式． 请解决下列问题： (1)若一个三角形边长依次为，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形边长依次为，即，，， ∴___________． 根据海伦公式可得：___________． (2)请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 二次根式 （B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．化简的正确结果是（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式的乘法运算法则． 利用二次根式的乘法进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选：A． 2．把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得，得到，据此利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：根据题意可得，得到， 那么 故选：A． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．利用二次根式的性质对进行判断，根据二次根式的乘法法则对C进行判断，根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【详解】解：A、，故原式错误，不符合题意； B、，故原式错误，不符合题意； C、，该选项正确，符合题意； D、，故原式错误，不符合题意． 故选：C． 4．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简绝对值，利用二次根式的性质化简，代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 先根据化简绝对值和二次根式，然后合并同类项即可． 【详解】解：∵， ，， ∴， 故选：D． 5．估计的值应在（   ）之间． A．7到8 B．8到9 C．9到10 D．10到11 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法，再算加减，然后再估算出的值的范围，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴估计的值应在到之间， 故选：C． 6．例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②比较大小：； ③变形：； ④计算； ⑤已知，，且，则所有可能的整数m的和为． 以上结论正确的是（    ） A．①③④⑤ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化，解决二次根式的化简、比较大小和运算的问题，熟练掌握知识点是解题的关键． ①估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简； ②通过分母有理化，比较两个二次根式的倒数大小，即可解答； ③先分子分母同时乘以，减少分母的根式个数后再次有理化分母即可； ④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值； ⑤与b可以利用分母有理化化简，可得出，然后观察方程特点，求得m的值． 【详解】解：①∵a是的小数部分， ∴， ∴，故①错误； ②∵， ， 又∵， ∴， ∴，故②正确； ③ ，故③正确； ④∵ ∴ ，故④正确； ⑤∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， 即， ， 解得，故⑤错误． 综上所述：②③④正确， 故选：B． 7．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的除法运算和性质是解答的关键．根据二次根式的除法法则可和性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴小明没有出现错误； ∵， ∴小丽出现错误； ∵， ∴小红出现错误； ∵， ∴小亮没有出现错误， 故自己负责的式子出现错误的是小丽和小红， 故选：B． 8．，，则值是（   ） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】先根据有理数的乘法法则和加减法则可得，，再根据二次根式的性质可得，，再利用二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的乘法法则和加减法则、二次根式的性质、二次根式的乘法法则，根据题意和二次根式的性质得出，是解题的关键． 9．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先把原式变形为，进一步变形得到，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 10．下列从左到右的变形不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘法与除法运算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法与除法运算是解题的关键． 根据二次根式的性质和二次根式的乘法与除法运算法则进行判断即可． 【详解】解：，运算正确，故A不符合题意； ∵， ∴， ∴，运算正确，故B不符合题意， ，运算正确，故C不符合题意； 当时，不成立，故D符合题意； 故选：D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得． 【详解】解：由题意可得， ， ， 故答案为：． 12．已知是整数，则的最小整数值是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件等知识点，确定n的取值范围成为解题的关键． 由结合题意可得是完全平方数，即，进而确定n的取值范围，然后取最小整数即可． 【详解】解：∵且是整数， ∴是整数， ∴是完全平方数． ∵， ∴， ∴n的最小整数值是0． 故答案为：0． 13．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质，由数轴可得：，，从而得出，再由二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是时，则输出的y值等于 ． 【答案】 【分析】此题是一道程序题，做题时要按照程序一步一步做，主要考查代数式求值，是一道常考的题型． 由题意输入然后平方得，然后再小于0，乘以，可得y的值． 【详解】解：当时，， ． 故答案为：． 15．已知实数满足，的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，一元一次不等式组的解法，利用二次根式的被开方数是非负数得出x、y的值是解题关键．根据二次根式有意义的条件，可得x、y的值，最后，再进行计算即可． 【详解】解：∵实数x，y满足， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 故答案为：． 16．若是正整数，除以的余数为，则称是“阿二数”．例如：是正整数，，则是“阿二数”；是正整数，且，则不是“阿二数”，对于任意四位正整数，的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为．有一个四位正整数是“阿二数”，的千位数字比百位数字少，十位数字与个位数字的和为，且为有理数，则满足条件的的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意得出，得出,符合题意，代入验证即可求解． 【详解】解：依题意，，，， 则 ∵正整数是“阿二数” ∴能被整除 ∴能被13整除， 设 ∵是正整数，则是9的倍数， ∴,符合题意， ∵是有理数 ∴是平方数， 当，时，符合题意， ∴ 则 故答案为：． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~18题每小题8分，第19~25题每小题10分。 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式， （1）根据二次根式的运算法则计算即可； （2）运算完全平方公式，平方差公式计算即可作答． 【详解】（1） ； （2） ． 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是首先将括号里面通分，再将分子与分母分解因式，将除法转化为乘法，约分得到最简结果，最后把m的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 19．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化： （1）先利用分母有理化法则求出，进而得到，，再根据完全平方公式的变形求解即可； （2）根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ，， ∴； （2）解： ． 20．已知，为实数，且满足，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分式有意义的条件，先根据二次根式有意义的条件得到，则，再由分式有意义的条件推出，据此求出，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵要有意义， ∴，即， ∴， ∴， 又∵分式有意义， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 21．已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∴， ∴． ∴，即． ∴， ∴． 青你根据小明的分析过程，解决下列问题： (1)化简：_________； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接分母有理化得出答案； （2）直接分母有理化得出答案； （3）根据题意得出的值，再得出，然后把原式变形得出答案即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）原式 ； （3）∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式化简求值、运用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确完成二次根式的化简是解题关键． 22．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值、无理数的大小比较、相反数的概念，正确进行无理数的估算是解题的关键． （1）根据材料提示，即，由此即可求解； （2）根据材料提示可得，，代入计算即可求解； （3）根据材料提示可得的小数部分，由此可得的值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为，小数部分为， 故答案为：； （2）解：∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵的整数部分为， ∴， ∵是整数，，且， ∴， ∴， ∴的相反数为． 23．（1）填空： ； ； （2）例题：化简 解：因为 所以． 仿照上例的方法，化简下列各式： ①     ② 【答案】（1）；；（2）①；② 【分析】本题考查了完全平方公式、二次根式的混合运算、二次根式的性质． （1）根据完全平方公式计算即可得解； （2）①仿照题干所给例子计算即可得解；②仿照题干所给例子计算即可得解． 【详解】解：（1）， ； （2）①∵， ∴； ②∵， ∴． 24．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件， 解得， ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简（结果保留） 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：    （3）已知a，b，c为的三边长．化简： 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的化简、三角形的三边关系、数轴等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）先根据二次根式的被开方数的非负性可得，从而可得，再利用二次根式的性质进行化简即可得； （2）先根据数轴的性质可得，从而可得，再利用二次根式的性质进行化简即可得； （3）先根据三角形的三边关系可得，，，，从而可得，，，，再利用二次根式的性质进行化简即可得． 【详解】解：（1）隐含条件， 解得， ∴， ∴ ； （2）由数轴可知，， ∴， ∴ ； （3）∵为的三边长， ∴，，，， ∴，，，， ∴ ． 25．材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a，中斜为b，大斜为c，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式． 请解决下列问题： (1)若一个三角形边长依次为，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形边长依次为，即，，， ∴___________． 根据海伦公式可得：___________． (2)请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 【答案】(1)9， (2) 【分析】本题主要考查三角形面积的计算方法，实数的运算，二次根式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握实数的计算，二次根式的运算法则是解题的关键． （1）直接代入求解即可； （2）根据材料提示，运用二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：∵，，， ∴，，， ∴ ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$